Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Với $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ thì $\alpha$ ở góc phần tư thứ II nên $\cos \alpha <0$, $\tan \alpha <0$, $\cot \alpha <0$. Từ $\sin \alpha =\frac{2}{3}$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{4}{9}}=-\frac{\sqrt{5}}{3}$; $\tan \alpha =\frac{2/3}{-\sqrt{5}/3}=-\frac{2}{\sqrt{5}}$; $\cot \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{2}$. a) Sai vì $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}<0$. b) Sai vì phải lấy $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$ (dấu âm do góc ở góc phần tư II). c) Đúng, $\cot \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{2}$. d) $A=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }+{\tan }^2\alpha =\frac{9}{4}+\frac{4}{5}=\frac{45+16}{20}=\frac{61}{20}\ne 2$ nên sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $\cos \alpha <0$; cụ thể $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$, không thỏa $0<\cos \alpha <1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ ${\sin }^2\alpha +{\cos }^2\alpha =1$ và $\alpha$ ở góc phần tư II nên $\cos \alpha <0$, do đó $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$, không phải $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$, $\sin \alpha =\frac{2}{3}$ nên $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=-\frac{\sqrt{5}}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$A=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }+{\tan }^2\alpha =\frac{9}{4}+\frac{4}{5}=\frac{61}{20}\ne 2$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 57:

a) Ta có: $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}$, $\cos 135^{\circ }=-\frac{\sqrt{2}}{2}$, $\tan 150^{\circ }=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}$, $\cos 180^{\circ }=-1$, $\cot 60^{\circ }=\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Thừa số thứ nhất: $2\cdot \frac{1}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}-3\left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=1-\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}$.

Thừa số thứ hai: $-1-\frac{\sqrt{3}}{3}$.

Tích: $\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}\right)\left(-1-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}\right)\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)$.

Tính $\left(1-\frac{\sqrt{2}}{2}+\sqrt{3}\right)\left(1+\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=1+\frac{\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{6}+\sqrt{3}+1=2+\frac{4\sqrt{3}}{3}-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{6}}{6}$.

Vậy biểu thức bằng $-2-\frac{4\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{6}$.

b) ${\sin }^{2}90^{\circ }=1$, ${\cos }^{2}120^{\circ }={\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}$, ${\cos }^2{0}^{\circ }=1$, ${\tan }^{2}60^{\circ }=3$, ${\cot }^{2}135^{\circ }=(-1{)}^2=1$.

Tổng: $1+\frac{1}{4}+1-3+1=\frac{1}{4}$.

c) $\cos 60^{\circ }\cdot \sin 30^{\circ }+{\cos }^{2}30^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 58:
a) Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $\cos \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-\frac{1}{9}=\frac{8}{9}$, suy ra $\cos \alpha =-\frac{2\sqrt{2}}{3}$.

b) Với $\cos \alpha =-\frac{2}{3}$, ta có ${\sin }^2\alpha =1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$ nên $\sin \alpha =\pm \frac{\sqrt{5}}{3}$. Do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\pm \frac{\sqrt{5}}{2}$ (dấu phụ thuộc góc $\alpha$; nếu $\alpha$ góc tù thì $\tan \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{2}$).

c) Vì $\alpha$ là góc tù nên $\cos \alpha <0$: $\cos \alpha =-\sqrt{1-\frac{25}{169}}=-\frac{12}{13}$. Khi đó $3\sin \alpha +2\cos \alpha =3\cdot \frac{5}{13}+2\cdot \left(-\frac{12}{13}\right)=\frac{15-24}{13}=-\frac{9}{13}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $\cos \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{65}{97}\right)}^2=\frac{9409-4225}{9409}=\frac{5184}{9409}={\left(\frac{72}{97}\right)}^2$. Vậy $\cos \alpha =-\frac{72}{97}$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\alpha$ và $\beta$ bù nhau nên $\alpha +\beta =180^{\circ }$, tức $\beta =180^{\circ }-\alpha$. Khi đó: $\sin \beta =\sin (180^{\circ }-\alpha )=\sin \alpha$ (A đúng); $\cos \beta =\cos (180^{\circ }-\alpha )=-\cos \alpha$ nên $\cos \alpha =-\cos \beta$ (B đúng); $\tan \beta =\tan (180^{\circ }-\alpha )=-\tan \alpha$ nên $\tan \alpha =-\tan \beta$ (C đúng); $\cot \beta =\cot (180^{\circ }-\alpha )=-\cot \alpha$, do đó $\cot \alpha =-\cot \beta \ne \cot \beta$ (trừ khi $\cot \alpha =0$, không xảy ra tổng quát). Vậy đẳng thức sai là D.

