Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường thẳng trong mặt phẳng (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $CD\parallel AB$. Đường thẳng $AB:3x-4y-5=0$ có vectơ chỉ phương $\vec{u}=(4;3)$. Đường thẳng $CD$ đi qua $D(-2;1)$ và nhận $\vec{u}=(4;3)$ làm vectơ chỉ phương, nên phương trình tham số là $\{\begin{array}{l}x=-2+4t\\ y=1+3t\end{array}$. Kiểm tra các đáp án: phương án A có vectơ chỉ phương $(-4;-3)$ cùng phương với $(4;3)$ và với $t=1$ ta được điểm $(-2;1)=D$, nên A biểu diễn cùng đường thẳng. Phương án B, C có vectơ chỉ phương $(3;4)$, $(-3;4)$ không cùng phương với $(4;3)$. Phương án D đi qua $(-6;2)$: với $t=1$ được $(-2;5)\ne D$, loại. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng Δ: 4x−2y−8=0 chia hai vế cho 2 được 2x−y−4=0, có vectơ pháp tuyến n=(2;−1). Hai đường thẳng song song khi vectơ pháp tuyến tỉ lệ và phương trình không trùng nhau. Xét các đáp án: d1: 2x−y−8=0 có n=(2;−1) tỉ lệ với (2;−1) và −8≠−4 nên d1 song song với Δ (đáp án A). d3: 2x−y−4=0 trùng hoàn toàn với Δ (không phải song song). d2 có n=(2;1), d4 có n=(−2;−1) không tỉ lệ với (2;−1). Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2: Cho $A(3;-5)$, $B(1;1)$.

a) VTCP của $AB$: $\overrightarrow{AB}=(1-3;1-(-5))=(-2;6)$, chọn VTCP $\vec{u}=(-1;3)$.
Phương trình tham số của đường thẳng $AB$ (qua $A(3;-5)$):
$$\{\begin{array}{l}x=3-t\\ y=-5+3t\end{array}(t\in \mathbb{R}).$$
(Kiểm tra: với $t=1$ ta được $B(1;1)$ — đúng.)

b) Đường tròn tâm $A(3;-5)$ đi qua $B$ có bán kính:
$$R=AB=\sqrt{(1-3{)}^2+(1+5{)}^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.$$
Vậy phương trình đường tròn $(C)$:
$$(x-3{)}^2+(y+5{)}^2=40.$$

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(1;2)$ đến đường thẳng $\Delta :4x-3y-13=0$ là $d(M,\Delta )=\frac{|4\cdot 1-3\cdot 2-13|}{\sqrt{4^2+(-3{)}^2}}=\frac{|4-6-13|}{5}=\frac{15}{5}=3$. Vậy đáp án B.

a) Đường thẳng $d:3x+4y-4=0$ có một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(3;4)$.

b) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-5;3)$ là một vecto chỉ phương của $\Delta$ nên $\Delta$ có một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(3;5)$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(5;0)$ nên có phương trình tổng quát là $3(x-5)+5(y-0)=0\iff 3x+5y-15=0$.

c) Ta có vecto pháp tuyến của $d$ và $\Delta$ lần lượt là ${\vec{n}}_d=(3;4)$ và ${\vec{n}}_{\Delta }=(3;5)$. Vì $\frac{3}{3}\ne \frac{4}{5}$ nên $\Delta$ cắt $d$.

d) Ta có vecto pháp tuyến của $d$ và $\Delta$ lần lượt là ${\vec{n}}_d=(3;4)$ và ${\vec{n}}_{\Delta }=(3;5)$. Khi đó $\cos \alpha =\frac{|3\cdot 3+4\cdot 5|}{\sqrt{3^2+4^2}\cdot \sqrt{3^2+5^2}}=\frac{29}{5\sqrt{34}}=\frac{29\sqrt{34}}{170}$.

