Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Đường vuông góc mặt (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABC$ vuông tại $A$ nên $AB\perp AC$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$. Từ đó $AB$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAC)$, suy ra $AB\perp (SAC)$. Các khẳng định còn lại sai: $AB$ không vuông góc $(SBC)$ vì $AB$ cắt $(SBC)$ tại $B$; $BC$ không vuông góc $(SAB)$ vì nếu vậy $BC\perp AB$, mâu thuẫn với tam giác vuông tại $A$; $BC$ không vuông góc $(SAC)$ vì $BC$ không vuông góc với $AC$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp AB$ và $SA\perp AC$, hai đường thẳng $AB,AC$ cắt nhau tại $A$ và cùng nằm trong mặt phẳng $(ABC)$, nên $SA\perp (ABC)$. Suy ra $SA$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong $(ABC)$, đặc biệt $SA\perp BC$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (đề 1111, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AB\perp AC$. Như vậy $AB$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $SA$ và $AC$ cùng nằm trong mặt phẳng $(SAC)$, suy ra $AB\perp (SAC)$. Các khẳng định khác sai: $BC$ không vuông góc với $(SAC)$ vì $BC$ không vuông góc với $SA$ (thực tế $BC$ chỉ vuông góc với $AC$); $BC$ không vuông góc với $(SAB)$ vì nếu vậy $BC\perp AB$, mâu thuẫn với tam giác vuông tại $A$; $AB$ không vuông góc với $(SBC)$ vì nếu vậy $AB\perp BC$, sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A đúng — nếu $d\perp (\alpha )$ thì mọi đường thẳng song song với $d$ cũng vuông góc với $(\alpha )$ (tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng). C đúng — định lý: hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau. D đúng — hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. B sai — khẳng định thiếu điều kiện 'phân biệt': nếu hai mặt phẳng trùng nhau thì chúng cùng vuông góc với một đường thẳng nhưng không song song với nhau (song song đòi hỏi hai mặt phẳng phân biệt). Vậy khẳng định sai là B, trùng với đáp án của đề (mã đề 1002, Câu 2: B).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định: A đúng — nếu $d\perp (\alpha )$ thì mọi đường thẳng song song với $d$ cũng vuông góc với $(\alpha )$ (tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng). B sai — hai đường thẳng cùng vuông góc với $(\alpha )$ có thể trùng nhau (không phân biệt), nên không nhất thiết song song; đúng ra phải nói 'hai đường thẳng phân biệt'. C đúng — hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau (định lý). D đúng — hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau. Vậy khẳng định sai là B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $BC\perp AB$ (A đúng). Vì $SA\perp (ABCD)$ nên $SA\perp BC$ (D đúng). Từ $BC\perp AB$ và $BC\perp SA$ suy ra $BC\perp (SAB)$, mà $AM\subset (SAB)$ nên $BC\perp AM$ (C đúng). Xét khẳng định B: $AC$ là đường chéo hình vuông nên $AC$ không vuông góc với $AB$, do đó $AC$ không vuông góc với mặt phẳng $(SAB)$; nói chung $AC$ không vuông góc với $AM$ (ví dụ khi $M$ gần trùng $B$, $AM$ gần trùng $AB$, mà $AC$ không vuông góc $AB$). Vậy khẳng định sai là B, trùng đáp án của đề (mã đề 3267, Câu 3: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình thoi tâm $O$ nên $AC\perp BD$ tại $O$. Hai mặt phẳng $(SBD)$ và $(ABCD)$ vuông góc nhau, giao tuyến là $BD$, mà $AC\subset (ABCD)$ và $AC\perp BD$ nên theo định lý về điều kiện vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng (hoặc: $(SBD)\perp (ABCD)$, giao tuyến $BD$, $AC\perp BD$, $AC\subset (ABCD)$) suy ra $AC\perp (SBD)$. Vậy đường thẳng $AC$ vuông góc với mặt phẳng $(SBD)$, đáp án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 3267, câu 5: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABCD)$ mà $BC$ nằm trong $(ABCD)$ nên $SA\perp BC$ (đáp án C). Các khẳng định khác không đúng: $SC$ không vuông góc $AC$ (tam giác $SAC$ vuông tại $A$); $CD$ không vuông góc $SB$ hay $SC$ vì $CD\perp AD$ nhưng $CD$ không vuông góc $SA$ nên không vuông góc $(SAD)$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã 1111, câu 12: C).

