Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giá trị và công thức lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lý Pythagore: ${\sin }^{2}x+{\cos }^{2}x=1$ nên ${\sin }^{2}x=1-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2=1-\frac{16}{25}=\frac{9}{25}$, suy ra $\sin x=\pm \frac{3}{5}$. Đáp án được chấm nhận là $\sin x=\frac{3}{5}=0,6$, khớp với bảng đáp án HD chấm (trang 5): đề 101, Phần III Câu 2 = 0,6.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức lượng giác: sin(180° − α) = sin α (đúng), còn cos(180° − α) = −cos α, nên các phương án B, C, D đều sai. Đáp án A khớp với đáp án nguồn (đề 101, câu 9: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì π/2<α<π nên sinα>0. sinα=√(1−cos²α)=√(1−1/6)=√(5/6)=√5/√6. a) Sai vì sinα=√5/√6 ≠ 2/√6. b) Đúng do sin có chu kì 2π: sin(2π+α)=sinα. c) sin2α=2sinα·cosα=2·(√5/√6)·(−1/√6)=−2√5/6=−√5/3 ≠ 1/3, sai. d) sin(7π−α)=sinα=√5/√6; cos(17π/2+α)=cos(8π+π/2+α)=cos(π/2+α)=−sinα=−√5/√6; tan(2025π+α)=tanα=sinα/cosα=−√5. Vậy A=√5/√6−√5/√6−2(−√5)=2√5, đúng. Kết quả: a) Sai, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng, khớp bảng đáp án mã đề 1002 (SĐSĐ).
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì π/2<α<π nên sinα>0, nhưng sinα=√(1−1/6)=√5/√6 ≠ 2/√6 nên khẳng định sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
sin có chu kì 2π nên sin(2π+α)=sinα, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
sin2α=2sinα·cosα=2·(√5/√6)·(−1/√6)=−√5/3 ≠ 1/3, sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
sin(7π−α)=sinα=√5/√6; cos(17π/2+α)=cos(π/2+α)=−sinα; tan(2025π+α)=tanα=−√5. A=√5/√6−√5/√6+2√5=2√5, đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng hằng đẳng thức: $\sin (a+b)\sin (a-b)={\sin }^{2}a-{\sin }^{2}b$.
Với $\cos a=\frac{2}{3}$: ${\sin }^{2}a=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$.
Với $\cos b=\frac{1}{4}$: ${\sin }^{2}b=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$.
Suy ra $P=\frac{5}{9}-\frac{15}{16}=\frac{80-135}{144}=-\frac{55}{144}\approx -0,3819\approx -0,4$.
Kết quả trùng với đáp án nguồn $-0,4$.

a) Ta có: $\cot \alpha =3$. Do $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\Rightarrow 1+(3{)}^2=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{1}{10}\Rightarrow \sin \alpha =\pm \frac{\sqrt{10}}{10}$. Vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}\Rightarrow \sin \alpha >0\Rightarrow \sin \alpha =\frac{\sqrt{10}}{10}$.
b) Viết công thức khai triển: $\tan \left(\alpha +\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\tan \alpha +\tan \frac{\pi }{4}}{1-\tan \alpha \cdot \tan \frac{\pi }{4}}=\frac{\frac{1}{3}+1}{1-\frac{1}{3}}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\cos \alpha <0$. Ta có $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+5}=\frac{1}{6}$. Vậy $\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{6}}=-\frac{\sqrt{6}}{6}$. Kết quả trùng với đáp án A và bảng đáp án mã đề 1002 (câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Các công thức biến đổi tích thành tổng đúng là: $\cos a\cos b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)+\cos (a+b)]$ (A đúng); $\sin a\sin b=\frac{1}{2}[\cos (a-b)-\cos (a+b)]$ (B đúng); $\sin a\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a-b)+\sin (a+b)]$ (C đúng). Công thức ở D viết $\sin a\cos b=\frac{1}{2}[\sin (a-b)-\cos (a+b)]$ là sai vì vế phải trừ một cosine chứ không phải cộng hai sin. Khớp với đáp án mã đề 1002: câu 4 là D.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm $\sin x+\sin 3x=2\sin 2x\cos x$ và $\cos x+\cos 3x=2\cos 2x\cos x$. Khi đó $A=\frac{2\cos x(\sin 2x+\cos 2x)}{2\cos x(\cos 2x+\sin 2x)}=\tan 2x$ (với điều kiện biểu thức xác định). Kết quả khớp với đáp án nguồn A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\sin \alpha >0$: $\sin \alpha =\sqrt{1-\frac{1}{6}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$, $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=-\sqrt{5}$.
