Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dãy số (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{n+6}{n+3}-\frac{n+5}{n+2}=\frac{(n+6)(n+2)-(n+5)(n+3)}{(n+3)(n+2)}=\frac{n^2+8n+12-n^2-8n-15}{(n+3)(n+2)}=\frac{-3}{(n+3)(n+2)}<0$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$. Vậy dãy số giảm. Đồng thời $u_{n+1}=\frac{n+6}{n+3}=1+\frac{3}{n+3}\ne \frac{n+5}{n+2}+1$, nên D sai.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$ cho từng dãy.
A) $u_n=\frac{n}{2^n}$: $u_{n+1}-u_n=\frac{n+1}{2^{n+1}}-\frac{n}{2^n}=\frac{n+1-2n}{2^{n+1}}=\frac{1-n}{2^{n+1}}\le 0$ với $n\ge 1$, dãy giảm (từ $n\ge 2$ giảm ngặt).
B) $u_n=\frac{n}{2n^2+1}$: $u_{n+1}-u_n=\frac{n+1}{2(n+1{)}^2+1}-\frac{n}{2n^2+1}=\frac{(n+1)(2n^2+1)-n(2n^2+4n+3)}{(2n^2+4n+3)(2n^2+1)}=\frac{-2n^2-2n+1}{(2n^2+4n+3)(2n^2+1)}<0$ với $n\ge 1$, dãy giảm.
C) $u_n=\frac{n^2+1}{3n+2}$: $u_{n+1}-u_n=\frac{(n+1{)}^2+1}{3n+5}-\frac{n^2+1}{3n+2}=\frac{(n^2+2n+2)(3n+2)-(n^2+1)(3n+5)}{(3n+5)(3n+2)}=\frac{3n^2+7n-1}{(3n+5)(3n+2)}>0$ với mọi $n\ge 1$ (vì $3n^2+7n-1\ge 9>0$). Vậy dãy tăng.
D) $u_n=(-2{)}^n\sqrt{n^2-1}$: dãy đổi dấu (các số hạng chẵn dương, lẻ âm) nên không thể tăng.
Kết luận: dãy tăng là phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $u_{n+1}-u_n=\sqrt{5n+7}-\sqrt{5n+2}>0$ vì $5n+7>5n+2$ với mọi $n\ge 1$. Vậy dãy số tăng, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta có $2n+3\ge 5$ nên $0<\frac{1}{2n+3}\le \frac{1}{5}$, suy ra $-\frac{1}{5}\le u_n=\frac{-1}{2n+3}<0$. Dãy số vừa bị chặn dưới bởi $-\frac{1}{5}$ vừa bị chặn trên bởi $0$, tức là dãy số bị chặn. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{4n+5}{n+1}=\frac{4(n+1)+1}{n+1}=4+\frac{1}{n+1}$. Với mọi $n\ge 1$ thì $0<\frac{1}{n+1}\le \frac{1}{2}$, nên $4<u_n\le \frac{9}{2}$. Dãy số vừa bị chặn trên (bởi $\frac{9}{2}$) vừa bị chặn dưới (bởi 4), do đó dãy số bị chặn. Mệnh đề đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{n^3}{n^2+1}=\frac{n}{1+\frac{1}{n^2}}$. Với mọi $n\ge 1$ thì $1<1+\frac{1}{n^2}\le 2$, nên $\frac{n}{2}\le u_n<n$. Do đó $u_n\to +\infty$ khi $n\to \infty$ (ví dụ $u_n>n$ với mọi $n$), tức dãy số không bị chặn trên, nên không bị chặn. Dãy có $u_1=\frac{1}{2}>0$ nên bị chặn dưới bởi 0, nhưng trong các phương án, mệnh đề đúng theo yêu cầu là dãy không bị chặn (không bị chặn trên nên không bị chặn).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $a_n=\sqrt{n^3+n}\to +\infty$ nên không bị chặn. B) $b_n=n^2+\frac{1}{2n}\to +\infty$ nên không bị chặn. C) $c_n=(-2{)}^n+3$ có các số hạng $-2+3=1,4+3=7,-8+3=-5,16+3=19,\dots$; do $|(-2{)}^n|\to \infty$ nên dãy không bị chặn (không bị chặn trên lẫn dưới). D) $d_n=\frac{3n}{n^3+2}>0$ với mọi $n$ và $d_n\le \frac{3n}{n^3}=\frac{3}{n^2}\le 3$, nên $0<d_n\le 3$: dãy bị chặn. Vậy dãy bị chặn là dãy $(d_n)$, đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=n^2-2025n+4050$ (n≥1):
- a) $u_{2025}=2025^2-2025\cdot 2025+4050=4050$ → đúng.
- Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=(n+1{)}^2-n^2-2025=2n+1-2025=2n-2024$. Với $n\le 1011$ thì $u_{n+1}<u_n$ (dãy giảm), với $n\ge 1013$ thì $u_{n+1}>u_n$ (dãy tăng). Do đó dãy không phải dãy tăng (b sai) và không phải dãy giảm (c sai).
- d) Vì $u_n\to +\infty$ khi $n\to \infty$ (dãy có parabol hướng lên với đỉnh tại $n=1012,5$, giá trị nhỏ nhất khoảng $u_{1012}=u_{1013}=1012^2-2025\cdot 1012+4050=-1019506$), dãy bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên, nên không bị chặn → d sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_{2025}=2025^2-2025\cdot 2025+4050=4050$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=2n-2024<0$ khi $n\le 1011$, nên dãy không tăng với mọi n.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=2n-2024>0$ khi $n\ge 1013$, nên dãy không giảm với mọi n.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=n^2-2025n+4050\to +\infty$ khi $n\to \infty$, dãy không bị chặn trên nên không bị chặn.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 57: Xét tính tăng giảm của các dãy số.