Chọn đáp án [a đúng | b sai | c đúng | d sai]
a) Đường thẳng $d:3x+4y-4=0$ có một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(3;4)$.
b) Ta có $\overrightarrow{AB}=(-5;3)$ là một vecto chỉ phương của $\Delta$ nên $\Delta$ có một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(3;5)$. Đường thẳng $\Delta$ đi qua $A(5;0)$ nên có phương trình tổng quát là $3(x-5)+5(y-0)=0\iff 3x+5y-15=0$.
c) Ta có vecto pháp tuyến của $d$ và $\Delta$ lần lượt là ${\vec{n}}_d=(3;4)$ và ${\vec{n}}_{\Delta }=(3;5)$. Vì $\frac{3}{3}\ne \frac{4}{5}$ nên $\Delta$ cắt $d$.
d) Ta có vecto pháp tuyến của $d$ và $\Delta$ lần lượt là ${\vec{n}}_d=(3;4)$ và ${\vec{n}}_{\Delta }=(3;5)$. Khi đó $\cos \alpha =\frac{|3\cdot 3+4\cdot 5|}{\sqrt{3^2+4^2}\cdot \sqrt{3^2+5^2}}=\frac{29}{5\sqrt{34}}=\frac{29\sqrt{34}}{170}$.

Khoảng cách từ tháp canh đến bờ sông chính là khoảng cách từ điểm $A(5;2)$ đến đường thẳng $d:4x+3y-1=0$ và bằng $d(A,d)=\frac{|4\cdot 5+3\cdot 2-1|}{\sqrt{4^2+3^2}}=5$.

a) Vì chiếc xe chuyển động từ điểm $A(1;2)$ theo một đường thẳng với véc tơ vận tốc $\vec{v}=(3;3)$ nên quỹ đạo xe là đường thẳng có phương trình tham số là $\Delta :\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=2+3t\end{array},t\in \mathbb{R}$.

b) Phương trình tham số đường thẳng mô tả quỹ đạo xe là

$$\Delta :\{\begin{array}{l}x=1+3t\\ y=2+3t\end{array}.$$

Gọi $M(x;y)$ là vị trí xe chuyển động sau 4 giây kể từ lúc bắt đầu chuyển động. Khi đó $M\in \Delta$ và vị trí xe lúc đó là $\{\begin{array}{l}x=1+3\cdot 4=13\\ y=2+3\cdot 4=14\end{array}\Rightarrow M(13;14)$.

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức khoảng cách từ điểm $M(1;-1)$ đến đường thẳng $\Delta :3x+y+4=0$: $d(M,\Delta )=\frac{|3\cdot 1+(-1)+4|}{\sqrt{3^2+1^2}}=\frac{|6|}{\sqrt{10}}=\frac{6}{\sqrt{10}}=\frac{3\sqrt{10}}{5}$. Kết quả trùng với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 0101, câu 1: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) Thay $A(1;2)$ vào $d$: $2(1)-2+5=5\ne 0$ nên $A$ không thuộc $d$ → Đúng.
b) Đường song song với $d$ có dạng $2x-y+c=0$; khoảng cách $=\frac{|c-5|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$ $\Rightarrow$ $|c-5|=5$ $\Rightarrow$ $c=0$ hoặc $c=10$, tức $2x-y=0$ hoặc $2x-y+10=0$ → Đúng.
c) $\Delta$ vuông góc $d$ nên có VTCP $(2;-1)$, VTPT $(1;2)$; qua $M(2;4)$: $1(x-2)+2(y-4)=0$ $\Rightarrow$ $x+2y-10=0$, khác $x+2y+1=0$ → Sai.
d) VTPT của $d$: $2x-y+5=0$ là $\vec{n}=(2;-1)$ → Đúng.
Khớp bảng đáp án mã đề 0101: 1a D, 1b D, 1c S, 1d D.
a) $2(1)-2+5=5\ne 0$ nên $A(1;2)$ không thuộc $d$.
b) $2x-y+c=0$ với $\frac{|c-5|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$ $\Rightarrow$ $c=0$ hoặc $c=10$.
c) Phương trình đúng là $x+2y-10=0$, không phải $x+2y+1=0$.
d) Từ $2x-y+5=0$, VTPT $\vec{n}=(2;-1)$.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng ${\Delta }_1:mx+y-19=0$ (véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(m;1)$) và ${\Delta }_2:x+(m+2)y-20=0$ (véc-tơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(1;m+2)$) vuông góc khi và chỉ khi $\overrightarrow{n_1}\cdot \overrightarrow{n_2}=0$, tức $m\cdot 1+1\cdot (m+2)=0\iff 2m+2=0\iff m=-1$. Thử lại: với $m=-1$, ${\Delta }_1:-x+y-19=0$ và ${\Delta }_2:x+y-20=0$ có hệ số góc $1$ và $-1$, tích bằng $-1$, nên vuông góc. Kết quả khớp với đáp án nguồn $-1$.

