Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dãy số (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức truy hồi $u_{n+1}=2u_n+1$ với $u_1=5$, ta có $u_2=2u_1+1=2\cdot 5+1=11$. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1101, Câu 8: D).

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_1=-1$ và $u_{n+1}=u_n+3$, ta có: $u_2=u_1+3=-1+3=2$; $u_3=u_2+3=2+3=5$. Vậy ba số hạng đầu tiên là $-1;2;5$, tương ứng phương án A.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=5$ vào công thức số hạng tổng quát: $u_5=\frac{2\cdot 5-1}{5+1}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hình thứ $n$ là tam giác đều có cạnh $2^{n-1}$ que diêm (hình 1 cạnh 1, hình 2 cạnh 2, hình 3 cạnh 4,...). Tam giác đều cạnh $m$ que được chia thành các tam giác nhỏ và cần dùng $3\left(1+2+\cdots +m\right)=\frac{3m(m+1)}{2}$ que (kiểm tra: hình 1 cần 3 que, hình 2 cần 9 que, hình 3 cần 30 que — khớp hình vẽ). Vậy với hình thứ 15, cạnh $m=2^{14}=16384$ nên $$a=\frac{3\cdot 2^{14}\left(2^{14}+1\right)}{2}=3\cdot 2^{13}\cdot 16385.$$ Phân tích $16385=5\cdot 29\cdot 113$, do đó $$a=2^{13}\cdot 3\cdot 5\cdot 29\cdot 113.$$ Số ước nguyên dương của $a$ là $(13+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=14\cdot 16=224$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Tính trực tiếp theo hệ thức truy hồi: $u_2=2u_1+3=2(-1)+3=1$; $u_3=2u_2+3=2(1)+3=5$. Vậy $u_3=5$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=n^2-n+2$: $u_1=2$, $u_4=16-4+2=14$, $u_5=25-5+2=22$, $u_6=36-6+2=32$, $u_7=49-7+2=44$. a) $u_n\to +\infty$ khi $n\to \infty$ nên dãy không bị chặn → sai. b) $u_4=14$ → đúng. c) Cần $u_k^2=u_1\cdot u_6=2\cdot 32=64\Rightarrow u_k=8\Rightarrow k^2-k+2=8\Rightarrow k^2-k-6=0\Rightarrow k=3$ (nhận, $k=-2$ loại). Vậy tồn tại duy nhất $k=3$ → đúng. d) Cần $u_1+u_7=2u_5$: $2+44=46\ne 2\cdot 22=44$ → không lập thành cấp số cộng → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=n^2-n+2\to +\infty$ khi $n\to \infty$ (ví dụ $u_{10}=92$), nên dãy không bị chặn trên, do đó không phải dãy bị chặn.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_4=4^2-4+2=14$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=2$, $u_6=32$. Cấp số nhân yêu cầu $u_k^2=u_1{u}_6=64\Rightarrow u_k=8\Rightarrow k^2-k-6=0\Rightarrow k=3$ (duy nhất, $k\in {\mathbb{N}}^{\ast }$).
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=2$, $u_5=22$, $u_7=44$. Kiểm tra $u_1+u_7=46\ne 2u_5=44$, nên ba số hạng không lập thành cấp số cộng.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_1=2025$ và $u_{n+1}=n\cdot u_n$: $u_2=1\cdot u_1=2025$; $u_3=2\cdot u_2=2\cdot 2025=4050$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$ với mỗi dãy:
- A: $u_n=n^2$, $u_{n+1}-u_n=(n+1{)}^2-n^2=2n+1>0$ với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$, nên dãy tăng.
- B: $u_n=2014-2n$, $u_{n+1}-u_n=-2<0$, nên dãy giảm, không phải dãy tăng.
- C: $u_n=2n+1$, $u_{n+1}-u_n=2>0$, nên dãy tăng.
- D: $u_n=3n^2-2$, $u_{n+1}-u_n=3(2n+1)>0$, nên dãy tăng.
Vậy dãy không tăng là $u_n=2014-2n$, đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_n=\frac{n+1}{3n}=\frac{1}{3}+\frac{1}{3n}$.
a) Giải $\frac{n+1}{3n}=\frac{33}{101}\Rightarrow 101(n+1)=99n\Rightarrow n=-\frac{101}{2}\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$. Vậy khẳng định a) SAI.
b) $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{3}\left(\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n}\right)=-\frac{1}{3n(n+1)}$ không phải hằng số; ví dụ $u_2-u_1=\frac{2}{3}-\frac{1}{2}=-\frac{1}{6}$ còn $u_4-u_3=\frac{5}{12}-\frac{1}{3}=\frac{1}{12}$, khác nhau. Vậy $(u_n)$ không là cấp số cộng, khẳng định b) SAI.
c) $\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n+2}{3(n+1)}\cdot \frac{3n}{n+1}=\frac{n(n+2)}{(n+1{)}^2}$ không phải hằng số (ví dụ $\frac{u_2}{u_1}=\frac{3}{4}\ne \frac{u_3}{u_2}=\frac{8}{9}$). Vậy $(u_n)$ không là cấp số nhân, khẳng định c) SAI.
d) Với $n\ge 2$: $v_n=v_1\cdot u_1{u}_2\cdots u_{n-1}=\frac{1}{3}\cdot \prod _{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{3k}=\frac{1}{3}\cdot \frac{n}{3^{n-1}}=\frac{n}{3^n}$ (công thức đúng cả với $n=1$). Do đó $\frac{v_n}{n}=\frac{1}{3^n}$ và $S={\sum }_{n=1}^{10}\frac{1}{3^n}=\frac{\frac{1}{3}\left(1-\frac{1}{3^{10}}\right)}{1-\frac{1}{3}}=\frac{1-3^{-10}}{2}=\frac{29524}{59049}$. Vậy khẳng định d) ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Giải $\frac{n+1}{3n}=\frac{33}{101}$ cho $n=-\frac{101}{2}\notin {\mathbb{N}}^{\ast }$, nên $\frac{33}{101}$ không là số hạng của dãy.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$u_{n+1}-u_n=-\frac{1}{3n(n+1)}$ không phải hằng số: $u_2-u_1=-\frac{1}{6}$ còn $u_4-u_3=\frac{1}{12}$, khác nhau. Vậy $(u_n)$ không là cấp số cộng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\frac{u_{n+1}}{u_n}=\frac{n(n+2)}{(n+1{)}^2}$ không phải hằng số (ví dụ $\frac{u_2}{u_1}=\frac{3}{4}\ne \frac{u_3}{u_2}=\frac{8}{9}$), nên không là cấp số nhân.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$v_n=\frac{1}{3}{\prod }_{k=1}^{n-1}\frac{k+1}{3k}=\frac{n}{3^n}$, nên $\frac{v_n}{n}=\frac{1}{3^n}$ và $S={\sum }_{n=1}^{10}\frac{1}{3^n}=\frac{1-3^{-10}}{2}=\frac{29524}{59049}$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=10$ vào công thức $u_n=n^2-4n-2$: $u_{10}=100-40-2=58$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $a_n$ (tính theo tỷ vi khuẩn, tức đơn vị $10^9$) là số vi khuẩn còn sống ngay trước lần dùng thuốc thứ $n$; $a_0=2\cdot 10^9$ là số ban đầu. Sau mỗi lần dùng thuốc, số vi khuẩn giảm $4\cdot 10^8=0,4\cdot 10^9$, rồi tăng $15\%$: $$a_n=1,15(a_{n-1}-0,4).$$

