Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường song song mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $BC$, $N$ là trung điểm $AC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN//AB$. Vì $AB$ nằm trong mặt phẳng $(SBA)$ và $MN$ không nằm trong $(SBA)$, theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng ta có $MN//(SBA)$. Các mặt phẳng khác: $MN$ cắt $(ABC)$ tại các điểm $M$, $N$ nên không song song; $MN$ không song song với $(SBC)$, $(SCA)$ vì chúng chứa $M$, $N$ tương ứng. Đáp án $D$, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 316, Câu 6: D).

Chọn A
Do $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ là lăng trụ nên tứ giác $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình bình hành, nên ta có
$$\{\begin{array}{l}{B}^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC\\ BC\subset (ABC)\Rightarrow B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel (ABC).\\ B^{\prime }\notin (ABC)\end{array}$$

(AI giải đề cho tôi)
Trong lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, do $BC\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$ (tính chất lăng trụ: các cạnh đáy tương ứng song song) và $BC\subset (ABC)$, $B^{\prime }{C}^{\prime }\not\subset (ABC)$, nên theo định lí về đường thẳng song song với mặt phẳng, $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel (ABC)$. Các phương án khác sai vì: $B^{\prime }{C}^{\prime }\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }\subset (A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$; còn $(B^{\prime }BC)$ chứa $B^{\prime }$ và cắt... thực tế $(B^{\prime }BC)$ chứa $B^{\prime }$ và $B,C$; mặt phẳng này chứa đường $BC$ song song $B^{\prime }{C}^{\prime }$ nhưng $B^{\prime }\in (B^{\prime }BC)$ nên $B^{\prime }{C}^{\prime }$ nằm trong $(B^{\prime }BC)$, do đó không song song. Vậy đáp án là B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 4: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong lăng trụ $ABC.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, do $BC\parallel B^{\prime }{C}^{\prime }$ (hai cạnh của hình bình hành $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$) và $BC\subset (ABC)$, $B^{\prime }{C}^{\prime }\not\subset (ABC)$, nên theo định lí về đường thẳng song song với mặt phẳng, $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel (ABC)$. Các phương án khác sai vì: $B^{\prime }{C}^{\prime }\subset (A{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }\subset (A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$ nên không thể song song với các mặt phẳng chứa nó; $B^{\prime }{C}^{\prime }$ cắt $(B^{\prime }BC)$ tại $B^{\prime }$. Đáp án khớp với mã đề 1201: A.

a) Sai. b) Đúng. c) Sai. d) Đúng. (Theo bảng đáp án chính thức, trang 9; không kèm lời giải chi tiết trong nguồn.)

Ta có: $\widehat{BAE}+\widehat{EAF}+\widehat{DAF}=90^{\circ }\Rightarrow \widehat{BAE}+\widehat{DAF}=45^{\circ }$
$\Rightarrow \tan \left(\widehat{BAE}+\widehat{DAF}\right)=1\Rightarrow \frac{\tan \widehat{BAE}+\tan \widehat{DAF}}{1-\tan \widehat{BAE}.\tan \widehat{DAF}}=1$
Mà $\tan \widehat{BAE}=\frac{BE}{BA}=\frac{1}{2}$ nên $\tan \widehat{DAF}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{DF}{DA}=\frac{1}{3}\Rightarrow DF=\frac{1}{3}DA=\frac{1}{3}DC$
Gọi $H$ là giao điểm của $AF$ và $BC$ trong mặt phẳng $(ABCD)$
Ta có: $\{\begin{array}{l}GF\subset (SAH)\\ GF//(SBC)\\ (SAH)\cap (SBC)=SH\end{array}\Rightarrow GF//SH\Rightarrow \frac{AG}{AS}=\frac{AF}{AH}$. Mà $\frac{AF}{AH}=\frac{DF}{DC}=\frac{1}{3}$
Nên $\frac{AG}{AS}=\frac{1}{3}\Rightarrow m+2025n=6076$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $E$ là trung điểm $AB$, $F$ là trung điểm $AC$ nên $EF$ là đường trung bình, do đó $EF//BC$. Vì $BC\subset (BCD)$ và $EF\not\subset (BCD)$ (điểm $E\in AB$, mà $AB$ không nằm trong $(BCD)$ nên $E\notin (BCD)$), theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $EF//(BCD)$. Kiểm tra các phương án khác: $EF$ không cắt $(BCD)$ (loại B); $EF$ không song song $(ABD)$ vì $EF$ cắt $AB$ tại $E\in (ABD)$ (loại C); $EF\subset (ABC)$ nên không thể song song $(ABC)$ (loại D). Vậy khẳng định đúng là A, trùng với đáp án nguồn (MD 1112, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Thiết lập tọa độ: $A(0;0;0),B(1;0;0),D(0;1;0),C(1;1;0),S(0;0;2)$. Khi đó $O(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0)$, $E(1;\frac{1}{2};0)$, $I(0;0;1)$.

