Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Dãy số (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Dãy ở phương án B chỉ gồm 100 số hạng (từ $\frac{1}{10}$ đến $\frac{1}{10^{100}}$) nên là dãy hữu hạn. Các phương án A, C, D đều là dãy vô hạn (số hạng thứ $n$ xác định với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ hoặc liệt kê kéo dài vô hạn). Khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy hữu hạn là dãy có số số hạng kết thúc. A: $5;5;5;\dots$ là dãy vô hạn. B, C: dãy xác định với mọi $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$ nên vô hạn. D: $\frac{1}{10};\frac{1}{10^2};\dots ;\frac{1}{10^{100}}$ có 100 số hạng, kết thúc ở số hạng thứ 100, nên là dãy hữu hạn. Khớp đáp án nguồn (Câu 7, mã đề 1072: D).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=1,2,3$ vào $u_n=\frac{2n}{2^n+1}$: $u_1=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$; $u_2=\frac{4}{4+1}=\frac{4}{5}$; $u_3=\frac{6}{8+1}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$. Vậy ba số hạng đầu tiên là $\frac{2}{3};\frac{4}{5};\frac{2}{3}$, khớp đáp án D (khớp mã đề 102 trong bảng đáp án).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $n=1,2,3$ vào $u_n=\frac{2n}{2^n+1}$: $u_1=\frac{2}{2+1}=\frac{2}{3}$; $u_2=\frac{4}{4+1}=\frac{4}{5}$; $u_3=\frac{6}{8+1}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$. Vậy ba số hạng đầu tiên là $\frac{2}{3};\frac{4}{5};\frac{2}{3}$, trùng với đáp án C (khớp mã đề 101).

Ta có $u_n=\frac{n+(-1{)}^n}{2n+1}\Rightarrow u_1=0;u_2=\frac{3}{5};u_3=\frac{2}{7};u_4=\frac{5}{9};u_5=\frac{4}{11}$. (Thang điểm 0,5)

(AI giải đề cho tôi)
Dãy các số tự nhiên chia hết cho 5, viết theo thứ tự tăng dần với $u_1=5$ là: $u_1=5,u_2=10,u_3=15,\dots ,u_n=5n,\dots$ (công sai $d=5$). Vậy dạng khai triển là $5,10,15,\dots ,5n,\dots$ — khớp với đáp án A (đáp án C sai vì bắt đầu bằng 0, không có $u_1=5$; D sai vì thiếu 10; B sai vì bắt đầu bằng 1).

(AI giải đề cho tôi)
Các số nguyên dương chia 5 dư 1 có dạng $5k+1$: 1; 6; 11; 16; ... Dãy tăng gồm tất cả các số này nên $u_1=1$, $u_2=6$, $u_3=11$. Loại A (có 0, không nguyên dương), B (12 chia 5 dư 2), C (5 chia 5 dư 0). Đáp án D khớp với đáp án nguồn (mã đề 121, câu 11: D).

$u_n=\frac{2n+(-1{)}^n}{n+1}\Rightarrow u_1=\frac{1}{2};u_2=\frac{5}{3};u_3=\frac{5}{4};u_4=\frac{9}{5};u_5=\frac{3}{2}$ (Thang điểm 0,5).

(AI giải đề cho tôi)
Dãy 1, 4, 9, 16, 25 chính là các số chính phương: với $u_n=n^2$ ta có $u_1=1,u_2=4,u_3=9,u_4=16,u_5=25$, khớp hoàn toàn. Kiểm tra các phương án khác: A cho $u_1=1$ nhưng $u_2=7$ (sai); B cho $u_1=1,u_2=4$ nhưng $u_3=7$ (sai); D cho $u_1=4$ (sai). Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 121, câu 6: C).

Lời giải do AI cung cấp (không có lời giải trong nguồn): Dãy số tăng là dãy có $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n$. Xét từng phương án:
- A: $1<3<5<7<9$, mọi số hạng đều lớn hơn số hạng đứng trước, nên đây là dãy số tăng.
- B: $-1;1;-1;1;-1$ không đơn điệu (không tăng, không giảm).
- C: $\frac{1}{2}>\frac{2}{3}>\frac{3}{4}>\frac{4}{5}>\frac{5}{6}$ là dãy số giảm.
- D: $1>\frac{1}{2}>\frac{1}{3}>\frac{1}{4}>\frac{1}{5}$ là dãy số giảm.
Vậy chọn A. Đáp án A khớp với bảng đáp án chính thức của mã đề 0111 (trang 7).

