Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Định nghĩa/ý nghĩa đạo hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
[Lời giải do AI cung cấp, không phải lời giải gốc trong đề] Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=4t+3$ (m/s). Tại $t_0=2$: $v(2)=4\cdot 2+3=11$ (m/s). Vậy đáp án A (đơn vị trong đề ghi $m/s^2$ nhưng bản chất là vận tốc m/s). Khớp bảng đáp án nguồn: Phần I câu 7, mã đề 1102 = A.

$f(x)=x^3-3x^2+4x+3\Rightarrow f^{\prime }(x)=3x^2-6x+4$.

Gọi $x_0$ là hoành độ của tiếp điểm.

Ta có: $f(x_0)=x_0^3-3x_0^2+4x_0+3=5\iff x_0^3-3x_0^2+4x_0-2=0\iff x_0=1$.

$f^{\prime }(1)=3.1^2-6.1+4=1$.

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3-3x^2+4x+1$ tại điểm có tung độ bằng 5 là $y=1(x-1)+5\iff y=x+4$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=s^{\prime }(t)=4t+3$ (m/s). Tại $t_0=2$: $v(2)=4\cdot 2+3=11$ m/s. Chọn A. (Lời giải do AI cung cấp; đáp án A khớp bảng đáp án nguồn, Phần I câu 6, mã đề 1101 = A. Lưu ý: đề nguồn in đơn vị phương án là m/s², tuy nhiên đơn vị đúng của vận tốc là m/s.)

(AI giải đề cho tôi)
s(t)=t^3-3t^2+4t nên v(t)=s'(t)=3t^2-6t+4 (m/s). a) Sai vì thiếu số hạng +4. b) v(3)=27-18+4=13 m/s, đúng. c) v(t)=3(t-1)^2+1 >= 1, min =1 tại t=1, đúng. d) a(t)=v'(t)=6t-6<0 khi t<1, đúng. Khớp đáp án mã đề 112: SDDD.
a) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=s'(t)=3t^2-6t+4 (m/s), không phải 3t^2-6t (thiếu +4).
b) (AI giải đề cho tôi)
v(3)=3.9-6.3+4=27-18+4=13 m/s.
c) (AI giải đề cho tôi)
v(t)=3(t-1)^2+1 >= 1 với mọi t>=0, giá trị nhỏ nhất bằng 1 m/s tại t=1.
d) (AI giải đề cho tôi)
a(t)=v'(t)=6t-6<0 khi t<1.

$f^{\prime }(x)=\frac{-7}{(x-3{)}^2}$ (0,25 điểm). $x_0=2\Rightarrow y_0=-5$; $f^{\prime }(2)=-7$ (0,25 điểm). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại M(2; −5) là $y=-7(x-2)-5\iff y=-7x+9$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (mã đề 111), Phần II. Ta có $s(t)=t^3-2t^2+3t$ với $t\ge 0$.
a) $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-4t+3$ → Đúng.
b) $v(5)=3\cdot 25-4\cdot 5+3=75-20+3=58\ne 55$ (m/s) → Sai.
c) $v^{\prime }(t)=6t-4=0\iff t=\frac{2}{3}$; $v^{\prime \prime }(t)=6>0$ nên $v$ đạt nhỏ nhất tại $t=\frac{2}{3}$ giây, không phải $\frac{4}{3}$ → Sai.
d) Gia tốc $a(t)=v^{\prime }(t)=6t-4<0\iff t<\frac{2}{3}$ → Đúng.
Kết quả Đ-S-S-Đ khớp bảng đáp án mã đề 111 (DSSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
$v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-4t+3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$v(5)=75-20+3=58\ne 55$ (m/s).
c) (AI giải đề cho tôi)
$v^{\prime }(t)=6t-4=0\iff t=\frac{2}{3}$, $v^{\prime \prime }>0$ nên vận tốc nhỏ nhất tại $t=\frac{2}{3}$, không phải $\frac{4}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$a(t)=6t-4<0\iff t<\frac{2}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong 1 giây phản ứng, xe đi được $20\cdot 1=20$ m. Khi đạp phanh, vận tốc $v(t)=s^{\prime }(t)=-10t+20$. Xe dừng khi $v(t)=0\iff t=2$ s. Quãng đường phanh: $s(2)=-5(4)+20(2)=20$ m. Tổng quãng đường: $20+20=40$ m. Khoảng cách tới chướng ngại vật: $55-40=15$ m, khớp đáp án nguồn.