a) Đúng. Đường thẳng $IE$: $(t;\frac{t}{2};1-t)$. Mặt phẳng $(SBD)$ qua $S,B,D$ có phương trình $2x+2y+z=2$. Thay vào: $2t+t+1-t=2\Rightarrow t=\frac{1}{2}$, tức $J$ với $\frac{IJ}{IE}=\frac{1}{2}$.

b) Sai. Mặt phẳng $(SCD)$ có phương trình $2y+z=2$. Đường $IE$ thay vào cho $2\cdot \frac{t}{2}+(1-t)=1\ne 2$ nên $IE\parallel (SCD)$. Mặt khác $OE$ có vectơ chỉ phương $(1;0;0)$ cùng phương với $DC$ nên $OE\parallel (SCD)$. Vectơ pháp tuyến của $(IOE)$ là $OE\times OI=(0;-1;-\frac{1}{2})$ cùng phương với $(0;2;1)$ — pháp tuyến của $(SCD)$. Vậy $(IOE)\parallel (SCD)$, hai mặt phẳng không cắt nhau, không tồn tại giao tuyến song song với $OE$.

c) Đúng. $O$ là trung điểm $AC$, $E$ là trung điểm $BC$ nên trong tam giác $ABC$, $OE\parallel AB\parallel DC$ với $DC\subset (SCD)$, $OE\not\subset (SCD)$. Vậy $OE\parallel (SCD)$.

d) Đúng. Theo lập luận trên $OE\parallel AB$ (đường trung bình của tam giác $ABC$).

Kết quả khớp bảng đáp án chính thức MD 1111: Đ – S – Đ – Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trong hệ tọa độ đã chọn, đường thẳng $IE$: $(t;\frac{t}{2};1-t)$ cắt mặt phẳng $(SBD):2x+2y+z=2$ tại $t=\frac{1}{2}$, nên $\frac{IJ}{IE}=\frac{1}{2}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Cả $OE\parallel DC\parallel (SCD)$ và $IE\parallel (SCD)$ (thay phương trình $IE$ vào $(SCD):2y+z=2$ cho $1\ne 2$), và pháp tuyến của $(IOE)$ là $(0;-1;-\frac{1}{2})$ cùng phương $(0;2;1)$. Vậy $(IOE)\parallel (SCD)$, hai mặt phẳng không có giao tuyến.
c) (AI giải đề cho tôi)
$O$ trung điểm $AC$, $E$ trung điểm $BC$ nên $OE\parallel AB\parallel DC\subset (SCD)$ và $OE\not\subset (SCD)$, suy ra $OE\parallel (SCD)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$OE$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ nên $OE\parallel AB$.

Đáp số: 2027

Ta có: $\widehat{BAE}+\widehat{EAF}+\widehat{DAF}=90^o\Rightarrow \widehat{BAE}+\widehat{DAF}=45^o$
$\Rightarrow \tan \left(\widehat{BAE}+\widehat{DAF}\right)=1\Rightarrow \frac{\tan \widehat{BAE}+\tan \widehat{DAF}}{1-\tan \widehat{BAE}.\tan \widehat{DAF}}=1$
Mà $\tan \widehat{BAE}=\frac{BE}{BA}=\frac{1}{2}$ nên $\tan \widehat{DAF}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{DF}{DA}=\frac{1}{3}\Rightarrow DF=\frac{1}{3}DA=\frac{1}{3}DC$
Gọi $H$ là giao điểm của $AF$ và $BC$ trong mặt phẳng $(ABCD)$
Ta có:
$\{\begin{array}{l}GF\subset (SAH)\\ GF//(SBC)\\ (SAH)\cap (SBC)=SH\end{array}\Rightarrow GF//SH$
$$\Rightarrow \frac{AG}{AS}=\frac{AF}{AH}.\text{Maˋ }\frac{AF}{AH}=\frac{DF}{DC}=\frac{1}{3}$$
$$\text{Neˆn }\frac{AG}{AS}=\frac{1}{3}\Rightarrow \frac{GA}{GS}=\frac{1}{2}.$$

