Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Từ $3\cos \alpha -\sin \alpha =1$ ta có $\sin \alpha =3\cos \alpha -1$. Thay vào ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$: $(3\cos \alpha -1{)}^2+{\cos }^2\alpha =1\Rightarrow 10{\cos }^2\alpha -6\cos \alpha =0\Rightarrow \cos \alpha =0,6$ (do $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ nên $\cos \alpha >0$). Suy ra $\sin \alpha =3(0,6)-1=0,8$. Vậy $M=3(0,8)+0,6=3$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 20 = 3).

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của $P=\frac{\sin x+4\cos x}{3\sin x+\cos x}$ cho $\cos x$ (với $\tan x=3$ thì $\cos x\ne 0$): $P=\frac{\tan x+4}{3\tan x+1}=\frac{3+4}{3\cdot 3+1}=\frac{7}{10}=0,7$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,7$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu cho $\cos x$ (với $\cos x\ne 0$ vì $\tan x=2$): $P=\frac{\tan x+2}{1+2\tan x}=\frac{2+2}{1+4}=\frac{4}{5}=0,8$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $0,8$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia cả tử và mẫu của $T=\frac{2\sin \alpha -\cos \alpha }{4\cos \alpha }$ cho $\cos \alpha \ne 0$, ta được $T=\frac{2\tan \alpha -1}{4}$. Thay $\tan \alpha =-\frac{1}{3}$: $T=\frac{2\left(-\frac{1}{3}\right)-1}{4}=\frac{-\frac{5}{3}}{4}=-\frac{5}{12}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 13: C).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2. Rút gọn biểu thức:

1) $A=(\sin x+\cos x{)}^2+(\sin x-\cos x{)}^2$
$=({\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x)+({\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x)$
$=2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=2$.

2) $B=\frac{(\sin x-\cos x{)}^2-1}{\tan x-\sin x\cos x}$, với điều kiện $\sin x\ne 0$, $\cos x\ne 0$.
Tử số: $({\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x)-1=-2\sin x\cos x$.
Mẫu số: $\tan x-\sin x\cos x=\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x\cos x=\frac{\sin x(1-{\cos }^{2}x)}{\cos x}=\frac{{\sin }^{3}x}{\cos x}$.
Vậy $B=\frac{-2\sin x\cos x}{\frac{{\sin }^{3}x}{\cos x}}=\frac{-2{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}=-2{\cot }^{2}x$.

3) $C=\frac{\sin x+\sin 3x+\sin 5x}{\cos x+\cos 3x+\cos 5x}$, với điều kiện $\cos x+\cos 3x+\cos 5x\ne 0$.
Áp dụng công thức tổng thành tích:
$\sin x+\sin 5x=2\sin 3x\cos 2x\Rightarrow$ tử số $=\sin 3x(1+2\cos 2x)$.
$\cos x+\cos 5x=2\cos 3x\cos 2x\Rightarrow$ mẫu số $=\cos 3x(1+2\cos 2x)$.
Vậy $C=\frac{\sin 3x(1+2\cos 2x)}{\cos 3x(1+2\cos 2x)}=\tan 3x$ (khi $1+2\cos 2x\ne 0$ và $\cos 3x\ne 0$).

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2: Rút gọn ba biểu thức.

1) $A=(\sin x+\cos x{)}^2+(\sin x-\cos x{)}^2$
$=({\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x)+({\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x)$
$=2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=2$.

2) $B=\frac{(\sin x-\cos x{)}^2-1}{\tan x-\sin x\cos x}$ (với $\sin x\ne 0$, $\cos x\ne 0$).
Tử số: $(\sin x-\cos x{)}^2-1={\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x-1=-2\sin x\cos x$.
Mẫu số: $\tan x-\sin x\cos x=\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x\cos x=\frac{\sin x(1-{\cos }^{2}x)}{\cos x}=\frac{{\sin }^{3}x}{\cos x}$.
Vậy $B=\frac{-2\sin x\cos x}{\frac{{\sin }^{3}x}{\cos x}}=\frac{-2{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}=-2{\cot }^{2}x$.

3) $C=\frac{\sin x+\sin 3x+\sin 5x}{\cos x+\cos 3x+\cos 5x}$ (với $\cos x+\cos 3x+\cos 5x\ne 0$).
Áp dụng công thức tổng thành tích:
$\sin x+\sin 5x=2\sin 3x\cos 2x\Rightarrow$ tử số $=\sin 3x(2\cos 2x+1)$.
$\cos x+\cos 5x=2\cos 3x\cos 2x\Rightarrow$ mẫu số $=\cos 3x(2\cos 2x+1)$.
Vậy $C=\frac{\sin 3x}{\cos 3x}=\tan 3x$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ IV, do đó $\sin \alpha <0$. Ta có ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-\frac{5}{9}=\frac{4}{9}$, suy ra $\sin \alpha =-\frac{2}{3}$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $x\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ nên $\sin x<0$, do đó $\sin x=-\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$. Khi đó $\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{4}{5}=-\frac{24}{25}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=4\sin x\cos x+1=2\sin 2x+1$. Vì $-1\le \sin 2x\le 1$ nên $-1\le y\le 3$, do đó $M=3$, $m=-1$. Vậy $M+m=3+(-1)=2$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2. Rút gọn:

1) $A=(\sin x+\cos x{)}^2+(\sin x-\cos x{)}^2$
$=({\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x)+({\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x)$
$=2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=2$.