Gợi ý làm bài:



$\Delta ABC$ là tam giác cân tại $A$ có $I$ là trung điểm của $BC$ nên $AI\perp BC$ (0.25)

do $C{C}^{\prime }\perp (ABC)$ nên $AI\perp C{C}^{\prime }$ (0.25)

Suy ra $AI\perp (B{B}^{\prime }{C}^{\prime }C)$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì đáy tam giác vuông tại $A$ nên $AB\perp AC$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp AB$. Từ đó $AB$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $SA$ nằm trong mặt phẳng $(SAC)$, suy ra $AB\perp (SAC)$. Các khẳng định khác sai: $AC$ không vuông góc $(SBC)$ vì $AC$ không vuông góc $BC$; $SB$ không vuông góc $(ABC)$ vì $SB$ không vuông góc $BC$; $BC$ không vuông góc $(SAC)$ vì $BC$ không vuông góc $AC$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 163, Câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì lăng trụ đứng $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ nên cạnh bên $B{B}^{\prime }\perp (ABCD)$, do đó $B{B}^{\prime }\perp AC$. Đáy $ABCD$ là hình thoi nên hai đường chéo vuông góc với nhau: $AC\perp BD$. Trong mặt phẳng $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ có hai đường thẳng cắt nhau $BD$ và $B{B}^{\prime }$ cùng vuông góc với $AC$, theo định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng ta có $AC\perp (BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$. Đpcm.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AC\perp BD$. Vì $SB\perp (ABCD)$ nên $SB\perp AC$. Từ đó $AC\perp (SBD)$ vì $AC$ nằm trong $(ABCD)$ và vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $BD,SB$ của $(SBD)$. Các khẳng định A, D sai vì chỉ có $SB\perp (ABCD)$; khẳng định B sai vì để $BD\perp (SAC)$ cần $BD\perp SA$, điều này không được suy ra từ giả thiết. Vậy đáp án đúng là C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, qua một điểm $O$ luôn tồn tại duy nhất một mặt phẳng vuông góc với đường thẳng cho trước $a$ (định lý về tính duy nhất của mặt phẳng vuông góc với đường thẳng tại một điểm). Do đó qua $O$ có đúng 1 mặt phẳng vuông góc với $a$. Kết quả này trùng với đáp án của đề (mã đề 102, câu 10: C).

a) Ta có $\{\begin{array}{l}AD\perp AB(gt)\\ AD\perp SA(gt)\\ AB,SA\subset (SAB)\end{array}$ nên kết luận $AD\perp (SAB)$.
b) Vì $AD\perp (SAB)$ và $AD\subset (SAD)$ nên kết luận $(SAD)\perp (SAB)$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, các đường thẳng đi qua $O$ và vuông góc với $d$ nằm trong mặt phẳng đi qua $O$ và vuông góc với $d$; trong mặt phẳng đó có vô số đường thẳng qua $O$ vuông góc với $d$ (chúng cùng song song với hình chiếu vuông góc). Vậy có vô số đường thẳng, đáp án A. Khớp với bảng đáp án (mã đề 119, câu 6: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $BC\perp AB$. Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Từ đó $BC$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AB$ và $SA$ trong mặt phẳng $(SAB)$, suy ra $BC\perp (SAB)$. Vậy đáp án đúng là D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Tam giác $ABC$ vuông tại $B$ nên $AB\perp BC$. Suy ra $BC\perp (SAB)$, do đó $BC\perp SB$ (vì $SB\subset (SAB)$). Vậy khẳng định đúng là $SB\perp BC$. Kiểm tra các phương án khác: $SB$ không vuông góc $AB$ (tam giác $SAB$ vuông tại $A$); $SA\perp SM$ sai vì góc $ASM$ nhọn; $SM\perp BC$ sai vì hình chiếu của $SM$ lên đáy là $AM$ mà $AM$ không vuông góc $BC$ (chỉ trung tuyến nên không vuông góc với cạnh huyền).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của $AC$ và $BD$. Xét tam giác $SAC$ cân tại $S$ ($SA=SC$) có $O$ là trung điểm $AC$ nên $SO\perp AC$. Tương tự, tam giác $SBD$ cân tại $S$ ($SB=SD$) có $O$ là trung điểm $BD$ nên $SO\perp BD$. Vì $SO$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC$ và $BD$ cùng nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$ nên $SO\perp (ABCD)$. Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA=SC$ nên tam giác $SAC$ cân tại $S$, mà $O$ là trung điểm $AC$ (tâm hình bình hành) nên $SO\perp AC$. Tương tự, $SB=SD$ nên tam giác $SBD$ cân tại $S$, $O$ là trung điểm $BD$ nên $SO\perp BD$. Trong mặt phẳng $(ABCD)$, $AC$ và $BD$ là hai đường chéo cắt nhau tại $O$, do đó $SO\perp (ABCD)$. Vậy khẳng định đúng là B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$ nên $O$ là trung điểm của cả $AC$ và $BD$. Xét tam giác $SAC$ cân tại $S$ ($SA=SC$), có $O$ là trung điểm $AC$ nên $SO\perp AC$. Xét tam giác $SBD$ cân tại $S$ ($SB=SD$), có $O$ là trung điểm $BD$ nên $SO\perp BD$. Vì $SO$ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau $AC\cap BD=\{O\}$ cùng nằm trong mặt phẳng $(ABCD)$, theo định lý về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng suy ra $SO\perp (ABCD)$. Các khẳng định A, C, D không thể suy ra từ dữ kiện đã cho. Vậy khẳng định đúng là B, trùng với đáp án nguồn.