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$, $E$ là trung điểm $AB$, $F$ là trung điểm $AC$ nên $EF$ là đường trung bình, suy ra $EF\parallel BC$. Vì $BC\subset (BCD)$ và $EF\not\subset (BCD)$ nên theo định lí về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $EF\parallel (BCD)$. Do đó khẳng định đúng là A, trùng với đáp án nguồn (MD 1111, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hình chóp S.ABCD, đáy là hình thang AB // CD, AB = 2CD; E trung điểm AB; M trên SB với BM = 2SM (tức SM:MB = 1:2).

a) ĐÚNG. Vì E là trung điểm AB nên AE = AB/2 = CD, mà AE // CD nên tứ giác AECD là hình bình hành suy ra CE // AD.

b) ĐÚNG. Vì AB // CD, CD nằm trong (SCD) và AB không nằm trong (SCD), theo định lí về đường thẳng song song với mặt phẳng thì AB // (SCD).

c) ĐÚNG. Ta có CD // AB nên CD // (SAB). Mặt phẳng (MCD) đi qua CD và cắt (SAB) theo giao tuyến d. Theo định lí về giao tuyến (nếu một mặt phẳng chứa đường thẳng song song với mặt phẳng kia thì giao tuyến song song với đường thẳng đó), d // CD // AB và d đi qua M. Vậy giao tuyến là đường thẳng qua M song song với AB.

d) ĐÚNG. Vì (P) // (SCD), giao tuyến của (P) với (SAB) là MN, nên MN // SD... chính xác hơn, giao tuyến (P)∩(SAB) song song với giao tuyến (SCD)∩(SAB) là đường d // AB, nên MN // AB. Tương tự PQ // CD // AB. Trong tam giác SAB: SM/SB = 1/3 nên MN/AB = SM/SB = 1/3 ⇒ MN = AB/3 = 2CD/3. Trong tam giác SAD: NP // SD nên AN/AS = SM/SB = 1/3 ⇒ AP/AD = 2/3. Tương tự trong tam giác SBC, điểm Q chia BC theo tỉ số BQ/BC = 2/3. Đặt hệ toạ độ: A(0;0;0), B(2;0;0), D(u;1;0), C(u+1;1;0) thì P = (2u/3; 2/3; 0), Q = (2 + 2(u−1)/3; 2/3; 0), suy ra PQ = 2 − 2/3 = 4/3 (độ dài, với CD = 1), tức PQ = 4CD/3. Vậy MN = 2CD/3 = PQ/2 ⇒ MN = (1/2)PQ, và MN // PQ nên MNPQ là hình thang có MN = (1/2)PQ. Khẳng định đúng.