1) $u_n=2n^3-5n+1$. Ta có
$$u_{n+1}-u_n=2(n+1{)}^3-5(n+1)+1-(2n^3-5n+1)=6n^2+6n-3=3(2n^2+2n-1).$$
Với $n\ge 1$ thì $2n^2+2n-1\ge 2+2-1=3>0$, nên $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n$. Vậy dãy số tăng.

2) $u_n=3^n-n$. Ta có
$$u_{n+1}-u_n=3^{n+1}-(n+1)-(3^n-n)=2\cdot 3^n-1>0$$
với mọi $n\ge 1$ (vì $2\cdot 3^n-1\ge 5>0$). Vậy dãy số tăng.

3) $u_n=\frac{n}{n^2+1}$. Ta có
$$u_{n+1}-u_n=\frac{n+1}{(n+1{)}^2+1}-\frac{n}{n^2+1}=\frac{(n+1)(n^2+1)-n(n^2+2n+2)}{(n^2+2n+2)(n^2+1)}=\frac{-n^2-n+1}{(n^2+2n+2)(n^2+1)}.$$
Với $n\ge 1$ thì $-n^2-n+1\le -1<0$, nên $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n$. Vậy dãy số giảm.

4) $u_n=\frac{\sqrt{n}}{2^n}>0$ với mọi $n$. Xét tỉ số
$$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{\sqrt{n+1}}{2^{n+1}}\cdot \frac{2^n}{\sqrt{n}}=\frac{1}{2}\sqrt{1+\frac{1}{n}}\le \frac{\sqrt{2}}{2}<1.$$
Suy ra $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n$. Vậy dãy số giảm.

Kết luận: 1) tăng; 2) tăng; 3) giảm; 4) giảm.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 58: Xét tính bị chặn của các dãy số.

a) $u_n=\frac{1}{2n^2-1}$. Với $n\ge 1$ ta có $2n^2-1\ge 1>0$ nên $0<u_n\le 1$ (với $n=1$, $u_1=1$). Vậy dãy số bị chặn.

b) $u_n=3\cos \frac{nx}{3}$. Vì $-1\le \cos \frac{nx}{3}\le 1$ với mọi $n$ nên $-3\le u_n\le 3$. Vậy dãy số bị chặn (bị chặn trên bởi 3 và bị chặn dưới bởi $-3$).

c) $u_n=2n^3+1\ge 2\cdot 1^3+1=3$ với mọi $n$, nên dãy bị chặn dưới (bởi 3). Nhưng $u_n\to +\infty$ khi $n\to +\infty$ (ví dụ $u_n>2n^3\to \infty$), nên dãy không bị chặn trên. Vậy dãy không bị chặn.

d) $u_n=\frac{n^2+2n}{n^2+n+1}$. Ta có $u_n=1+\frac{n-1}{n^2+n+1}$. Với $n\ge 1$ thì $0\le \frac{n-1}{n^2+n+1}<\frac{n}{n^2}\le \frac{1}{n}\le 1$, do đó $1\le u_n<2$. Vậy dãy bị chặn.

e) $u_n=n+\frac{1}{n}\ge 1+1=2$ với mọi $n$, nên dãy bị chặn dưới (bởi 2). Nhưng $u_n\ge n\to +\infty$, nên dãy không bị chặn trên. Vậy dãy không bị chặn.