$f^{\prime }(x)=\frac{-9}{(x-4{)}^2}$ (0,25 điểm). $x_0=3\Rightarrow y_0=-7$; $f^{\prime }(3)=-9$ (0,25 điểm). Phương trình tiếp tuyến của đồ thị $(C)$ tại $M(3;-7)$ là $y=-9(x-3)-7\iff y=-9x+20$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc tức thời là $v(t)=s^{\prime }(t)=3t^2-4t+5$. Tại $t=5$: $v(5)=3\cdot 25-4\cdot 5+5=75-20+5=60$ (m/s). Kết quả khớp với đáp số 60 trong nguồn.

Vận tốc tức thời của hạt tại thời điểm t là $$v(t)=s^{\prime }(t)=\sqrt{2}.{\left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)}^{\prime }\cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$$ $$v(t)=4\pi \sqrt{2}.\cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$$

Vận tốc của hạt tại thời điểm $t=4$ giây là
$$v(4)=4\pi \sqrt{2}.\cos \left(16\pi +\frac{\pi }{6}\right)\approx 15,4(cm/s)$$

Vận tốc tức thời của hạt tại thời điểm t là $$v(t)=s^{\prime }(t)=\sqrt{2}.{\left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)}^{\prime }\cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$$ $$v(t)=4\pi \sqrt{2}.\cos \left(4\pi t+\frac{\pi }{6}\right)$$

Vận tốc của hạt tại thời điểm $t=4$ giây là
$$v(4)=4\pi \sqrt{2}.\cos \left(16\pi +\frac{\pi }{6}\right)\approx 15,4(cm/s)$$

(AI giải đề cho tôi)
Giao điểm của $(C)$ với trục tung: $x=0\Rightarrow y=1$, tức điểm $A(0;1)$. Đạo hàm $y^{\prime }=3x^2-3$, suy ra $y^{\prime }(0)=-3$. Phương trình tiếp tuyến tại $A(0;1)$: $y=y^{\prime }(0)(x-0)+1=-3x+1$. Vậy phương trình tiếp tuyến là $y=-3x+1$.