Kết quả: a) Đúng, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng — khớp với đáp án nguồn ĐDDD (mã đề 0112).
a) (AI giải đề cho tôi)
AE = AB/2 = CD và AE // CD nên AECD là hình bình hành, suy ra CE // AD.
b) (AI giải đề cho tôi)
AB // CD với CD ⊂ (SCD), AB ⊄ (SCD) nên AB // (SCD).
c) (AI giải đề cho tôi)
CD // AB nên CD // (SAB); (MCD) chứa CD và cắt (SAB) theo giao tuyến d đi qua M, với d // CD // AB.
d) (AI giải đề cho tôi)
MN // AB với MN = AB/3 = 2CD/3 (do SM/SB = 1/3); PQ // CD với PQ = 4CD/3 (do AP/AD = BQ/BC = 2/3). Vậy MN // PQ và MN = (1/2)PQ: MNPQ là hình thang thoả mãn đề bài.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ không nằm trong $(P)$ và $d$ song song với một đường thẳng $a$ nằm trong $(P)$. Theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng: nếu $d\parallel a$, $a\subset (P)$ và $d\not\subset (P)$ thì $d\parallel (P)$. Do đó $d$ song song với $(P)$, đáp án D (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAD$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SD$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN//AD$. Vì $AD\subset (ABCD)$ và $AD\subset (SAD)$ nên $MN$ nằm trong mặt phẳng $(SAD)$ (không song song với $(SAD)$), và $MN\subset (SAD)$ với $AD\subset (ABCD)$, $MN\not\subset (ABCD)$, do đó $MN$ song song với $(ABCD)$, không cắt $(ABCD)$ — loại A, B. Xét mặt phẳng $(SBC)$: trong tam giác $SAD$, $MN//AD$; mà $AD//BC$ (đáy là hình thang) nên $MN//BC$. Vì $BC\subset (SBC)$ và $MN\not\subset (SBC)$ (vì $AD>BC$ nên $MN$ không trùng đường thẳng qua $S$), theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, ta có $MN//(SBC)$. Vậy khẳng định đúng là C. Với $(SAB)$: $MN$ cắt $SA$ tại $M$ nên không thể song song với $(SAB)$ — loại D. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 0112, câu 7: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SA$ và $SB$ nên trong tam giác $SAB$, $MN$ là đường trung bình, do đó $MN\parallel AB$.
- Xét đáp án D: Trong mặt phẳng $(ABCD)$ có $AB\parallel CD$ với $CD\subset (SCD)$ và $AB\not\subset (SCD)$ (vì $AB>CD$ nên $AB$ không trùng $CD$, $A,B$ không thuộc $(SCD)$). Suy ra $AB\parallel (SCD)$, mà $MN\parallel AB$ nên $MN\parallel (SCD)$. Đáp án D đúng.
- Đáp án A sai: $MN\parallel AB$ nhưng $AB$ cắt $(SAD)$ tại $A$ (vì $AB$ cắt $AD$ tại $A$), nên $MN$ không song song $(SAD)$.
- Đáp án B sai: $AB\subset (SAB)$ nên $MN$ không thể song song với $(SAB)$ (thực tế $MN\subset (SAB)$).
- Đáp án C sai: $MN\parallel AB\subset (ABCD)$ nên $MN\parallel (ABCD)$, không cắt $(ABCD)$.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: E là trung điểm AD nên ED = AD/2 = BC, mà ED ∥ BC (cùng song song AD) ⇒ EBCD là hình bình hành ⇒ BE ∥ CD.
b) Đúng: BC ∥ AD, AD ⊂ (SAD), BC ⊄ (SAD) ⇒ BC ∥ (SAD).
c) Đúng: Vì BC ∥ (SAD) và BC ⊂ (MBC), mặt phẳng (MBC) cắt (SAD) theo giao tuyến d đi qua M và d ∥ BC; mà BC ∥ AD nên d ∥ AD.
d) Sai: Chọn tọa độ A(0;0;0), D(2;0;0), B(1;1;0), C(2;1;0), S(0;0;3). Khi đó M trên SD với SM = 2MD: M(4/3;0;1). Mặt phẳng (SBC) có phương trình 3y + z = 9, nên (P) qua M song song (SBC) là 3y + z = 1. T giao: N trên SA: N(0;0;1); P trên AB: P(1/3;1/3;0); Q trên CD: Q(2;1/3;0). Suy ra MN = 4/3, PQ = 5/3, MN ∥ PQ nên MNPQ là hình thang nhưng MN = (4/5)PQ ≠ (3/4)PQ ⇒ khẳng định d) sai. Kết quả khớp đáp án nguồn ĐĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
E trung điểm AD nên ED = BC và ED ∥ BC ⇒ EBCD là hình bình hành ⇒ BE ∥ CD.
b) (AI giải đề cho tôi)
BC ∥ AD ⊂ (SAD) và BC ⊄ (SAD) ⇒ BC ∥ (SAD).
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì BC ∥ (SAD), giao tuyến của (MBC) và (SAD) đi qua M và song song với BC, do đó song song với AD.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với hệ tọa độ A(0;0;0), D(2;0;0), B(1;1;0), C(2;1;0), S(0;0;3) thì M(4/3;0;1), (P): 3y+z=1, cho N(0;0;1), P(1/3;1/3;0), Q(2;1/3;0). MN = 4/3, PQ = 5/3 ⇒ MN = (4/5)PQ ≠ (3/4)PQ.

$\frac{SH}{HB}.\frac{BD}{DO}.\frac{OI}{IS}=1\iff \frac{SH}{HB}.\frac{3}{1}.\frac{1}{2}=1$
$\iff \frac{SH}{HB}=\frac{2}{3}\iff \frac{SH}{SB}=\frac{2}{5}$
$\iff SH=\frac{2}{5}SB=\frac{2}{5}AB=\frac{4}{5}$
$SE=\frac{2}{3}SA=\frac{2}{3}AB=\frac{4}{3}$;
$FH=EH=\sqrt{S{E}^2+S{H}^2-2.SE.SH.\cos 60^{\circ }}=\frac{4\sqrt{19}}{15}$
$EF=\frac{2}{3}AC=\frac{4\sqrt{2}}{3}\Rightarrow S_{\Delta HEF}=\frac{8\sqrt{13}}{45};\frac{AK}{EH}=\frac{3}{2}$
$\Delta KAC\sim \Delta HEF\Rightarrow S_{\Delta KAC}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2{S}_{\Delta HEF}=\frac{2\sqrt{13}}{5}\approx 1,44$

[Hình cần kiểm tra lại: p10_f1]

