Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có phương trình tham số $\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3-t\end{array}$ nên VTCP $\overrightarrow{u_d}=(2;-1)$.
Vì $\Delta \perp d$ nên VTCP của $d$ chính là pháp vector của $\Delta$: $\overrightarrow{n_{\Delta }}=\overrightarrow{u_d}=(2;-1)$.
Đường thẳng $\Delta$ đi qua $C(1;-2)$ và có pháp vector $\vec{n}=(2;-1)$ nên phương trình tổng quát:
$$2(x-1)-1(y+2)=0\iff 2x-2-y-2=0\iff 2x-y-4=0.$$
Kiểm tra: điểm $C(1;-2)$ thỏa mãn $2(1)-(-2)-4=2+2-4=0$, đúng.
Vậy $\Delta :2x-y-4=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d$ có pháp tuyến $\vec{u}(-1;5)$ nên vectơ chỉ phương là $\vec{a}(5;1)$ (vì $\vec{a}\cdot \vec{u}=-5+5=0$). Đường thẳng đi qua $N(5;1)$ nên phương trình tham số dạng $\{\begin{array}{l}x=5+5t\\ y=1+t\end{array}$. Trong các đáp án, chỉ có phương trình ở đáp án B có vectơ chỉ phương $(-5;-1)$ cùng phương với $(5;1)$ và đi qua điểm $N(5;1)$ (khi $t=0$). Đáp án A đi qua $(-5;-1)$, C đi qua $(-5;-1)$, D có $y=1$ (không phải đường thẳng cần tìm). Vậy đáp án đúng là B.

(AI giải đề cho tôi) ${\Delta }_1$ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1;-2)$, hệ số góc $k_1=-2$. ${\Delta }_2:3x-y+14=0\iff y=3x+14$ có hệ số góc $k_2=3$. Ta có $\tan \phi =\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1{k}_2}\right|=\left|\frac{3-(-2)}{1+(-2)(3)}\right|=\left|\frac{5}{-5}\right|=1$, suy ra góc giữa hai đường thẳng là $\phi =45^{\circ }$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm của $MN$ là $I\left(\frac{3+(-13)}{2};\frac{7+(-1)}{2}\right)=I(-5;3)$. Vecto $\overrightarrow{MN}=(-16;-8)$, nên đường trung trực của $MN$ có vecto pháp tuyến song song với $\overrightarrow{MN}$, chẳng hạn $\vec{n}=(2;1)$. Phương trình: $2(x+5)+1(y-3)=0\iff 2x+y+7=0$. Kiểm tra: $I(-5;3)$ thỏa mãn và $2\cdot 3+7+7=20\ne 0$, $2\cdot (-13)+(-1)+7=-20\ne 0$ (M, N khác phía, cách đều). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đường thẳng $d$ đi qua $A(7;10)$, $B(3;-10)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{AB}=(-4;-20)\parallel (1;5)$. Phương trình tham số: $\frac{x-7}{1}=\frac{y-10}{5}=t$, suy ra $y=5x-25$, tức $d:5x-y-25=0$. Kiểm tra: $A$: $35-10-25=0$ đúng; $B$: $15+10-25=0$ đúng.