(AI giải đề cho tôi)
Chia tử và mẫu của $P=\frac{-3\sin \alpha +2\cos \alpha }{5\cos \alpha +7\sin \alpha }$ cho $\cos \alpha \ne 0$ (vì $\tan \alpha =2$), ta được $P=\frac{-3\tan \alpha +2}{5+7\tan \alpha }=\frac{-3\cdot 2+2}{5+7\cdot 2}=\frac{-4}{19}=-\frac{4}{19}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì 90° < α < 180° nên α ở góc phần tư thứ II, do đó cos α < 0. Theo hệ thức cơ bản: cos²α = 1 − sin²α = 1 − 9/25 = 16/25, và vì cos α < 0 nên cos α = −4/5. Khi đó tan α = sin α / cos α = (3/5)/(−4/5) = −3/4. Vậy: a) sai (cos α < 0); b) đúng (cos²α = 16/25); c) sai (cos α = −4/5); d) sai (tan α = −3/4).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì 90° < α < 180° nên α thuộc góc phần tư thứ II, cos α < 0.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos²α = 1 − sin²α = 1 − 9/25 = 16/25.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì cos α < 0 nên cos α = −4/5, không phải 4/5.
d) (AI giải đề cho tôi)
tan α = sin α / cos α = (3/5)/(−4/5) = −3/4.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $0^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ và $\cot \alpha =-\sqrt{2}<0$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ II, do đó $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$, $\tan \alpha <0$. Ta có $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}$, mà $\sin \alpha >0$ nên $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Suy ra $\cos \alpha =\cot \alpha \cdot \sin \alpha =-\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$, và $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{2}}$. Vậy: a) đúng; b) sai vì $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}>0$ (không nhận giá trị âm); c) đúng; d) sai vì $\tan \alpha =-\frac{1}{\sqrt{2}}<0$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\alpha$ ở góc phần tư thứ II nên $\sin \alpha >0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ suy ra ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{3}$, mà $\sin \alpha >0$ nên $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{3}}$, không phải $\pm \frac{1}{\sqrt{3}}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \alpha =\cot \alpha \cdot \sin \alpha =-\sqrt{2}\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{6}}{3}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=-\frac{1}{\sqrt{2}}<0$, không phải $\frac{1}{\sqrt{2}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ $\sin a+\cos a=\sqrt{2}$, bình phương hai vế: ${\sin }^{2}a+2\sin a\cos a+{\cos }^{2}a=2$, suy ra $2\sin a\cos a=1$, tức $\sin a\cos a=\frac{1}{2}$. Khi đó $P={\sin }^{4}a+{\cos }^{4}a=({\sin }^{2}a+{\cos }^{2}a{)}^2-2{\sin }^{2}a{\cos }^{2}a=1-2\cdot \frac{1}{4}=\frac{1}{2}$. Vậy $P=0,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ II, do đó $\cos \alpha <0$. Ta có $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\sqrt{\frac{8}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức $\sin a-\sin b=2\cos \left(\frac{a+b}{2}\right)\sin \left(\frac{a-b}{2}\right)$ với $a=x+\frac{\pi }{3}$, $b=x-\frac{\pi }{3}$: $\frac{a+b}{2}=x$, $\frac{a-b}{2}=\frac{\pi }{3}$. Vậy $A=2\cos x\cdot \sin \left(\frac{\pi }{3}\right)=2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \cos x=\sqrt{3}\cos x$. Kiểm tra: $x=0$ thì $A=\sin \left(\frac{\pi }{3}\right)-\sin \left(-\frac{\pi }{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\sqrt{3}=\sqrt{3}\cdot \cos 0$, đúng. Chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức tổng thành tích: $\cos \alpha +\cos 3\alpha =2\cos 2\alpha \cos \alpha$ và $\sin \alpha +\sin 3\alpha =2\sin 2\alpha \cos \alpha$. Suy ra $P=\frac{2\cos 2\alpha \cos \alpha }{2\sin 2\alpha \cos \alpha }=\frac{\cos 2\alpha }{\sin 2\alpha }=\cot 2\alpha$ (với điều kiện biểu thức xác định). Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Bình phương hai vế: $(\sin x+\cos x{)}^2=\frac{1}{9}\Rightarrow 1+2\sin x\cos x=\frac{1}{9}\Rightarrow \sin 2x=\frac{2}{9}-1=-\frac{7}{9}$. Tuy nhiên $-\frac{7}{9}$ không có trong các phương án. Kiểm tra lại: nếu đáp án D là $-\frac{8}{9}$ thì tương ứng $(\sin x+\cos x{)}^2=1-\frac{8}{9}=\frac{1}{9}$... thực ra $\sin 2x=(\sin x+\cos x{)}^2-1=\frac{1}{9}-1=-\frac{8}{9}$. Lưu ý: $2\sin x\cos x=(\sin x+\cos x{)}^2-1$ vì $(\sin x+\cos x{)}^2=1+2\sin x\cos x$, nên $\sin 2x=\frac{1}{9}-1=-\frac{8}{9}$ (tính trước của tôi sai dấu). Vậy $\sin 2x=-\frac{8}{9}$, chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức tổng hai cos: $\cos (120^{\circ }+x)+\cos (120^{\circ }-x)=2\cos 120^{\circ }\cos x=2\cdot (-\frac{1}{2})\cos x=-\cos x$. Do đó $P=-\cos x-\cos x=-2\cos x$. Vậy chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $x\in [0;\pi ]$ và $\cos x=\frac{5}{13}>0$ nên $x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right)$, suy ra $\sin x=\sqrt{1-\frac{25}{169}}=\frac{12}{13}$ và $\tan x=\frac{12}{5}$. Do đó $\tan \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan x+1}{1-\tan x}=\frac{\frac{12}{5}+1}{1-\frac{12}{5}}=\frac{\frac{17}{5}}{-\frac{7}{5}}=-\frac{17}{7}$. Vậy chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có: ${\cos }^2\alpha +{\tan }^2\alpha -1={\tan }^2\alpha -(1-{\cos }^2\alpha )={\tan }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$.