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $G_1$ là trọng tâm tam giác $SBC$: $\overrightarrow{G_1}=\frac{\vec{S}+\vec{B}+\vec{C}}{3}$; $G_2$ là trọng tâm tam giác $BCD$: $\overrightarrow{G_2}=\frac{\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{3}$. Suy ra $\overrightarrow{G_1{G}_2}=\overrightarrow{G_2}-\overrightarrow{G_1}=\frac{\vec{D}-\vec{S}}{3}=\frac{1}{3}\overrightarrow{SD}$. Vậy $G_1{G}_2\parallel SD$. Vì $SD\subset (SBD)$, $SD\subset (SAD)$, $SD\subset (SCD)$ nên $G_1{G}_2\parallel (SBD)$, $G_1{G}_2\parallel (SAD)$, $G_1{G}_2\parallel (SCD)$ (đường thẳng song song với đường thẳng nằm trong mặt phẳng và không nằm trong mặt phẳng đó). Tuy nhiên $SD$ không song song với mặt phẳng $(SAB)$ (mặt phẳng $(SAB)$ cắt đường thẳng $SD$ tại $S$... chính xác hơn, $SD$ không nằm trong $(SAB)$ và $SD$ cắt $(SAB)$, do đó $G_1{G}_2$ không song song $(SAB)$). Mệnh đề sai là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 11: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a//b$ và $b\subset (P)$: nếu $a\subset (P)$ thì $a$ nằm trong $(P)$; nếu $a\not\subset (P)$ thì $a$ không thể cắt $(P)$ (nếu $a$ cắt $(P)$ tại điểm $A$ thì trong $(P)$ có đường thẳng qua $A$ song song $b$, đó phải là $a$, mâu thuẫn với $a\not\subset (P)$). Vậy $a//(P)$ hoặc $a\subset (P)$. Đáp án D, khớp đáp án nguồn (mã đề 212, câu 10: D).

(AI giải đề cho tôi)
Đáp án nguồn (mã đề 212, câu 19) là $1$, và lời giải độc lập dưới đây cho cùng kết quả.

Chọn hệ vectơ gốc $A$: đặt $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{e_1}$, $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{e_2}$, $\overrightarrow{AS}=\vec{s}$. Vì $AD\parallel BC$ nên tồn tại $k>0$ sao cho $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{e_1}+k\overrightarrow{e_2}$. Vì $M$ nằm bên trong hình thang nên $\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$ với $x>0$, $y>0$ (và $M$ thuộc hình thang).

Đường thẳng qua $M$ song song với $SA$: điểm bất kỳ trên nó có dạng $\overrightarrow{AN}=\overrightarrow{AM}+\lambda \overrightarrow{AS}=\lambda \vec{s}+x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$, với $\lambda =\frac{MN}{SA}$ (cùng phương cùng chiều với $\overrightarrow{AS}$).

Mặt phẳng $(SBC)$ gồm các điểm có dạng tổ hợp affine của $S,B,C$: $\alpha \vec{s}+\beta \overrightarrow{e_1}+\gamma (\overrightarrow{e_1}+k\overrightarrow{e_2})$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$. So sánh: $\alpha =\lambda$, hệ số $\overrightarrow{e_2}$ cho $\gamma k=y\Rightarrow \gamma =y/k$, hệ số $\overrightarrow{e_1}$ cho $\beta =x-y/k$. Điều kiện $\alpha +\beta +\gamma =1$ suy ra $\lambda +x=1$, tức $\frac{MN}{SA}=\lambda =1-x$.

Tương tự, đường qua $M$ song song với $SB$: $\overrightarrow{AP}=\overrightarrow{AM}+\mu (\vec{s}-\overrightarrow{e_1})=\mu \vec{s}+(x-\mu )\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$, với $\mu =\frac{MP}{SB}$. Mặt phẳng $(SAD)$ gồm các điểm $\alpha \vec{s}+\gamma \overrightarrow{e_2}$ (không có thành phần $\overrightarrow{e_1}$), nên $x-\mu =0$, tức $\frac{MP}{SB}=\mu =x$.

Vậy $\frac{MN}{SA}+\frac{MP}{SB}=(1-x)+x=1$, khớp đáp án nguồn $1$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SAC$, $M$ là trung điểm $SA$, $N$ là trung điểm $SC$ nên $MN$ là đường trung bình: $MN\parallel AC$. Vì $AC\subset (ABCD)$ và $MN\not\subset (ABCD)$ nên theo định lý về đường thẳng song song với mặt phẳng, $MN\parallel (ABCD)$. Với các mặt phẳng khác: $MN$ cắt $(SBC)$ tại $N$, cắt $(SAB)$ tại $M$, cắt $(SCD)$ tại $N$, nên không song song. Vậy khẳng định đúng là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 212, câu 2: A).