Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số bậc ba có cực đại tại $x=-1$ (điểm cao nhất chạm trục hoành) và cực tiểu tại $x=1$ (điểm thấp nhất có hoành độ 1, tung độ $-4$). Hàm số đồng biến trên $(-\infty ;-1)$ và $(1;+\infty )$, nghịch biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị, tức là trên $(-1;1)$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét đạo hàm trên $\mathbb{R}$:

A: $y^{\prime }=3x^2+2>0$ với mọi $x$ nên đồng biến, loại.

B: $y^{\prime }=-2x+2$ đổi dấu, không nghịch biến trên $\mathbb{R}$, loại.

C: $y^{\prime }=\frac{(x+1)-(x+3)}{(x+1{)}^2}=\frac{-2}{(x+1{)}^2}<0$ nhưng hàm không xác định tại $x=-1$ nên không nghịch biến trên $\mathbb{R}$, loại.

D: $y^{\prime }=-3x^2-3=-3(x^2+1)<0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Vậy chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: trên khoảng $(-4;-2)$ đồ thị đi xuống nên hàm số nghịch biến; trên $(-2;1)$ đồ thị là đoạn thẳng ngang nên hàm số không đổi (không nghịch biến); trên $(1;3)$ đồ thị đi lên nên hàm số đồng biến. Do đó khẳng định đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số có tiệm cận đứng $x=1$, nghịch biến trên $(-\infty ;1)$ và $(1;2)$ (đi xuống từ $+\infty$ tới điểm cực tiểu tại $x=2$), và đồng biến trên $(2;+\infty )$ (đồ thị đi lên sau điểm cực tiểu, tiệm cận xiên là đường đứt nét). Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(2;+\infty )$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số có tiệm cận đứng $x=1$. Trên khoảng $(-\infty ;1)$ đồ thị đi xuống (nghịch biến), trên khoảng $(1;2)$ đồ thị đi xuống (nghịch biến), còn trên khoảng $(2;+\infty )$ đồ thị đi lên (đồng biến). Vậy hàm số đồng biến trên $(2;+\infty )$, khớp với đáp án C trong bảng đáp án.

