Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đơn điệu (Toán học Lớp 12)

Ta có $f^{\prime }(x)=x^2-2x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$. Bảng xét dấu $f^{\prime }(x)$: $f^{\prime }(x)>0$ khi $x\in (-\infty ;0)\cup (2;+\infty )$ và $f^{\prime }(x)<0$ khi $x\in (0;2)$. Do đó hàm số đồng biến trên các khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$. Vậy hàm số đồng biến trên $(-\infty ;0)$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9), chọn B.

Chọn D

Dựa vào đồ thị ta có hàm số nghịch biến trên ( -2;0 ) .

Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$. Ta có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{1\cdot 1-(-1)\cdot 1}{(x+1{)}^2}=\frac{2}{(x+1{)}^2}>0,\forall x\ne -1$. Do đó hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$.

Quan sát đồ thị, trên khoảng $(0;2)$ đường cong đi xuống từ trái sang phải, do đó hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên khoảng $(0;2)$.

Chọn A
x = 2 ( boäi chaün )
f ' ( x ) = ( 2 - x ) ( x + 2 ) (1 - x ) $\iff$ x = -2 ( boäi leû ) .
4 3

x = 1 ( boäi leû )
Bảng xét dấu:

Dựa vào bảng xét dấu, suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( -2;1) .

Chọn C
Xét hàm số y = -2022 x + 1 .

- Tập xác định D = $\mathbb{R}$ .
- Ta có y' = -2022  0, x $\in$ $\mathbb{R}$ .

Suy ra hàm số y = -2022 x + 1 nghịch biến trên $\mathbb{R}$ .

Chọn C
Dựa vào đồ thị ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng ( 0; 2 ) nên hàm số đồng biến trên (1; 2 ) .

Ta có $f^{\prime }(x)=x^2(x-1)$. Vì $x^2\ge 0,\forall x$ nên $f^{\prime }(x)>0\iff x-1>0\iff x>1$. Vậy hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$.

Từ bảng biến thiên, hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;0)$ và $(4;+\infty )$ vì dấu của $f^{\prime }(x)$ mang dấu âm $(-)$ trên các khoảng đó. Do đó hàm số nghịch biến trên $(-\infty ;0)$.

Xét từng hàm số:
- Các hàm số đa thức bậc chẵn $y=x^4+3x^2+1$ và $y=x^2+x+1$ có đạo hàm đổi dấu trên $\mathbb{R}$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- Hàm số phân thức $y=\frac{x-1}{x+2}$ có tập xác định $\mathcal{D}=\mathbb{R}\setminus \{-2\}$ nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.
- Hàm số $y=x^3+x^2+5x+1$ có tập xác định $\mathcal{D}=\mathbb{R}$ và $y^{\prime }=3x^2+2x+5$.
Tam thức bậc hai $3x^2+2x+5$ có $a=3>0$ và ${\Delta }^{\prime }=1^2-3\cdot 5=-14<0$, nên $y^{\prime }>0,\forall x\in \mathbb{R}$. Do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Vậy trong 4 hàm số đã cho, có đúng $1$ hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$.

Chọn đáp án B.

Dựa vào bảng biến thiên, ta thấy $y^{\prime }<0$ trên các khoảng $(-1;0)$ và $(0;1)$.

Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;0)$.

Xét hàm số $y=-2x^3+3x^2-6x$ có tập xác định $D=\mathbb{R}$.

Đạo hàm $y^{\prime }=-6x^2+6x-6=-6(x^2-x+1)=-6{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{9}{2}<0,\forall x\in \mathbb{R}$.

Do đó hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.

Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến khi $f^{\prime }(x)\le 0$, tức là phần đồ thị của $y=f^{\prime }(x)$ nằm phía dưới trục hoành $Ox$.
Từ hình vẽ, trên khoảng $\left(1;\frac{11}{5}\right)$, đồ thị $f^{\prime }(x)$ nằm dưới trục hoành, nên hàm số $f(x)$ nghịch biến.
Chọn đáp án D.

Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \{-1\}$.
Từ đồ thị, ta thấy nhánh đồ thị đi lên từ trái sang phải trên từng khoảng xác định $(-\infty ;-1)$ và $(-1;+\infty )$.
Do đó hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định, tức là $y^{\prime }>0,\forall x\ne -1$.
Chọn đáp án B.

Dựa vào bảng biến thiên, đạo hàm mang dấu dương ($f^{\prime }(x)>0$) trên khoảng $(1;+\infty )$ và $(-\infty ;-1)$. Trong các phương án, hàm số đồng biến trên khoảng $(1;+\infty )$ (cũng như $(-1;0)$). Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn D.

+ Xét phương án A: Ta có $y^{\prime }=-3x^2+1=0⟺x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Hàm số đồng biến trên $\left(-\frac{\sqrt{3}}{3};\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$. Phương án A không thỏa mãn.

+ Xét phương án B: Ta có $y^{\prime }=\frac{-4}{(x+1{)}^2}<0,\forall x\ne -1$. Phương án B không thỏa mãn.

+ Xét phương án C: Ta có $y^{\prime }=4x^3-2x=0⟺x=0$ hoặc $x=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Hàm số đồng biến trên $\left(-\frac{\sqrt{2}}{2};0\right)$ và $\left(\frac{\sqrt{2}}{2};+\infty \right)$. Khi đó hàm số đồng biến trên $(1;+\infty )$. Phương án C thỏa mãn.

Hàm số $y=f(x)$ nghịch biến trên các khoảng mà $f^{\prime }(x)\le 0$. Dựa vào đồ thị $y=f^{\prime }(x)$, ta thấy $f^{\prime }(x)<0$ khi $x\in (-\infty ;-2)$ và khi $x\in (1;3)$. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(-\infty ;-2)$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn A.

Xét hàm số $y=\frac{1}{3}{x}^3-\frac{1}{2}{x}^2+3x+1$, ta có đạo hàm $y^{\prime }=x^2-x+3={\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{11}{4}>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$. Do đó hàm số đồng biến trên $\mathbb{R}$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn C.

Chọn B.
Từ đồ thị hàm số ta thấy hàm số đồng biến trên khoảng $(-1;0)$.
Vì $-\frac{1}{2}\in (-1;0)$ nên $f^{\prime }\left(-\frac{1}{2}\right)>0$.

Chọn D.
Xét hàm số $y=x^3-3x^2+5$ trên $\mathbb{R}$, ta có $y^{\prime }=3x^2-6x>0\iff [<table><tbody><tr><td>x>2</td></tr><tr><td>x<0</td></tr></tbody></table>$. Do đó hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng $(-\infty ;0)$ và $(2;+\infty )$.