(AI giải đề cho tôi)
Dãy số $u_1=-\frac{1}{2},u_2=-\frac{1}{3},u_3=-\frac{1}{4},u_4=-\frac{1}{5}$. Ta có $u_{n+1}-u_n=-\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+1}=\frac{1}{(n+1)(n+2)}>0$ với mọi $n$, nên $u_{n+1}>u_n$ với mọi $n$. Ví dụ: $-\frac{1}{2}<-\frac{1}{3}<-\frac{1}{4}<-\frac{1}{5}$. Vậy dãy số tăng, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng dãy: A) $u_n=\frac{1}{2^{-n}}=2^n$ tăng vô hạn nên không bị chặn trên. B) $u_n=3n+2\to +\infty$ không bị chặn trên. C) $u_n=1-2n$ giảm dần, với mọi $n\ge 1$ ta có $u_n\le u_1=-1$, nên dãy bị chặn trên bởi $-1$. D) $u_n=\frac{n^2}{n+1}=n-1+\frac{1}{n+1}\to +\infty$ không bị chặn trên. Vậy dãy bị chặn trên là $u_n=1-2n$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=\frac{n}{2n+1}$: a) $u_1=\frac{1}{3}$ đúng. b) Với mọi $n\ge 1$, $0<u_n<\frac{1}{2}$ nên dãy bị chặn, đúng. c) $u_4=\frac{4}{9}$ đúng nhưng $u_5=\frac{5}{11}\ne \frac{5}{10}$ nên sai. d) Số hạng thứ 199 là $u_{199}=\frac{199}{399}\ne \frac{199}{401}$ nên sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=\frac{1}{2\cdot 1+1}=\frac{1}{3}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với mọi $n\ge 1$: $0<u_n=\frac{n}{2n+1}<\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}$, nên dãy bị chặn (bị chặn dưới bởi 0 và trên bởi $\frac{1}{2}$).
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_4=\frac{4}{9}$ đúng, nhưng $u_5=\frac{5}{2\cdot 5+1}=\frac{5}{11}\ne \frac{5}{10}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Số hạng thứ 199 là $u_{199}=\frac{199}{2\cdot 199+1}=\frac{199}{399}\ne \frac{199}{401}$.

(AI giải đề cho tôi)
Với $u_n=\frac{2n-1}{n+1}$: a) $u_1=\frac{2-1}{2}=\frac{1}{2}$ đúng. b) $u_2=\frac{3}{3}=1$ đúng nhưng $u_3=\frac{5}{4}\ne \frac{5}{3}$ nên sai. c) $u_{152}=\frac{2\cdot 152-1}{153}=\frac{303}{153}=\frac{101}{51}\ne \frac{301}{152}$ nên sai. d) $u_n=\frac{2n-1}{n+1}=2-\frac{3}{n+1}$, dãy tăng và $\frac{1}{2}\le u_n<2$ với mọi $n$, nên dãy bị chặn, đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$u_1=\frac{2\cdot 1-1}{1+1}=\frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$u_2=\frac{3}{3}=1$ đúng, nhưng $u_3=\frac{5}{4}\ne \frac{5}{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$u_{152}=\frac{303}{153}=\frac{101}{51}\ne \frac{301}{152}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$u_n=2-\frac{3}{n+1}$ nên $\frac{1}{2}\le u_n<2$, dãy bị chặn.

(AI giải đề cho tôi)
Dãy $u_n=\frac{1}{n+1}$ với mọi $n\ge 1$ thỏa $0<u_n\le \frac{1}{2}$, nên bị chặn (bị chặn dưới bởi 0 và chặn trên bởi $\frac{1}{2}$). Các dãy còn lại không bị chặn: $u_n=n-2\to +\infty$; $u_n=(-1{)}^n{2}^n$ có $|u_n|=2^n\to +\infty$; $u_n=1-2n\to -\infty$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Các số nguyên tố nhỏ hơn 10 là 2, 3, 5, 7 (0 và 1 không phải số nguyên tố). Vậy dãy theo thứ tự tăng dần là 2, 3, 5, 7, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $u_1=2$. Với $n=2$: $u_2=u_1+2=2+2=4$. Với $n=3$: $u_3=u_2+3=4+3=7$. Vậy số hạng thứ 3 là $7$, tương ứng phương án C.

$u_1=1$; $u_2=u_1+2^2=5$ (0,25đ).

$u_3=u_2+3^2=14$ (0,25đ).

$u_4=u_3+4^2=30$.

$u_5=u_4+5^2=55$.

(AI giải đề cho tôi)
Tính trực tiếp theo hệ thức truy hồi: $u_2=\frac{1}{2-u_1}=\frac{1}{2-\frac{1}{2}}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$. Tiếp theo $u_3=\frac{1}{2-u_2}=\frac{1}{2-\frac{2}{3}}=\frac{1}{\frac{4}{3}}=\frac{3}{4}$. Vậy $u_3=\frac{3}{4}$, khớp với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 111, câu 5: A).