Gọi $M(a;0)$ là điểm thuộc trục hoành. Vì đường thẳng $\Delta :3x+2y-3=0$ cách đều hai điểm $A,M$ nên $$\frac{1}{\sqrt{13}}=\frac{\left|3a-3\right|}{\sqrt{13}}$$ $$\iff \left|3a-3\right|=1\iff a=\frac{4}{3}\text{ hoặc }a=\frac{2}{3}.$$ Vậy $M\left(\frac{4}{3};0\right)$ hoặc $M\left(\frac{2}{3};0\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto chỉ phương của đường thẳng AB là $\overrightarrow{AB}=(1-(-3);4-2)=(4;2)$. Vecto pháp tuyến phải thỏa $\vec{n}\cdot \overrightarrow{AB}=0$. Với $\vec{n}=(-1;2)$: $(-1)(4)+(2)(2)=0$, thỏa mãn. Kiểm tra các đáp án khác: $(1;2)$: $4+4=8\ne 0$; $(4;2)$: $16+4=20\ne 0$; $(2;1)$: $8+2=10\ne 0$. Vậy đáp án C, trùng với đáp án nguồn (đề 0101, câu 7 = C).

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai. d2: -2x+y+12=0 có vectơ pháp tuyến n=(-2;1), nên vectơ chỉ phương phải là u=(1;2) (hoặc (-1;-2)), không phải u1=(-2;1). b) Đúng. Thay M(3;-1) vào d1: 3+2(-1)-1=0, nên M thuộc d1. c) Đúng. d1 có hệ số góc k1=-1/2, d2 có hệ số góc k2=2, và k1·k2=-1 nên d1 vuông góc d2 (tương đương a1·a2=1·(-2)+2·1=0). d) Đúng. Giải hệ x+2y-1=0 và -2x+y+12=0: từ phương trình đầu x=1-2y, thay vào: -2(1-2y)+y+12=0 ⟹ 5y+10=0 ⟹ y=-2, x=5. Giao điểm duy nhất là M(5;-2). Kết quả khớp với bảng đáp án mã đề 0102 (a S, b Đ, c Đ, d Đ).
a) (AI giải đề cho tôi)
d2 có vectơ pháp tuyến n=(-2;1) nên vectơ chỉ phương là u=(1;2), không phải (-2;1).
b) (AI giải đề cho tôi)
3+2(-1)-1=0 nên M(3;-1) thuộc d1.
c) (AI giải đề cho tôi)
a1·a2=1·(-2)+2·1=0 nên d1 vuông góc d2.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giải hệ hai phương trình được y=-2, x=5, giao điểm duy nhất M(5;-2).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $d$ song song với $d^{\prime }:x+3y-1=0$ và có dạng $ax+3y+c=0$ nên $a=1$. Đường thẳng $d:x+3y+c=0$ qua $M(1;1)$ nên $1+3+c=0\Rightarrow c=-4$. Vậy $S=a+c=1+(-4)=-3$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hai đường thẳng $d_1:x-2y+1=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=(1;-2)$ và $d_2:-3x+6y-10=0$ có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=(-3;6)$. Ta thấy $\overrightarrow{n_2}=-3\overrightarrow{n_1}$ nên hai vectơ pháp tuyến cùng phương, do đó $d_1$ và $d_2$ song song hoặc trùng nhau. Xét hệ số tự do: $\frac{1}{-10}\ne -3=\frac{-3}{1}=\frac{6}{-2}$, tức $\frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}\ne \frac{c_1}{c_2}$, nên hai đường thẳng song song (không trùng nhau). Ví dụ điểm $(-1;0)$ thuộc $d_1$ nhưng thay vào $d_2$: $3+0-10=-7\ne 0$. Vậy $d_1$ và $d_2$ song song, khớp với đáp án B trong bảng đáp án (mã đề 0102, câu 7: B).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2 (mã đề 0101): $d_1:2x-y+1=0\iff y=2x+1$ và $d_2:-2x+y+4=0\iff y=2x+4$. a) Hai đường thẳng có cùng hệ số góc $k=2$ nhưng $1/4\ne 2/(-2)$ tỉ số hệ số không khớp hệ số tự do, nên $d_1\parallel d_2$: Đúng. b) Thay $M(1;2)$ vào $d_2$: $-2(1)+2+4=4\ne 0$, nên $M$ không thuộc $d_2$: Sai. c) Vectơ pháp tuyến của $d_1$ là $\overrightarrow{n_1}(2;-1)$, vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u_1}(1;2)$; do đó $(2;-1)$ là pháp tuyến chứ không phải chỉ phương: Sai. d) Vì $d_1\parallel d_2$ nên hai đường thẳng không có điểm chung: Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã 0101 (a Đ, b S, c S, d S).
a) (AI giải đề cho tôi)
$d_1:y=2x+1$ và $d_2:y=2x+4$ có cùng hệ số góc $2$ và khác nhau tại hằng số, nên song song.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $M(1;2)$ vào $d_2$: $-2(1)+2+4=4\ne 0$, nên $M$ không nằm trên $d_2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$(2;-1)$ là vectơ pháp tuyến của $d_1$; vectơ chỉ phương là $(1;2)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Vì $d_1\parallel d_2$ nên hai đường thẳng không có điểm chung nào.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $d$ song song với $d^{\prime }:2x+y-1=0$ và $d$ có dạng $2x+by+c=0$ nên $b=1$. Đường thẳng $d:2x+y+c=0$ đi qua $M(3;1)$ nên $2\cdot 3+1+c=0\Rightarrow c=-7$. Vậy $S=b+c=1+(-7)=-6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (-6).