2) $B=\frac{(\sin x-\cos x{)}^2-1}{\tan x-\sin x\cos x}$ (với $\sin x\ne 0$, $\cos x\ne 0$).
Tử số: $(\sin x-\cos x{)}^2-1={\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x-1=-2\sin x\cos x$.
Mẫu số: $\tan x-\sin x\cos x=\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x\cos x=\frac{\sin x(1-{\cos }^{2}x)}{\cos x}=\frac{{\sin }^{3}x}{\cos x}$.
Vậy $B=\frac{-2\sin x\cos x}{\frac{{\sin }^{3}x}{\cos x}}=\frac{-2{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}=-2{\cot }^{2}x$.

3) $C=\frac{\sin x+\sin 3x+\sin 5x}{\cos x+\cos 3x+\cos 5x}$.
Áp dụng công thức tổng hai sin, hai cos:
$\sin x+\sin 5x=2\sin 3x\cos 2x$; $\cos x+\cos 5x=2\cos 3x\cos 2x$.
Do đó:
$C=\frac{\sin 3x(1+2\cos 2x)}{\cos 3x(1+2\cos 2x)}=\tan 3x$
(với $\cos 3x\ne 0$ và $1+2\cos 2x\ne 0$).

Kết luận: $A=2$; $B=-2{\cot }^{2}x$; $C=\tan 3x$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <a<\frac{3\pi }{2}$ nên $a$ ở góc phần tư III: $\sin a<0,\cos a<0$, và $\tan a=5$.

Ta có $\frac{1}{{\cos }^{2}a}=1+{\tan }^{2}a=26\Rightarrow {\cos }^{2}a=\frac{1}{26}$, suy ra $\cos a=-\frac{1}{\sqrt{26}}=-\frac{\sqrt{26}}{26}$; $\sin a=\tan a\cdot \cos a=-\frac{5}{\sqrt{26}}=-\frac{5\sqrt{26}}{26}$.

1) $\sin \left(a+\frac{5\pi }{6}\right)=\sin a\cos \frac{5\pi }{6}+\cos a\sin \frac{5\pi }{6}=\left(-\frac{5}{\sqrt{26}}\right)\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)+\left(-\frac{1}{\sqrt{26}}\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{5\sqrt{3}-1}{2\sqrt{26}}=\frac{\sqrt{26}(5\sqrt{3}-1)}{52}$.

2) $\sin 2a=2\sin a\cos a=2\cdot \left(-\frac{5}{\sqrt{26}}\right)\left(-\frac{1}{\sqrt{26}}\right)=\frac{10}{26}=\frac{5}{13}$.
$\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=\frac{1}{26}-\frac{25}{26}=-\frac{12}{13}$.

3) Vì $\pi <a<\frac{3\pi }{2}$ nên $\frac{\pi }{2}<\frac{a}{2}<\frac{3\pi }{4}$: $\sin \frac{a}{2}>0,\cos \frac{a}{2}<0$.
$\sin \frac{a}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos a}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{1}{\sqrt{26}}}{2}}=\sqrt{\frac{\sqrt{26}+1}{2\sqrt{26}}}=\frac{\sqrt{26+\sqrt{26}}}{2\sqrt{13}}$.
$\cos \frac{a}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos a}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac{1}{\sqrt{26}}}{2}}=-\sqrt{\frac{\sqrt{26}-1}{2\sqrt{26}}}=-\frac{\sqrt{26-\sqrt{26}}}{2\sqrt{13}}$.

Kiểm tra: ${\sin }^2\frac{a}{2}+{\cos }^2\frac{a}{2}=\frac{\sqrt{26}+1+\sqrt{26}-1}{2\sqrt{26}}=1$ đúng; $2\sin \frac{a}{2}\cos \frac{a}{2}=-\frac{2\sqrt{(26+\sqrt{26})(26-\sqrt{26})}}{52}=-\frac{2\sqrt{676-26}}{52}=-\frac{2\sqrt{650}}{52}=-\frac{10\sqrt{26}}{52}=-\frac{5\sqrt{26}}{26}=\sin a$ đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 2: Rút gọn ba biểu thức lượng giác.