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=f^{\prime }(t)=-3t^2+18t+1$. Tại $t=2$: $v(2)=-3\cdot 4+18\cdot 2+1=-12+36+1=25$ (m/s). Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 5: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vận tốc là đạo hàm của quãng đường: $v(t)=f^{\prime }(t)=-3t^2+18t+1$. Tại $t=2$: $v(2)=-3(4)+18(2)+1=-12+36+1=25$ (m/s). Kết quả khớp với đáp án B trong bảng đáp án mã đề 1101.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai vì $y^{\prime }=-x^2+2x-3\ne -x^2+x-3$. b) Đúng: $M(0;2)$, $y^{\prime }(0)=-3$. c) Đúng: tiếp tuyến $y=-3(x-0)+2=-3x+2$. d) Đúng: hệ số góc $k=-x^2+2x-3=-(x-1{)}^2-2\le -2$, max bằng $-2$ tại $x=1$. Khớp đáp án nguồn: S Đ Đ Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=-x^2+2x-3$, khác $-x^2+x-3$ nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$M$ là giao với trục tung nên $M(0;2)$; $y^{\prime }(0)=-3$ là hệ số góc tại $M$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại $M(0;2)$: $y=-3(x-0)+2=-3x+2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc $k=y^{\prime }=-x^2+2x-3=-(x-1{)}^2-2\le -2$, giá trị lớn nhất $-2$ đạt tại $x=1$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $y^{\prime }=x^2-2x+3$ đúng. b) $M$ là giao điểm với trục tung: $x=0\Rightarrow y=-2$, $M(0;-2)$; hệ số góc $k=y^{\prime }(0)=3$ đúng. c) Tiếp tuyến tại $M$: $y=3(x-0)-2=3x-2\ne 3x+2$ nên sai. d) Hệ số góc $k=x^2-2x+3=(x-1{)}^2+2\ge 2$, giá trị nhỏ nhất bằng $2$ (tại $x=1$), không phải $3$ nên sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ Đ S S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=3\cdot \frac{1}{3}{x}^2-2x+3=x^2-2x+3$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$M(0;-2)$, $y^{\prime }(0)=0^2-0+3=3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tiếp tuyến tại $M(0;-2)$: $y=3x-2$, không phải $y=3x+2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }(x)=(x-1{)}^2+2\ge 2$, min bằng $2$ tại $x=1$, không phải $3$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{-2}{x+1}$, nên $f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}$ với $x\ne -1$.
a) Đúng: Theo định nghĩa đạo hàm tại $x_0=-2$: $f^{\prime }(-2)=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{f(x)-f(-2)}{x+2}$.
b) Đúng: $f^{\prime }(x)-2=0\iff \frac{2}{(x+1{)}^2}=2\iff (x+1{)}^2=1\iff x=0$ hoặc $x=-2$: hai nghiệm phân biệt.
c) Đúng: Hệ số góc của tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm có hoành độ $x_0=-2$ chính là $k=f^{\prime }(-2)$.
d) Sai: $f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ chỉ với $x\ne -1$; tại $x=-1$ hàm số không xác định nên không có đạo hàm, do đó khẳng định '$f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$' là sai. Kết quả Đ-Đ-Đ-S khớp với bảng đáp án mã đề 0102, câu 14.
a) (AI giải đề cho tôi)
Đúng theo định nghĩa đạo hàm: $f^{\prime }(-2)=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{f(x)-f(-2)}{x+2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}=2\iff (x+1{)}^2=1\iff x=0$ hoặc $x=-2$: hai nghiệm phân biệt.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc tiếp tuyến tại $M$ (hoành độ $x_0=-2$) bằng $f^{\prime }(-2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ chỉ với $x\ne -1$; tại $x=-1$ hàm không xác định nên mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Cường độ dòng điện là đạo hàm của điện lượng: $I(t)=Q^{\prime }(t)=t-1$ (A). Tại $t=7$: $I(7)=7-1=6$ (A). Kết quả trùng với đáp án nguồn (6).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\frac{-2}{x+1}$ có $f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}$ với $x\ne -1$. a) Hệ số góc của tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm $M$ có hoành độ $x_0=-2$ chính là $f^{\prime }(-2)$, nên ý a) Đúng. b) $f^{\prime }(x)-2=0\iff \frac{2}{(x+1{)}^2}=2\iff (x+1{)}^2=1\iff x=0$ hoặc $x=-2$: hai nghiệm phân biệt, ý b) Đúng. c) Theo định nghĩa đạo hàm, $f^{\prime }(-2)=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{f(x)-f(-2)}{x+2}$, ý c) Đúng. d) $f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ chỉ với $x\ne -1$; tại $x=-1$ hàm không xác định nên không có $f^{\prime }(-1)$, do đó khẳng định $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ là Sai. Kết quả Đúng–Đúng–Đúng–Sai khớp với đáp án mã đề 0101 (ĐĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm hoành độ $x_0=-2$ bằng $f^{\prime }(-2)=\frac{2}{(-2+1{)}^2}=2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=2\iff \frac{2}{(x+1{)}^2}=2\iff (x+1{)}^2=1\iff x=0$ hoặc $x=-2$, hai nghiệm phân biệt.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đây chính là định nghĩa đạo hàm tại $x_0=-2$ vì $x-(-2)=x+2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0$ chỉ với $x\ne -1$; tại $x=-1$ hàm số không xác định nên không thể có $f^{\prime }(x)>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$.

Vận tốc tức thời của vật là đạo hàm của phương trình chuyển động theo thời gian:
$$v(t)=s^{\prime }(t)=t^2-4t+4$$
Vật đứng yên khi vận tốc bằng 0: $t^2-4t+4=0\iff (t-2{)}^2=0\iff t=2$ (giây).