Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đại lượng tích lũy (Toán học Lớp 12)

Một viên đạn được bắn lên trời với vận tốc là $72\text{ (m/s)}$ bắt đầu từ độ cao $2\text{ m}$. Hãy xác định chiều cao của viên đạn sau thời gian $5\text{ s}$ kể từ lúc bắn biết gia tốc trọng trường là $9,8{\text{ (m/s}}^2\text{)}$ (Làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Vật thể chuyển động trong 10 phút với vận tốc là giá trị hàm số $v(t)=\{\begin{array}{ll}a{t}^2+bt+c& (0\le t<6)\\ m& (6\le t\le 10)\end{array}$ (đơn vị: m/phút), phụ thuộc vào thời gian $t$ (đơn vị: phút). Đồ thị của hàm số vận tốc như hình vẽ sau:

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức $P^{\prime }(x)=-0,0008x+10,4$. Ở đây $P(x)$ là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được $x$ đơn vị sản phẩm.

Tốc độ tăng cân nặng của một bé gái trong độ tuổi từ 0 tháng đến 36 tháng được ước tính bởi hàm số $f^{\prime }(t)=0,00093t^2-0,04792t+0,76806\text{ (kg/thaˊng)}$, với $f(t)$ là cân nặng của bé gái lúc $t$ tháng tuổi (Nguồn: http://www.vinmec.com). Hãy ước tính cân nặng của một bé gái 5 tháng tuổi, biết cân nặng của bé gái đó khi mới sinh là $3,3\text{ kg}$ (đơn vị: kg, làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một đoàn tàu đang đứng yên trong sân ga, ngay trước đầu tàu có một cái cây. Đoàn tàu khởi hành từ trạng thái đứng yên với gia tốc $a=0,004t$ (${\text{m/s}}^2$) và đi qua cái cây trong thời gian 60 giây. Sau 90 giây đoàn tàu chuyển sang trạng thái chuyển động đều. Xét tính đúng sai của các khẳng định sau:

Tại thời điểm $t=0$, một chiếc xe đang chuyển động về một hướng với vận tốc ban đầu $v_0=10\text{ (m/s)}$, gia tốc của xe từ thời điểm đó được tính bằng công thức $a(t)=-2t+4{\text{ (m/s}}^2\text{)}$. Sau thời điểm đó $3$ giây, do gặp một chướng ngại vật nên xe bắt đầu phanh gấp và chuyển động biến đổi đều với gia tốc mới $a_m(t)=-6{\text{ (m/s}}^2\text{)}$.

Một chất điểm chuyển động thẳng trong 24 giây với vận tốc $v(t)$ (đơn vị: m/s) là hàm số phụ thuộc thời gian $t$ (đơn vị: giây) có đồ thị cho bởi hình vẽ sau:

Một ô tô đang chạy với tốc độ $108\text{ km/h}$ thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường. Người lái xe phản ứng một giây sau đó bằng cách đạp phanh khẩn cấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với tốc độ $v(t)=-10t+30\text{ (m/s)}$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quãng đường xe ô tô đi được tính bằng đơn vị $\text{m}$ trong $t\text{ (s)}$ kể từ lúc đạp phanh.

Một ô tô đang di chuyển với vận tốc $21\text{ (m/s)}$, khi còn cách trạm thu phí một đoạn thì người lái xe bắt đầu đạp phanh lần một, xe chuyển động thẳng chậm dần đều với vận tốc biến thiên theo thời gian được xác định bởi quy luật $v_1(t)=-6t+21\text{ (m/s)}$, trong đó thời gian $t$ tính bằng giây, đến đúng trạm thu phí thì xe dừng hẳn. Sau khi trả phí, xe ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần đều với vận tốc $v_2(t)=5t\text{ (m/s)}$, đi được $4$ giây, ô tô gặp chướng ngại vật nên phải phanh gấp lần hai.

