Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Hai dao động cùng tần số $\omega =\frac{\pi }{6}$, cùng biên độ $A_1=A_2=3$ cm, lệch pha $\Delta \phi =\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{12}$. Biên độ tổng hợp: $A^2=A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \Delta \phi =9+9+18\cos \frac{\pi }{12}=18+18\cdot \frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\approx 18+17,386=35,386$. Suy ra $A=\sqrt{35,386}\approx 5,9$ cm, khớp với đáp án nguồn 5,9.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a,b$ nhọn nên $\sin a=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\sin b=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$. Áp dụng công thức nhân: $P=\cos (a+b)\cos (a-b)={\cos }^{2}a{\cos }^{2}b-{\sin }^{2}a{\sin }^{2}b=\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{16}-\frac{8}{9}\cdot \frac{15}{16}=\frac{1}{144}-\frac{120}{144}=-\frac{119}{144}$. Vậy $144P=-119$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Công thức đúng: $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a$ và $\sin 2a=2\sin a\cos a$. Do đó B, C, D đều đúng. Khẳng định A sai vì $\cos 2a={\sin }^{2}a-{\cos }^{2}a$ là sai dấu (đúng phải là ${\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$). Khớp với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Nhớ các công thức cộng góc: $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ (A sai vì dấu trừ), $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ (B sai vì dấu cộng), $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ (D sai vì dấu trừ). Công thức đúng là $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$, khớp với đáp án C trong bảng đáp án (Mã đề 122, Câu 1: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ nên $\cos \alpha <0$. Theo hệ thức cơ bản: $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}=-0,8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-0,8$.

Ta có ${\sin }^2\alpha =1-{\cos }^2\alpha =1-{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{7}{16}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\sin \alpha =\frac{\sqrt{7}}{4}\\ \sin \alpha =-\frac{\sqrt{7}}{4}\end{array}$ (0.25 điểm)

Do $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ nên $\sin \alpha <0$. Vậy $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{7}}{4}$ (0.25 điểm)

Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\sqrt{7}}{3}$ (0.25 điểm)

$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=-3\sqrt{7}$ (0.25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức góc kép: $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1=2{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2-1=\frac{8}{9}-1=-\frac{1}{9}$. Vậy $\cos 2\alpha =-\frac{1}{9}$, chọn đáp án C, trùng với bảng đáp án của đề (Mã đề 122, Câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Nhớ các công thức cộng: $\sin (a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b$ (A sai vì dấu trừ), $\sin (a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b$ (B sai vì dấu cộng), $\cos (a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b$ (đúng), $\cos (a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b$ (D sai vì dấu cộng). Vậy công thức đúng là C, khớp với đáp án nguồn (Câu 10, Mã đề 111: C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $180^{\circ }<\alpha <270^{\circ }$ nên $\cos \alpha <0$. Ta có $\cos \alpha =-\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=-\sqrt{1-\frac{1}{9}}=-\sqrt{\frac{8}{9}}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}\approx -0,9428\approx -0,9$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-0,9$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $x\in \left(-\frac{\pi }{2};0\right)$ nên $\sin x<0$: $\sin x=-\sqrt{1-{\cos }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{16}{25}}=-\frac{3}{5}$. Do đó $\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot \left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{4}{5}=-\frac{24}{25}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

Ta có ${\cos }^2\alpha =1-{\sin }^2\alpha =1-{\left(\frac{5}{13}\right)}^2=\frac{144}{169}\Rightarrow \{\begin{array}{l}\cos \alpha =\frac{12}{13}\\ \cos \alpha =-\frac{12}{13}\end{array}$ (0.25 điểm)

Do $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\cos \alpha <0$. Vậy $\cos \alpha =-\frac{12}{13}$ (0.25 điểm)

Khi đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-5}{12}$ (0.25 điểm)

$\tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }=\frac{-120}{119}$ (0.25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức tổng hai sin: $\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$. Với $A=x+\frac{\pi }{3}$, $B=x-\frac{\pi }{3}$ ta có $f(x)=2\sin x\cos \frac{\pi }{3}=2\sin x\cdot \frac{1}{2}=\sin x$. Do đó $\max f(x)=1$, đạt khi $\sin x=1$, tức $x=\frac{\pi }{2}+k2\pi$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (đáp số Câu 1 Phần III là 1).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$ nên $x$ thuộc góc phần ba, do đó $\cos x=-\sqrt{1-{\sin }^{2}x}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$.