Dựa vào bảng xét dấu đạo hàm ta thấy $f^{\prime }(x)<0\iff x\in (-\infty ;1)\cup (3;4)$. Do đó hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;1)$ và $(3;4)$.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị hàm số bậc ba có điểm cực đại tại $x=0$ (giá trị $y=1$) và điểm cực tiểu tại $x=2$ (giá trị $y=-3$). Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng giữa hai điểm cực trị, tức là trên khoảng $(0;2)$. Kiểm tra các phương án: A sai vì trên $(0;3)$ hàm nghịch biến trên $(0;2)$ nhưng đồng biến trên $(2;3)$; B sai vì hàm chỉ đồng biến trên $(-\infty ;0)$; D sai vì hàm nghịch biến trên $(0;2)$. Vậy khẳng định đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ $x=0$ (giá trị $y=1$) và cực tiểu tại điểm có hoành độ $x=2$ (giá trị $y=-3$). Trên khoảng $(0;2)$, đồ thị đi xuống nên hàm số nghịch biến trên $(0;2)$. Kiểm tra các phương án khác: trên $(0;3)$ hàm nghịch biến rồi đồng biến (sau $x=2$), nên không đúng; $(-\infty ;1)$ và $(-3;1)$ chứa cả đoạn đồng biến trước $x=0$, không đúng. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-x^2-3x$ xác định trên $\mathbb{R}$. Ta có $y^{\prime }=x^2-2x-3$. Cho $y^{\prime }<0$: $x^2-2x-3<0\iff (x+1)(x-3)<0\iff -1<x<3$. Vậy khoảng nghịch biến là $(-1;3)$, tương ứng đáp án B (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{2}{x}^4-3x^2-3$ có đạo hàm $y^{\prime }=2x^3-6x=2x(x^2-3)=2x(x-\sqrt{3})(x+\sqrt{3})$. Hàm số đồng biến khi $y^{\prime }>0$. Xét dấu của $y^{\prime }$: với $x<-\sqrt{3}$ thì $y^{\prime }<0$; với $-\sqrt{3}<x<0$ thì $y^{\prime }>0$; với $0<x<\sqrt{3}$ thì $y^{\prime }<0$; với $x>\sqrt{3}$ thì $y^{\prime }>0$. Vậy khoảng đồng biến là $(-\sqrt{3};0)$ và $(\sqrt{3};+\infty )$, tương ứng đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận xiên dốc lên. Trên mỗi khoảng xác định $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$, hàm số đồng biến (nhánh trái tăng lên $+\infty$ khi $x\to -1^{-}$, nhánh phải tăng từ $-\infty$ khi $x\to -1^{+}$). Do đó $y^{\prime }\ge 0$ trên tập xác định, tức $y^{\prime }\ge 0,\forall x\ne -1$. Hàm không xác định tại $x=-1$ nên không thể có $y^{\prime }\ge 0,\forall x\in \mathbb{R}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
A) $y=-x^2+x+2$ là hàm bậc hai với $a=-1<0$, nghịch biến chỉ trên $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$, không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. B) $y={\log }_{0,3}x$ chỉ xác định trên $(0;+\infty )$, không xác định trên $\mathbb{R}$. C) $y=3x^4-6x^2$ có $y^{\prime }=12x^3-12x=12x(x-1)(x+1)$ đổi dấu qua $x=-1,0,1$, nên không nghịch biến trên $\mathbb{R}$. D) $y=-x^3+6$ có $y^{\prime }=-3x^2\le 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, đẳng thức chỉ xảy ra tại $x=0$, nên hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=x^2(3-x)=3x^2-x^3$, nên $f^{\prime }(x)=6x-3x^2=3x(2-x)$. Bất phương trình $f^{\prime }(x)>0$ tức $3x(2-x)>0$, tương đương $x(2-x)>0$, tức $x(x-2)<0$, suy ra $0<x<2$. Vậy tập nghiệm là $(0;2)$, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị của hàm số $y=f(x)$ với tập xác định $[-3;3]$: trên khoảng $(-3;-1)$ đồ thị đi lên (từ điểm có tung độ $-1$ tới điểm cao nhất tại $x=-1$), trên khoảng $(-1;1)$ đồ thị đi xuống (qua các điểm $(-1;1)$, $(0;0)$, $(1;-1)$), và trên khoảng $(1;3)$ đồ thị đi lên tới điểm $(3;4)$.
- A sai vì hàm số nghịch biến trên $(-1;1)$ nên không đồng biến trên toàn bộ $(-3;3)$.
- B đúng: hàm số đồng biến trên cả hai khoảng $(-3;-1)$ và $(1;3)$, mô tả đầy đủ các khoảng đồng biến theo đồ thị.
- C: về mặt toán học hàm số cũng nghịch biến trên $(-1;0)$ (vì nghịch biến trên toàn $(-1;1)$), tuy nhiên đáp án chuẩn của đề là B vì B mô tả đầy đủ các khoảng đồng biến của hàm số.
- D sai vì $(1;4)$ nằm ngoài tập xác định $[-3;3]$ của hàm số.
Đáp án: B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y^{\prime }=9x^2+2x=x(9x+2)$. Xét $y^{\prime }\le 0\iff x(9x+2)\le 0\iff -\frac{2}{9}\le x\le 0$. Vậy tập cần tìm là $\left[-\frac{2}{9};0\right]$, tương ứng đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị trên $[-1;3]$: hàm số đồng biến trên $(-1;0)$, nghịch biến trên $(0;1)$ (giá trị giảm từ $2$ xuống $1$), rồi đồng biến trên $(1;3)$. Do đó: A đúng (nghịch biến trên $(0;1)$); B sai vì trên $(0;3)$ hàm có cả đoạn nghịch biến $(0;1)$; C sai vì trên $(-1;2)$ có đoạn nghịch biến $(0;1)$; D sai vì trên $(1;2)$ hàm đồng biến. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;2)$ và đồng biến trên khoảng $(2;+\infty )$. Xét các mệnh đề: trên $(1;4)$ hàm số vừa nghịch biến vừa đồng biến nên A, B sai; trên $(0;1)$ hàm số nghịch biến (vì $(0;1)\subset (-\infty ;2)$) nên C sai, D đúng. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 9: D).

Đáp số: 1.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị (hình vẽ ở Câu 1, Mã đề 102): hàm số $y=f(x)$ đồng biến trên khoảng $(-\infty ;0)$ (đồ thị đi lên từ trái sang phải, đạt điểm cao nhất tại $(0;1)$) và nghịch biến trên khoảng $(0;+\infty )$ (đồ thị đi xuống từ trái sang phải). Xét các phương án: A. $(-3;0)$ nằm hoàn toàn trong khoảng đồng biến $(-\infty ;0)$ → sai. B. $(-3;1)$ chứa cả phần đồng biến lẫn phần nghịch biến → sai. C. $(1;+\infty )$ nằm hoàn toàn trong khoảng nghịch biến $(0;+\infty )$, nên hàm số nghịch biến trên khoảng này → đúng. D. $(-2;0)$ nằm hoàn toàn trong khoảng đồng biến → sai. Vậy đáp án đúng là C, trùng với đáp án của đề (Mã đề 102, Câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị, hàm số $y=f(x)$ có điểm thấp nhất (đỉnh) tại $x=-2$ và đạt giá trị lớn nhất cục bộ tại $x=0$. Quan sát đồ thị: trên khoảng $(-2;0)$, khi $x$ tăng thì $y$ tăng, tức đồ thị đi lên từ điểm thấp nhất khoảng $(-2;-3)$ đến điểm cao nhất $(0;1)$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(-2;0)$. Trên $(-3;0)$ và $(-3;1)$ hàm số có đoạn giảm (từ $-3$ đến $-2$), còn trên $(1;+\infty )$ hàm số nghịch biến. Do đó đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 101, Câu 1: D).