(AI giải đề cho tôi)
(Δ1): x=2+2t, y=1+3t có VTCP u1=(2;3), đi qua P(2;1). (Δ2): 3x−2y+2=0 có VTCP u2=(2;3), pháp tuyến n2=(3;−2). a) Thay M(2;4): 3·2−2·4+2=0 nên M∈(Δ2) → Đúng. b) (Δ1) có dạng 3(x−2)−2(y−1)=0 ⇔ 3x−2y−4=0, song song với (Δ2). Khoảng cách d=|−4−2|/√13=6/√13≈1,66<3 → Sai. c) Cùng VTCP (2;3) và P(2;1) không thuộc (Δ2) (3·2−2·1+2=6≠0) nên hai đường song song, không trùng nhau → Đúng. d) Pháp tuyến của (Δ1) là (3;−2), không phải (3;2) → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay M(2;4) vào (Δ2): 3·2−2·4+2=0 nên M thuộc (Δ2).
b) (AI giải đề cho tôi)
(Δ1): 3x−2y−4=0 song song với (Δ2): 3x−2y+2=0; d=|−4−2|/√13=6/√13≈1,66<3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hai đường cùng VTCP (2;3) và không trùng nhau (P(2;1) không thuộc (Δ2)) nên song song.
d) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến của (Δ1) là n=(3;−2), không phải (3;2).

(AI giải đề cho tôi)
Đường vuông góc với (d): x + y - 2 = 0 (hệ số góc -1) qua B(1;5) có hệ số góc 1: y - 5 = x - 1, tức y = x + 4. H là giao của (d) và đường này: thay y = x + 4 vào x + y - 2 = 0 được x + x + 4 - 2 = 0, suy ra x = -1, y = 3. Vậy H(-1; 3), tức a = -1, b = 3. Khi đó a² + b² = 1 + 9 = 10.

(AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng $({\Delta }_1):x-3y+2=0$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(1;-3)$. Đường thẳng $({\Delta }_2)$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=(1;2)$.

$$\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{u_1}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\overrightarrow{u_1}||\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|1\cdot 1+(-3)\cdot 2|}{\sqrt{10}\cdot \sqrt{5}}=\frac{5}{\sqrt{50}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$$

Suy ra $\theta =45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai lộ trình là $45^{\circ }$.