Tính trực tiếp (đơn vị $10^9$):
- $a_1=1,15(2-0,4)=1,84$
- $a_2=1,15(1,84-0,4)=1,656$
- $a_3=1,15(1,656-0,4)=1,4444$
- $a_4=1,15(1,4444-0,4)=1,20106$
- $a_5=1,15(1,20106-0,4)=0,921219$

Kiểm tra bằng công thức đóng: phương trình bất động $L=1,15(L-0,4)$ cho $L=\frac{46}{15}$, nên $a_n=\frac{46}{15}-\frac{16}{15}\cdot 1,15^n$. Với $1,15^5=2,0113571875$: $a_5=\frac{46-16\cdot 2,0113571875}{15}=0,921219$ (đúng khớp).

Vậy số vi khuẩn còn sống trước lần sử dụng thuốc thứ năm là $0,921219\cdot 10^9=921219000$ vi khuẩn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{1}{k(k+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+2}\right)$, nên $u_n=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}\right)=\frac{3}{4}-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}\right)$. Dãy tăng và $0<u_n<\frac{3}{4}$ với mọi $n$, nên dãy bị chặn (cả trên lẫn dưới). Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trước hết, quy nạp cho thấy $a_n>0$ với mọi $n$: nếu $a_n,a_{n+1}>0$ thì $a_{n+2}=a_{n+1}+\frac{a_{n+1}^3}{a_n^2}>a_{n+1}>0$; với $a_1=1>0,a_2=2>0$ thì điều này đúng với mọi $n$.