1) $A=(\sin x+\cos x{)}^2+(\sin x-\cos x{)}^2$
$=({\sin }^{2}x+2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x)+({\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x)$
$=2({\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x)=2$.

2) $B=\frac{(\sin x-\cos x{)}^2-1}{\tan x-\sin x\cos x}$ (với $\sin x\ne 0$, $\cos x\ne 0$).
Tử số: $(\sin x-\cos x{)}^2-1={\sin }^{2}x-2\sin x\cos x+{\cos }^{2}x-1=-2\sin x\cos x$.
Mẫu số: $\tan x-\sin x\cos x=\frac{\sin x}{\cos x}-\sin x\cos x=\frac{\sin x(1-{\cos }^{2}x)}{\cos x}=\frac{{\sin }^{3}x}{\cos x}$.
Vậy $B=\frac{-2\sin x\cos x}{\frac{{\sin }^{3}x}{\cos x}}=\frac{-2{\cos }^{2}x}{{\sin }^{2}x}=-2{\cot }^{2}x$.

3) $C=\frac{\sin x+\sin 3x+\sin 5x}{\cos x+\cos 3x+\cos 5x}$ (với mẫu khác 0).
Áp dụng công thức tổng hai sin, hai cos:
$\sin x+\sin 5x=2\sin 3x\cos 2x$ nên tử số $=\sin 3x(2\cos 2x+1)$.
$\cos x+\cos 5x=2\cos 3x\cos 2x$ nên mẫu số $=\cos 3x(2\cos 2x+1)$.
Vậy $C=\frac{\sin 3x}{\cos 3x}=\tan 3x$ (khi $\cos 3x\ne 0$).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sqrt{1+\cos 2x}$ xác định khi $1+\cos 2x\ge 0$. Ta có $1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x\ge 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ (vì ${\cos }^{2}x\ge 0$). Do đó biểu thức dưới căn luôn không âm với mọi $x$, nên tập xác định là $D=\mathbb{R}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\cos (90^{\circ }-x)=\sin x=0,3$ và $\sin (180^{\circ }-x)=\sin x=0,3$. Do đó $T=0,3+0,3=0,6$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (0,6).

(AI giải đề cho tôi)
Vì π/2<α<π nên sinα>0. sinα=√(1−cos²α)=√(1−1/6)=√(5/6)=√5/√6. a) Sai vì sinα=√5/√6 ≠ 2/√6. b) Đúng do sin có chu kì 2π: sin(2π+α)=sinα. c) sin2α=2sinα·cosα=2·(√5/√6)·(−1/√6)=−2√5/6=−√5/3 ≠ 1/3, sai. d) sin(7π−α)=sinα=√5/√6; cos(17π/2+α)=cos(8π+π/2+α)=cos(π/2+α)=−sinα=−√5/√6; tan(2025π+α)=tanα=sinα/cosα=−√5. Vậy A=√5/√6−√5/√6−2(−√5)=2√5, đúng. Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng, khớp bảng đáp án mã đề 1002 (SĐSĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì π/2<α<π nên sinα>0, nhưng sinα=√(1−1/6)=√5/√6 ≠ 2/√6 nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
sin có chu kì 2π nên sin(2π+α)=sinα, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
sin2α=2sinα·cosα=2·(√5/√6)·(−1/√6)=−√5/3 ≠ 1/3, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
sin(7π−α)=sinα=√5/√6; cos(17π/2+α)=cos(π/2+α)=−sinα; tan(2025π+α)=tanα=−√5. A=√5/√6−√5/√6+2√5=2√5, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng hằng đẳng thức: $\sin (a+b)\sin (a-b)={\sin }^{2}a-{\sin }^{2}b$.
Với $\cos a=\frac{2}{3}$: ${\sin }^{2}a=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$.
Với $\cos b=\frac{1}{4}$: ${\sin }^{2}b=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$.
Suy ra $P=\frac{5}{9}-\frac{15}{16}=\frac{80-135}{144}=-\frac{55}{144}\approx -0,3819\approx -0,4$.
Kết quả trùng với đáp án nguồn $-0,4$.

a) Ta có: $\cot \alpha =3$. Do $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\Rightarrow 1+(3{)}^2=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{1}{10}\Rightarrow \sin \alpha =\pm \frac{\sqrt{10}}{10}$. Vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}\Rightarrow \sin \alpha >0\Rightarrow \sin \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$.
b) Viết công thức khai triển: $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha +\tan \frac{\pi }{4}}{1-\tan \alpha \cdot \tan \frac{\pi }{4}}=\frac{\frac{1}{3}+1}{1-\frac{1}{3}}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\cos \alpha <0$. Ta có $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+5}=\frac{1}{6}$. Vậy $\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{6}}=-\frac{\sqrt{6}}{6}$. Kết quả trùng với đáp án A và bảng đáp án mã đề 1002 (câu 2: A).