Mặt khác ${\tan }^2\alpha =\frac{{\sin }^2\alpha }{{\cos }^2\alpha }$, nên:
$${\tan }^2\alpha -{\sin }^2\alpha ={\sin }^2\alpha \left(\frac{1}{{\cos }^2\alpha }-1\right)={\sin }^2\alpha \cdot {\tan }^2\alpha .$$

Do đó:
$$\frac{{\cos }^2\alpha +{\tan }^2\alpha -1}{{\sin }^2\alpha }=\frac{{\sin }^2\alpha \cdot {\tan }^2\alpha }{{\sin }^2\alpha }={\tan }^2\alpha .$$

So sánh với $2m{\tan }^2\alpha$ ta được $2m=1\Rightarrow m=0,5$. Kết quả trùng với đáp số đã cho (0,5).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng công thức tan(a-b) = (tan a - tan b)/(1 + tan a·tan b) với tan α = 3 và tan(π/3) = √3: tan(α - π/3) = (3 - √3)/(1 + 3√3). Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Lúc 9 giờ tối ứng với $t=21$ (số giờ tính từ nửa đêm). Thay vào công thức: $B(21)=82+7\sin \frac{21\pi }{12}=82+7\sin \frac{7\pi }{4}$. Ta có $\sin \frac{7\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\approx -0,7071$. Vậy $B(21)=82-7\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}\approx 82-4,9497\approx 77,05\approx 77,1$ mmHg (làm tròn đến hàng phần chục). Kết quả trùng với đáp án nguồn 77,1.