a) $\sin (7\pi -\alpha )=\sin \alpha$; $\cos \left(\frac{17\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \left(8\pi +\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=\cos \left(\frac{\pi }{2}+\alpha \right)=-\sin \alpha$; $\tan (2025\pi +\alpha )=\tan \alpha =-\sqrt{5}$. Vậy $A=\sin \alpha -\sin \alpha -2(-\sqrt{5})=2\sqrt{5}$ → Đúng.
b) $\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\ne \frac{2}{\sqrt{6}}$ → Sai.
c) $\sin (2\pi +\alpha )=\sin \alpha$ theo công thức hiệu số đối chu kỳ → Đúng.
d) $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =2\cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{6}}\right)=-\frac{\sqrt{5}}{3}\ne \frac{1}{3}$ → Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 1001 câu 14: ĐSĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Rút gọn: $A=\sin \alpha -\sin \alpha -2\tan \alpha =2\sqrt{5}$ vì $\tan \alpha =-\sqrt{5}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \alpha >0$ đúng nhưng $\sin \alpha =\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}\ne \frac{2}{\sqrt{6}}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Công thức $\sin (2\pi +\alpha )=\sin \alpha$ luôn đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}\ne \frac{1}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng công thức nhân đôi: $P=\cos (a+b)\cos (a-b)={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}b$. Với $\cos a=\frac{1}{3}$ thì ${\cos }^{2}a=\frac{1}{9}$. Với $\cos b=\frac{1}{4}$ thì ${\sin }^{2}b=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$. Vậy $P=\frac{1}{9}-\frac{15}{16}=\frac{16-135}{144}=\frac{-119}{144}\approx -0,826\approx -0,8$. Kết quả trùng với đáp án nguồn.

a) Ta có: $\cot \alpha =\frac{5}{4}$. Do $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\Rightarrow 1+{\left(\frac{5}{4}\right)}^2=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{16}{41}\Rightarrow \sin \alpha =\pm \frac{4\sqrt{41}}{41}$. Vì $0<\alpha <\frac{\pi }{2}\Rightarrow \sin \alpha >0\Rightarrow \sin \alpha =\frac{4\sqrt{41}}{41}$.
b) Viết công thức khai triển: $\tan \left(\frac{\pi }{4}-\alpha \right)=\frac{\tan \frac{\pi }{4}-\tan \alpha }{1+\tan \alpha \cdot \tan \frac{\pi }{4}}=\frac{1-\frac{4}{5}}{1+\frac{4}{5}}=\frac{1}{9}$.

(AI giải đề cho tôi)
Các công thức biến đổi tích thành tổng đúng là: $\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin (a-b)+\sin (a+b)\right]$; $\cos a\cos b=\frac{1}{2}\left[\cos (a-b)+\cos (a+b)\right]$; $\sin a\sin b=\frac{1}{2}\left[\cos (a-b)-\cos (a+b)\right]$. So sánh với các phương án: B, C, D đều đúng. Phương án A viết $\sin a\cos b=\frac{1}{2}\left[\sin (a-b)-\cos (a+b)\right]$ là sai (vế phải phải là tổng hai sin, không phải hiệu sin và cos). Vậy công thức sai là A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ nên $\alpha$ ở góc phần tư thứ III, do đó $\cos \alpha <0$. Ta có $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{1+5}=\frac{1}{6}$. Vậy $\cos \alpha =-\frac{1}{\sqrt{6}}=-\frac{\sqrt{6}}{6}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: B.

(AI giải đề cho tôi)
Nhóm sin x + sin 3x = 2 sin 2x cos x và cos x + cos 3x = 2 cos 2x cos x. Khi đó A = [sin 2x(2 cos x + 1)]/[cos 2x(2 cos x + 1)] = tan 2x (với điều kiện các mẫu khác 0). Kết quả khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Các công thức đúng: $\cos 2a=2{\cos }^{2}a-1=1-2{\sin }^{2}a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$ và $\sin 2a=2\sin a\cos a$. Do đó A, C, D đúng. Khẳng định B sai vì $\cos 2a={\cos }^{2}a-{\sin }^{2}a$, không phải ${\sin }^{2}a-{\cos }^{2}a$ (dấu ngược). Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì π/2<α<π nên cosα<0, cosα=-√(1-1/9)=-2√2/3, tanα=sinα/cosα=-√2/4, cotα=-2√2.