Kết luận: a) bị chặn; b) bị chặn; c) chỉ bị chặn dưới, không bị chặn; d) bị chặn; e) chỉ bị chặn dưới, không bị chặn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét dãy số $u_n=\frac{2n-1}{n+3}$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

**1) Tính tăng giảm:**
Ta có $u_n=\frac{2n-1}{n+3}=\frac{2(n+3)-7}{n+3}=2-\frac{7}{n+3}$.

Xét hiệu: $u_{n+1}-u_n=\left(2-\frac{7}{n+4}\right)-\left(2-\frac{7}{n+3}\right)=\frac{7}{n+3}-\frac{7}{n+4}=\frac{7}{(n+3)(n+4)}>0$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

Vậy dãy số $(u_n)$ là dãy tăng.

**2) Tính bị chặn:**
Với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ ta có $n+3\ge 4>0$, do đó $0<\frac{7}{n+3}\le \frac{7}{4}$, suy ra
$$2-\frac{7}{4}\le u_n<2⟺\frac{1}{4}\le u_n<2.$$

Thật vậy, $u_1=\frac{1}{4}$ là giá trị nhỏ nhất (dãy tăng), và $u_n<2$ với mọi $n$.

Vậy dãy số $(u_n)$ bị chặn dưới bởi $\frac{1}{4}$ và bị chặn trên bởi $2$, tức là dãy bị chặn.

**Kết luận:** Dãy số $u_n=\frac{2n-1}{n+3}$ là dãy tăng và bị chặn (chặn dưới $\frac{1}{4}$, chặn trên $2$).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3: Cho dãy số $u_n=\frac{n+1}{2n+1}$. Giải $\frac{n+1}{2n+1}=\frac{8}{15}$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$: $15(n+1)=8(2n+1)\Rightarrow 15n+15=16n+8\Rightarrow n=7$. Vậy $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ 7 của dãy số.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 57 (trang 24): Xét tính tăng giảm của các dãy số.

1) $u_n=2n^3-5n+1$. Ta có $u_{n+1}-u_n=2(n+1{)}^3-5(n+1)+1-(2n^3-5n+1)=6n^2+6n-3$. Với $n\ge 1$ thì $6n^2+6n-3\ge 6+6-3=9>0$, nên dãy số tăng.

2) $u_n=3^n-n$. Ta có $u_{n+1}-u_n=3^{n+1}-(n+1)-(3^n-n)=2\cdot 3^n-1>0$ với mọi $n\ge 1$, nên dãy số tăng.

3) $u_n=\frac{n}{n^2+1}$. Ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{(n+1)(n^2+1)-n(n^2+2n+2)}{(n^2+1)((n+1{)}^2+1)}=\frac{-n^2-n+1}{(n^2+1)(n^2+2n+2)}$. Với $n\ge 1$ thì $-n^2-n+1\le -1<0$, nên dãy số giảm.

4) $u_n=\frac{\sqrt{n}}{2^n}>0$. Xét $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{n+1}{n}}$. Ta có $\frac{u_{n+1}}{u_n}<1\iff \frac{n+1}{n}<4\iff n>\frac{1}{3}$, đúng với mọi $n\ge 1$. Vậy dãy số giảm.

Kết luận: 1) tăng; 2) tăng; 3) giảm; 4) giảm.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 59: Xét dãy số $u_n=\frac{2n-1}{n+3};n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

**Tính tăng giảm:**
Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{2n+1}{n+4}-\frac{2n-1}{n+3}=\frac{(2n+1)(n+3)-(2n-1)(n+4)}{(n+4)(n+3)}=\frac{(2n^2+7n+3)-(2n^2+7n-4)}{(n+4)(n+3)}=\frac{7}{(n+3)(n+4)}>0$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.
Vậy dãy số $(u_n)$ là dãy tăng.

**Tính bị chặn:**
Ta có $u_n=\frac{2n-1}{n+3}=\frac{2(n+3)-7}{n+3}=2-\frac{7}{n+3}$.
Vì $n\ge 1$ nên $n+3\ge 4>0$, suy ra $0<\frac{7}{n+3}\le \frac{7}{4}$, do đó $\frac{1}{4}\le u_n<2$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ (cụ thể $u_1=\frac{1}{4}$ là số hạng nhỏ nhất vì dãy tăng).
Vậy dãy số $(u_n)$ bị chặn (bị chặn dưới bởi $\frac{1}{4}$ và bị chặn trên bởi $2$).