Sữa chua là một sản phẩm tốt cho sức khỏe, hỗ trợ tiêu hóa, làm đẹp da. Sữa chua được tạo ra từ sữa nhờ vi khuẩn lên men lactic. Trong dây chuyền sản xuất sữa chua của một nhà máy, công đoạn lên men là công đoạn quyết định chất lượng của sữa chua. Số lượng vi khuẩn lactic trong bồn lên men tại thời điểm $t$ (giờ) được kí hiệu là $N(t)$. Ban đầu ($t=0$ giờ), số lượng vi khuẩn là $N(0)=10$ tỷ tế bào. Do sự thay đổi về nguồn dinh dưỡng (đường lactose giảm) và độ pH (axit lactic tăng) nên tốc độ thay đổi số lượng vi khuẩn $N^{\prime }(t)$ được mô hình hóa bởi công thức $N^{\prime }(t)=10\cdot 2^{2t}$ (tỷ tế bào/giờ) với $t$ là thời gian tính bằng giờ ($0\le t\le 5$). Quá trình lên men kết thúc sau 5 giờ.

Dũng sĩ Hesman là một robot khổng lồ do năm con robot mãnh sư ghép lại mà thành. Cùng với thanh gươm ánh sáng vô cùng lợi hại, Hesman đã giúp đỡ các bạn của mình chống lại các thế lực xấu nhằm bảo vệ hòa bình cho vũ trụ và hành tinh Arus xinh đẹp. Tác giả: Hùng Lân (1956-2025).
Một trong những thế lực ấy chính là tên người đá Gac-nô, sau khi chống phá các bạn không thành, hắn trở lại phi thuyền và bay thẳng lên bầu trời hòng trốn thoát với vận tốc $v=2t\text{ (km/phuˊt)}$ trong 8 phút liên tiếp, từ phút thứ 9 trở đi Gác-nô chuyển động thẳng đều.
Khi ấy từ lâu đài Mãnh sư, Hesman và các bạn cũng phát hiện ra điều này, mọi người tức tốc vào buồng lái và khởi động để Hesman bay thẳng về phía Gác-nô, hợp với phương ngang một góc $60^{\circ }$ (tham khảo hình vẽ) với gia tốc $3{\text{ km/phuˊt}}^2$. Biết rằng Hesman xuất phát sau Gac-nô 3 phút và khoảng cách hai vị trí xuất phát bằng $15\text{ km}$. Ta xem các đường bay của Hesman và Gác-nô là đồng phẳng.

Một người điều khiển ô tô đang ở đường dẫn muốn nhập làn vào đường cao tốc. Khi ô tô cách điểm nhập làn $200\text{ m}$ thì tốc độ của ô tô là $36\text{ (km/h)}$. Hai giây sau đó, ô tô bắt đầu tăng tốc với tốc độ $v(t)=at+b$ ($a,b\in \mathbb{R},a>0$), trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Biết rằng ô tô nhập làn cao tốc sau $12$ giây và duy trì sự tăng tốc trong $24$ giây kể từ khi bắt đầu tăng tốc. Sau $24$ giây đó ô tô duy trì tốc độ cao nhất trong thời gian còn lại trên cao tốc.

Trên đường quốc lộ, một ô tô đang di chuyển với vận tốc $12,5\text{ m/s}$. Cùng lúc, một đoàn tàu chạy cùng hướng và song song với đường quốc lộ với vận tốc $\frac{50}{3}\text{ m/s}$. Khi ô tô cách đuôi tàu $100$ mét thì ô tô bắt đầu tăng tốc với vận tốc $v(t)=2,5t+b\text{ (m/s)}$, trong đó $t$ là thời gian kể từ lúc ô tô bắt đầu tăng tốc. Khi ô tô đạt đến vận tốc tối đa cho phép $25\text{ m/s}$ thì ô tô giữ nguyên vận tốc.

Tại một khu di tích vào ngày lễ hội hằng năm, tốc độ thay đổi lượng khách tham quan được biểu diễn bằng hàm số $Q^{\prime }(t)=4t^3-72t^2+288t$, trong đó $t$ tính bằng giờ ($0\le t\le 12$), $Q^{\prime }(t)$ tính bằng khách/giờ (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage). Sau 2 giờ đã có 400 người có mặt.