a) sin(α+π/3)=sinα·cos(π/3)+cosα·sin(π/3)=1/3·1/2+(-2√2/3)(√3/2)=1/6-2√6/6=(1-2√6)/6≠(1+2√6)/6 → Sai.
b) α thuộc góc phần tư thứ II nên cosα<0 → Đúng.
c) (2cotα+3tanα)/(5cotα-4tanα)=(2(-2√2)+3(-√2/4))/(5(-2√2)-4(-√2/4))=(-19√2/4)/(-9√2)=19/36≠7/12 → Sai.
d) cos2α=1-2sin²α=1-2/9=7/9≠-7/9 → Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Sai; b) Đúng; c) Sai; d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
sin(α+π/3)=1/6-2√6/6=(1-2√6)/6≠(1+2√6)/6 nên Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì π/2<α<π nên α ở góc phần tư thứ II, cosα<0, Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Thay tanα=-√2/4, cotα=-2√2, biểu thức bằng 19/36≠7/12 nên Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
cos2α=1-2sin²α=7/9≠-7/9 nên Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hai dao động cùng tần số góc $\omega =\frac{\pi }{6}$, cùng biên độ $A_1=A_2=3$ cm, lệch pha $\Delta \phi =\frac{\pi }{4}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{12}$. Biên độ tổng hợp: $A=\sqrt{A_1^2+A_2^2+2A_1{A}_2\cos \Delta \phi }=\sqrt{18+18\cos \frac{\pi }{12}}$. Vì $\cos \frac{\pi }{12}\approx 0,9659$ nên $A\approx \sqrt{18+17,386}=\sqrt{35,386}\approx 5,9$ cm. Cách khác: vì hai biên độ bằng nhau, $A=2A_1\cos \frac{\Delta \phi }{2}=6\cos \frac{\pi }{24}\approx 6\times 0,9914\approx 5,95\approx 5,9$ cm. Kết quả trùng với đáp án nguồn 5,9.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $y=\sin x+\cos x=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$. Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-\sqrt{2}\le y\le \sqrt{2}$. Giá trị nhỏ nhất là $-\sqrt{2}\approx -1,414$, làm tròn đến hàng phần mười: $-1,4$. Kết quả trùng với đáp án nguồn $-1,4$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $a,b$ nhọn nên $\sin a=\sqrt{1-\frac{1}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$, $\sin b=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$.
Ta có $$P=\cos (a+b)\cos (a-b)=(\cos a\cos b-\sin a\sin b)(\cos a\cos b+\sin a\sin b)={\cos }^{2}a{\cos }^{2}b-{\sin }^{2}a{\sin }^{2}b.$$
Thay số: $$P=\frac{1}{9}\cdot \frac{1}{16}-\frac{8}{9}\cdot \frac{15}{16}=\frac{1}{144}-\frac{120}{144}=-\frac{119}{144}.$$
Vậy $144P=-119$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Vì π/2<α<π nên α ở góc phần tư thứ II, do đó cosα<0. a) Đúng. Với sinα=1/3, ta có cosα=-√(1-1/9)=-2√2/3. b) cos2α=1-2sin²α=1-2/9=7/9≠-7/9 nên Sai. c) sin(α+π/3)=sinα·cos(π/3)+cosα·sin(π/3)=1/6+(-2√2/3)(√3/2)=(1-2√6)/6≠(1+2√6)/6 nên Sai. d) tanα=sinα/cosα=-1/(2√2), cotα=-2√2. Tử số: 2cotα+3tanα=-4√2-3/(2√2)=-19/(2√2). Mẫu số: 5cotα-4tanα=-10√2+2/√2=-18/√2. Thương bằng (-19/(2√2))·(√2/(-18))=19/36≠7/12 nên Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) Đúng; b), c), d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
α∈(π/2,π) nên α thuộc góc phần tư thứ II, do đó cosα<0. Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
cos2α=1-2sin²α=1-2·(1/9)=7/9≠-7/9. Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
cosα=-2√2/3 nên sin(α+π/3)=(1/3)(1/2)+(-2√2/3)(√3/2)=(1-2√6)/6≠(1+2√6)/6. Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
tanα=-1/(2√2), cotα=-2√2. Biểu thức=(2·(-2√2)+3·(-1/(2√2)))/(5·(-2√2)-4·(-1/(2√2)))=(-19/(2√2))/(-18/√2)=19/36≠7/12. Sai.