Đặt $x_n=\frac{a_{n+1}}{a_n}>0$. Khi đó
$$x_{n+1}=\frac{a_{n+2}}{a_{n+1}}=1+\frac{a_{n+1}^2}{a_n^2}=1+x_n^2.$$
Vì $x_1=\frac{a_2}{a_1}=2>1$ và $x_{n+1}=1+x_n^2>x_n$, dãy $(x_n)$ tăng và $x_n\ge 2>1$ với mọi $n$. Do đó
$$\sum _{k=1}^m\frac{a_k}{a_{k+1}}=\sum _{k=1}^m\frac{1}{x_k}.$$

Với mỗi $k$, do $x_{k+1}-1=x_k^2$ nên
$$\frac{1}{x_k-1}-\frac{1}{x_{k+1}-1}=\frac{1}{x_k-1}-\frac{1}{x_k^2}.$$
Ta có
$$\frac{1}{x_k-1}-\frac{1}{x_k^2}-\frac{1}{x_k}=\frac{x_k^2-x_k(x_k-1)-(x_k-1)}{x_k^2(x_k-1)}=\frac{1}{x_k^2(x_k-1)}>0,$$
vì $x_k>1$. Vậy
$$\frac{1}{x_k}<\frac{1}{x_k-1}-\frac{1}{x_{k+1}-1}.$$

Cộng theo $k$ từ $1$ đến $m$, vế phải là tổng dạng telescoping:
$$\sum _{k=1}^m\frac{a_k}{a_{k+1}}<\sum _{k=1}^m\left(\frac{1}{x_k-1}-\frac{1}{x_{k+1}-1}\right)=\frac{1}{x_1-1}-\frac{1}{x_{m+1}-1}=1-\frac{1}{x_{m+1}-1}<1,$$
do $x_1=2$ và $x_{m+1}>1$.

Vậy với mọi số nguyên dương $m$ ta có $\sum _{k=1}^m\frac{a_k}{a_{k+1}}<1$. $■$

Kiểm tra nhanh: $x_1=2,x_2=5,x_3=26$; tổng $\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{26}=0,\mathrm{788...}<1$, phù hợp với kết luận.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy số giảm là dãy có $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n$. Xét từng phương án: A. $1;1;1;1;...$ là dãy không đổi (không giảm). B. $-1;\frac{1}{2};-\frac{1}{4};\frac{1}{8};...$ có các số hạng xen kẽ âm dương nên không đơn điệu giảm. C. $1;2;3;4;...$ là dãy tăng. D. $1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...$ có $u_n=\frac{1}{2^{n-1}}$ và $u_{n+1}=\frac{u_n}{2}<u_n$ với mọi $n$, nên đây là dãy giảm. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy giảm là dãy có $u_{n+1}<u_n$ với mọi $n$. A: $1;2;3;4;...$ là dãy tăng. B: $-1;\frac{1}{2};-\frac{1}{4};\frac{1}{8};...$ không đơn điệu vì các số hạng vừa âm vừa dương. C: $1;\frac{1}{2};\frac{1}{4};\frac{1}{8};...$ có $u_{n+1}=\frac{1}{2}{u}_n<u_n$ với mọi $n$, nên là dãy giảm. D: $1;1;1;1;...$ là dãy không đổi. Vậy đáp án là C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_1=1$ và $u_{n+1}=2u_n$, ta có $u_2=2u_1=2\cdot 1=2$. Kết quả khớp với đáp án giữ (mã đề 102, Phần III Câu 2: 2).

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=(-1{)}^n\cdot 5n$: $u_1=-5$ (đúng), $u_2=(+1)\cdot 10=10$ (nên mệnh đề $u_2=-10$ là sai), $u_3=-15$ (đúng), $u_4=20$ (đúng). Vậy mệnh đề sai là D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=(-1{)}^n\cdot 5n$: $u_1=(-1)\cdot 5=-5$ (B đúng); $u_2=(+1)\cdot 10=10\ne -10$ (A sai); $u_3=(-1)\cdot 15=-15$ (D đúng); $u_4=(+1)\cdot 20=20$ (C đúng). Mệnh đề sai là A, trùng đáp án giữ kỳ (mã đề 101, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_1=1$ và $u_{n+1}=2u_n$, ta có $u_2=2\cdot u_1=2\cdot 1=2$. Kết quả khớp với đáp án giữ kỳ (mã đề 101, Phần III Câu 1: 2).