Nhà cô Anh có một khu vườn hình chữ nhật (có kích thước như trong hình), cô Anh muốn đổ bê tông một đường đi trong vườn (phần được tô đậm). Biết rằng đường cong $AB$ có dạng là một phần của đồ thị hàm số bậc ba và đường cong $DC$ nhận được từ đường cong $AB$ bằng cách tịnh tiến theo phương thẳng đứng lên phía trên $2\text{ m}$. Ngoài ra, cô Anh quyết định đổ lớp bê tông dày $20\text{ cm}$ và giá tiền $1{\text{ m}}^3$ bê tông là $1150$ nghìn đồng. Hỏi cô Anh cần dùng bao nhiêu nghìn đồng để đổ bê tông con đường đó?

Một vật được ném lên thẳng đứng từ độ cao $300\text{ m}$ so với mặt đất với vận tốc ban đầu là $29,43\text{ m/s}$. Bỏ qua sức cản của không khí và lấy gia tốc trọng trường $g=9,81{\text{ m/s}}^2$. Vận tốc của vật tại thời điểm $t$ giây kể từ lúc bắt đầu ném được cho bởi công thức $v(t)=-9,81t+29,43\text{ (m/s)}$. Gọi $h(t)\text{ (m)}$ là độ cao của vật so với mặt đất tại thời điểm $t\text{ (s)}$ tính từ lúc bắt đầu ném vật.

Một người điều khiển xe máy với vận tốc $36\text{ km/h}$ thì phát hiện ở phía trước cách vị trí xe một đoạn $50\text{ m}$ có công trường đang thi công có gắn biển báo giới hạn tốc độ tối đa cho phép là $20\text{ km/h}$. Hai giây sau đó, xe máy bắt đầu giảm tốc với vận tốc $v_1(t)=at+b\text{ (m/s)}(a,b\in \mathbb{R},a<0)$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ khi xe bắt đầu giảm tốc độ. Khi xe máy vừa đến vị trí đặt biển báo thì tốc độ của xe máy bằng $18\text{ km/h}$ và giữ nguyên vận tốc như vậy cho đến khi rời khỏi khu vực công trường. Khi vừa ra khỏi công trường, xe máy tăng tốc với vận tốc $v_2(t_1)=m{t}_1+n\text{ (m/s)}(m,n\in \mathbb{R},m>0)$ trong đó $t_1$ là thời gian tính bằng giây kể từ khi xe máy vừa ra khỏi công trường. Biết rằng đúng 4 giây sau khi tăng tốc, xe máy đạt vận tốc $54\text{ km/h}$.

Trên quốc lộ, một mô tô đang di chuyển từ Cần Thơ đến Sóc Trăng với vận tốc $50\text{ km/h}$. Cùng lúc đó một ô tô đang di chuyển từ Sóc Trăng đến Cần Thơ với vận tốc $30\text{ km/h}$, sau 6 phút di chuyển, thì ô tô bắt đầu tăng tốc với vận tốc $v(t)=\frac{25}{9}t+b\text{ (m/s)}$, với $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc ô tô bắt đầu tăng tốc. Giả sử khi đạt đến tốc độ $60\text{ km/h}$ thì ô tô giữ nguyên vận tốc.

Hình vẽ bên dưới minh họa mặt cắt đứng của mặt trước một ngôi nhà có dạng hình chữ nhật $5\text{ m}\times 5,5\text{ m}$ với các kích thước được cho như trong hình bên dưới. Phần tô đậm gạch sọc trong hình vẽ ứng với phần kính được lắp đặt, phần còn lại lót gạch men. Phần lắp kính được chia làm 2 miền $(H_1)$ và $(H_2)$, trong đó miền $(H_1)$ có đường biên cong là một phần của parabol. Chi phí lắp kính là $1,8\text{ triệu đoˆˋng}$ cho $1{\text{ m}}^2$ và chi phí lót gạch men là $0,25\text{ triệu đoˆˋng}$ cho $1{\text{ m}}^2$. Tổng chi phí cần hoàn thành mặt trước ngôi nhà là bao nhiêu triệu đồng? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Một xe ô tô đang chạy với vận tốc $60\text{ km/h}$ thì người lái xe bất ngờ phát hiện chướng ngại vật trên đường cách đó $70\text{ m}$. Người lái xe phản ứng sau $1,5$ giây bằng cách đạp phanh gấp. Kể từ thời điểm này, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc $v(t)=-10t+30\text{ (m/s)}$, trong đó $t$ là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Gọi $s(t)$ là quãng đường xe ô tô đi được trong $t$ (giây) kể từ lúc đạp phanh.