b) $M(x;y)\in \Delta \Rightarrow x-6y+5=0\Rightarrow x=6y-5$. Điều kiện $MA=MB$ tương đương $M{A}^2=M{B}^2$:
$(x-7{)}^2+(y-10{)}^2=(x-3{)}^2+(y+10{)}^2$
$\iff (x-7{)}^2-(x-3{)}^2+(y-10{)}^2-(y+10{)}^2=0$
$\iff (-8x+40)+(-40y)=0\iff x+5y=5$ (đây là đường trung trực của $AB$, đi qua trung điểm $(5;0)$, hệ số phù hợp với $\overrightarrow{AB}=(-4;-20)$).
Thay $x=6y-5$: $6y-5+5y=5\Rightarrow 11y=10\Rightarrow y=\frac{10}{11}$, $x=\frac{60}{11}-5=\frac{5}{11}$.
Vậy $M\left(\frac{5}{11};\frac{10}{11}\right)$. Kiểm tra: $\frac{5}{11}-\frac{60}{11}+\frac{55}{11}=0$ đúng; $M$ nằm trên trung trực của $AB$ nên $MA=MB$.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ: 3x - y - 2 = 0 có vectơ pháp tuyến n = (3; -1). Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi vectơ pháp tuyến của chúng cùng phương. Xét các phương án: A: -3x + y = 0 có pháp tuyến (-3; 1) = -(3; -1), cùng phương với n nên song song với Δ. B: -3x + y - 4 = 0 có pháp tuyến (-3; 1), cùng phương với n nên song song với Δ. C: 3x - y - 4 = 0 có pháp tuyến (3; -1), cùng phương với n nên song song với Δ. D: 3x + y - 4 = 0 có pháp tuyến (3; 1), không cùng phương với n = (3; -1) vì 3·(-1) - 1·3 = -6 ≠ 0, nên không song song với Δ. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(3;2)$ đến đường thẳng $\Delta :3x+4y-2=0$ là $d(A,\Delta )=\frac{|3\cdot 3+4\cdot 2-2|}{\sqrt{3^2+4^2}}=\frac{|9+8-2|}{5}=\frac{15}{5}=3$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(-1;3)$ đến đường thẳng $\Delta :3x-4y+5=0$ là $d(A,\Delta )=\frac{|3\cdot (-1)-4\cdot 3+5|}{\sqrt{3^2+(-4{)}^2}}=\frac{|-3-12+5|}{5}=\frac{10}{5}=2$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Câu 11, mã đề 0111: D).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 3 (mã đề 0111), A(10;20), B(70;100).
a) $\overrightarrow{AB}=(70-10;100-20)=(60;80)$ → Đúng.
b) $AB=\sqrt{60^2+80^2}=\sqrt{10000}=100\ne 90$ → Sai.
c) Đường thẳng qua A có hệ số góc $\frac{80}{60}=\frac{4}{3}$: $y-20=\frac{4}{3}(x-10)\iff 4x-3y+20=0$; thay B: $4\cdot 70-3\cdot 100+20=0$ → Đúng.
d) Thời gian $=\frac{100}{80}=1,25$ giờ $=75$ phút → Đúng.
Kết quả Đ–S–Đ–Đ khớp đáp án nguồn mã đề 0111 (Câu 15).
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(70-10;100-20)=(60;80)$ → Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
$AB=\sqrt{60^2+80^2}=100\ne 90$ → Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua A, B: $y-20=\frac{4}{3}(x-10)\iff 4x-3y+20=0$; B thỏa mãn → Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thời gian $=\frac{100}{80}=1,25$ giờ $=75$ phút → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-2y+4=0$ cắt trục $Ox$ tại $y=0\Rightarrow x=-4$, tức điểm $A(-4;0)$. Cắt trục $Oy$ tại $x=0\Rightarrow y=2$, tức điểm $B(0;2)$. Tam giác tạo bởi $d$ và hai trục là tam giác vuông tại $O$ với hai cạnh góc vuông $OA=4$ và $OB=2$. Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4$ (đơn vị diện tích). Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 104, Phần III câu 4: 4).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d_1:4x+6y-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(4;6)$. Đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(2;3)$, suy ra vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(3;-2)$. Ta có $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=4\cdot 3+6\cdot (-2)=12-12=0$, nên hai vectơ pháp tuyến vuông góc, do đó $d_1\perp d_2$. Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau, khớp với đáp án D trong nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng qua $M(1;1)$ và $N(2;4)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{MN}=(2-1;4-1)=(1;3)$. Viết phương trình tham số qua điểm $(0;-2)$ (thuộc đường thẳng vì $y=3x-2$): $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=-2+3t\end{array}$. Kiểm tra: với $t=1$ được $M(1;1)$, với $t=2$ được $N(2;4)$. Các phương án khác: A có vectơ chỉ phương $(-3;1)$ không cùng phương với $(1;3)$; C không đi qua $M$ (với $t=0$ được $(1;0)$); D có vectơ $(1;1)$ sai. Vậy đáp án là B, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 104, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $M(3;-2)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;4)$ có phương trình: $1(x-3)+4(y+2)=0\iff x-3+4y+8=0\iff x+4y+5=0$. Thử điểm $M$: $3+4(-2)+5=0$ đúng. Khớp với đáp án B trong đề (Mã đề 103, câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-2y+4=0$ cắt $Ox$ tại $y=0\Rightarrow x=-4$, tức điểm $A(-4;0)$; cắt $Oy$ tại $x=0\Rightarrow y=2$, tức điểm $B(0;2)$. Tam giác tạo bởi $d$ và hai trục có hai cạnh góc vuông tại $O$ với độ dài $OA=4$, $OB=2$. Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4$ (đơn vị diện tích). Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 103, Phần III câu 1: 4).

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $K$ thuộc $d$ nên $x_K=5+t=7\Rightarrow t=2$. Khi đó $y_K=1-3t=1-3\cdot 2=-5$. Vậy tung độ của $K$ bằng $-5$, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 103, Phần III câu 4: $-5$).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d_1:4x+6y-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(4;6)$. Đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(2;3)$. Vì $\overrightarrow{n_1}=(4;6)=2\cdot (2;3)=2\overrightarrow{u_2}$, tức pháp tuyến của $d_1$ song song với vectơ chỉ phương của $d_2$, nên $d_1$ vuông góc với $d_2$. Kiểm tra: $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{u_2}=4\cdot 2+6\cdot 3=26\ne 0$ (điều kiện vuông góc giữa hai đường thẳng là $\overrightarrow{n_1}$ song song $\overrightarrow{u_2}$, đúng như trên). Vậy chọn C, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 103, câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng đi qua $M(3;-2)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;4)$ có phương trình: $1(x-3)+4(y+2)=0\iff x-3+4y+8=0\iff x+4y+5=0$. Kiểm tra: $M(3;-2)$: $3+4(-2)+5=0$ đúng. Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 102, câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $K$ thuộc đường thẳng $d$ nên có dạng $K(5+t;1-3t)$. Vì hoành độ của $K$ bằng 7 nên $5+t=7\Rightarrow t=2$. Khi đó tung độ của $K$ là $y=1-3\cdot 2=1-6=-5$. Vậy $K(7;-5)$, tung độ bằng $-5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, Phần III câu 3: $-5$).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d:x-2y+4=0$ cắt $Ox$ tại $y=0\Rightarrow x=-4$, tức điểm $A(-4;0)$; cắt $Oy$ tại $x=0\Rightarrow y=2$, tức điểm $B(0;2)$. Tam giác tạo bởi $d$ và hai trục có hai cạnh góc vuông tại $O$ với độ dài $OA=4$, $OB=2$. Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2=4$ (đơn vị diện tích). Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102, Phần III câu 4: 4).

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $d_1:4x+6y-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(4;6)$. Đường thẳng $d_2$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(2;3)$. Vì $\overrightarrow{n_1}=(4;6)=2\cdot (2;3)=2\overrightarrow{u_2}$ nên vectơ pháp tuyến của $d_1$ song song với vectơ chỉ phương của $d_2$, suy ra $d_1\perp d_2$. Vậy hai đường thẳng vuông góc với nhau, đáp án C (khớp với đáp án nguồn: Mã đề 102, câu 6 là C).