**Kết luận:** Dãy số $u_n=\frac{2n-1}{n+3}$ là dãy tăng và bị chặn.

(AI giải đề cho tôi)
Tính một vài số hạng đầu: $u_1=-2$; $u_2=-2-\frac{1}{u_1}=-2-\frac{1}{-2}=-2+\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}$; $u_3=-2-\frac{1}{-\frac{3}{2}}=-2+\frac{2}{3}=-\frac{4}{3}$; $u_4=-2-\frac{1}{-\frac{4}{3}}=-2+\frac{3}{4}=-\frac{5}{4}$; $u_5=-2+\frac{4}{5}=-\frac{6}{5}$. Nhận xét: $u_n=-\frac{n+1}{n}$ với mọi $n\ge 1$. Kiểm tra: $u_{n+1}=-\frac{n+2}{n+1}=-2+\frac{n}{n+1}=-2-\frac{1}{-\frac{n+1}{n}}=-2-\frac{1}{u_n}$, thỏa mãn công thức truy hồi và $u_1=-\frac{2}{1}=-2$. Vậy dự đoán $u_n=-\frac{n+1}{n}=-1-\frac{1}{n}$ với $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_{n+1}-u_n=2n-1$, ta có với $n\ge 2$: $u_n=u_1+{\sum }_{k=1}^{n-1}(2k-1)=2+(n-1{)}^2$ (vì tổng các số lẻ đầu tiên bằng $(n-1{)}^2$). Kiểm tra: $u_1=2+0=2$ đúng; $u_2=2+1=3$, và $u_2-u_1=1=2\cdot 1-1$ đúng. Vậy $u_{2026}=2+2025^2=2+4100625=4100627$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=\frac{3n-1}{n+1}=3-\frac{4}{n+1}$ tăng theo $n$ (vì $\frac{4}{n+1}$ giảm), nên dãy tăng. B) $u_n=n^3$ tăng. C) $u_n=\frac{1}{3^{n+1}}$: khi $n$ tăng, $3^{n+1}$ tăng nên $u_n$ giảm; kiểm tra $u_{n+1}=\frac{1}{3^{n+2}}<\frac{1}{3^{n+1}}=u_n$ với mọi $n\ge 1$. D) $u_n=\sqrt{n}$ tăng. Vậy dãy giảm là $u_n=\frac{1}{3^{n+1}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, ta có $-1\le \cos n\le 1$, tức $|u_n|=|\cos n|\le 1$. Vậy dãy số $(u_n)$ bị chặn. Dãy không đơn điệu vì ví dụ $u_1=\cos 1\approx 0,54$, $u_2=\cos 2\approx -0,42$, $u_3=\cos 3\approx -0,99$, $u_4=\cos 4\approx -0,65$ (có lúc tăng có lúc giảm). Do đó chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=\frac{1}{n+2}$, ta có $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+3}-\frac{1}{n+2}=\frac{-1}{(n+2)(n+3)}<0$ nên dãy giảm. Mặt khác $0<u_n\le u_1=\frac{1}{3}$ nên dãy bị chặn (bị chặn trên bởi $\frac{1}{3}$ và bị chặn dưới bởi $0$). Vậy dãy số giảm và bị chặn, đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=\frac{-n}{n+1}$: a) $u_1=-\frac{1}{2},u_2=-\frac{2}{3},u_3=-\frac{3}{4},u_4=-\frac{4}{5},u_5=-\frac{5}{6}$ đúng. b) $u_{10}=-\frac{10}{11},u_{100}=-\frac{100}{101}$ đúng. c) $u_{86}=-\frac{86}{87}\ne -\frac{85}{86}$; thực tế $-\frac{85}{86}=u_{85}$ nên khẳng định 'số hạng thứ 86' sai. d) Giải $\frac{-n}{n+1}=-\frac{99}{101}\Rightarrow 101n=99n+99\Rightarrow n=\frac{99}{2}\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$, nên $-\frac{99}{101}$ không là số hạng của dãy, khẳng định sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $n=1,2,3,4,5$ vào $u_n=\frac{-n}{n+1}$ ta được $-\frac{1}{2},-\frac{2}{3},-\frac{3}{4},-\frac{4}{5},-\frac{5}{6}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_{10}=\frac{-10}{11}=-\frac{10}{11}$, $u_{100}=\frac{-100}{101}=-\frac{100}{101}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_{86}=\frac{-86}{87}=-\frac{86}{87}\ne -\frac{85}{86}$. Số $-\frac{85}{86}$ là $u_{85}$, không phải số hạng thứ 86.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải $\frac{-n}{n+1}=-\frac{99}{101}$: $101n=99n+99\Rightarrow 2n=99\Rightarrow n=\frac{99}{2}\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$. Vậy $-\frac{99}{101}$ không là số hạng của dãy.