Áp dụng công thức hiệu hai góc:
$$\sin \left(x-\frac{\pi }{6}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{6}-\cos x\sin \frac{\pi }{6}=\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{-3\sqrt{3}+4}{10}.$$

So sánh với $\frac{a\sqrt{3}+b}{10}$ ta được $a=-3$, $b=4$, suy ra $a+2b=-3+8=5$. Kết quả khớp với đáp án đề 102, Phần III Câu 2 = 5.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức tổng hai cos: $\cos A+\cos B=2\cos \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$. Với $A=x+\frac{\pi }{3}$, $B=x-\frac{\pi }{3}$ ta được $f(x)=2\cos x\cos \frac{\pi }{3}=2\cos x\cdot \frac{1}{2}=\cos x$. Do đó $\max f(x)=1$, đạt khi $x=2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (Phần III Câu 1, đề 101: 1).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <x<\frac{3\pi }{2}$ nên $\cos x<0$: $\cos x=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\frac{4}{5}$. Khi đó $\sin \left(x+\frac{\pi }{6}\right)=\sin x\cos \frac{\pi }{6}+\cos x\sin \frac{\pi }{6}=\left(-\frac{3}{5}\right)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{4}{5}\right)\cdot \frac{1}{2}=\frac{-3\sqrt{3}-4}{10}$. Suy ra $a=-3$, $b=-4$, do đó $2a-b=2(-3)-(-4)=-2$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-2$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra các công thức biến đổi tích thành tổng: $\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)]$ nên phương án A (với dấu trừ) là công thức sai. Các phương án B, C, D đều đúng: B đúng như trên; $\sin a\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a-b)+\sin (a+b)]$ đúng; $\sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]$ đúng. Vậy công thức sai là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 0102, Câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra các công thức biến đổi tích thành tổng: $\sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]$ (đúng, phương án A); $\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)]$ nên phương án B viết với dấu trừ là sai; $\sin a\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a-b)+\sin (a+b)]$ (đúng, phương án C); phương án D trùng công thức đúng của $\cos a\cos b$. Vậy công thức sai là B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, Câu 4 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Các công thức đúng: $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$ và $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$. Do đó A, B, C đều đúng. Phương án D sai vì $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$, không phải ${\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha$ (dấu ngược). Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Các công thức nhân đôi đúng: $\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$ (A đúng), $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ (B đúng), $\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ (C đúng). Đẳng thức $\cos 2\alpha ={\sin }^2\alpha -{\cos }^2\alpha$ (D) sai vì đúng phải là $\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$. Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$, góc $\alpha$ ở góc phần tư thứ nhất nên $\sin \alpha >0$. b) Đúng: $\cot \alpha =3\Rightarrow \tan \alpha =\frac{1}{3}$; $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha +1}{1-\tan \alpha }=\frac{\frac{1}{3}+1}{1-\frac{1}{3}}=\frac{4/3}{2/3}=2$. c) Đúng: đồ thị $y=\cos x$ đi qua $(0;1)$, đạt đỉnh $1$ tại $x=2k\pi$ và $-1$ tại $x=\pi +2k\pi$, khớp với hình vẽ. d) Sai: $\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, tức $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=-\frac{\pi }{3}+k2\pi =\frac{5\pi }{3}+k2\pi$, không phải $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$ (vì $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$). Khớp đáp án nguồn: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$, $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ nhất nên $\sin \alpha >0$, do đó khẳng định $\sin \alpha <0$ là sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cot \alpha =3\Rightarrow \tan \alpha =\frac{1}{3}$. Áp dụng công thức cộng: $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha +1}{1-\tan \alpha }=\frac{\frac{1}{3}+1}{1-\frac{1}{3}}=2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị $y=\cos x$ có $y(0)=1$, đạt giá trị $1$ tại $x=2k\pi$ và $-1$ tại $x=\pi +2k\pi$, đúng như hình vẽ.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos x=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+k2\pi$, tức $x=\frac{\pi }{3}+k2\pi$ hoặc $x=\frac{5\pi }{3}+k2\pi$. Nghiệm $x=\frac{2\pi }{3}+k2\pi$ sai vì $\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$.