Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Bài 16: Tính từng giới hạn.
1. Hàm đa thức liên tục: ${\lim }_{x\to 3}(3x-1)=3\cdot 3-1=8$.
2. Thay trực tiếp (mẫu khác 0 tại $x=-1$): $\frac{2(-1)+7}{-1-1}=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$.
3. ${\lim }_{x\to (1/2{)}^{+}}(1-6x)=1-6\cdot \frac{1}{2}=-2$.
4. $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, $x^2-2x=x(x-2)$; với $x\to 2$, $x\ne 2$ nên $\lim =\frac{x+1}{x}=\frac{3}{2}$.
5. Nhân liên hợp: $\frac{\sqrt{3x+1}-2x}{1-x}=\frac{3x+1-4x^2}{(1-x)(\sqrt{3x+1}+2x)}=\frac{(1-x)(4x+1)}{(1-x)(\sqrt{3x+1}+2x)}=\frac{4x+1}{\sqrt{3x+1}+2x}\to \frac{5}{2+2}=\frac{5}{4}$.
6. $2x^2-x-3=(2x-3)(x+1)$; khi $x\to (3/2{)}^{-}$ thì $|2x-3|=3-2x=-(2x-3)$, nên biểu thức $=\frac{(2x-3)(x+1)}{-(2x-3)}=-(x+1)\to -\frac{5}{2}$.
7. ${\lim }_{x\to -\infty }(x^2-7x-3)=+\infty$ (bậc chẵn, hệ số dương).
8. Khi $x\to -\infty$, $\sqrt{x^2-x+7}=|x|\sqrt{1-1/x+7/x^2}=-x\sqrt{1-1/x+7/x^2}$, nên $\lim =\frac{3x}{-x}=-3$.
9. Nhân liên hợp: $\sqrt{x^2+6x-2}+x=\frac{6x-2}{\sqrt{x^2+6x-2}-x}$. Khi $x\to -\infty$, mẫu $\sim -x-x=-2x$, nên $\lim =\frac{6x}{-2x}=-3$.
10. Khi $x\to 2^{+}$: tử $\to 11>0$, mẫu $\to 0^{+}$ nên $\lim =+\infty$.
11. Khi $x\to 5^{-}$: tử $1-8x\to -39<0$, mẫu $x-5\to 0^{-}$ nên $\lim =+\infty$.
12. $x^2+2x+1=(x+1{)}^2\to 0^{+}$, tử $7x+2\to -5<0$ nên $\lim =-\infty$.

(AI giải đề cho tôi)
Để giới hạn hữu hạn, cần $a=4$ (vì $2x-\sqrt{a{x}^2+bx}$ phải triệt tiêu hạng tử bậc nhất). Khi đó:
$$2x-3-\sqrt{4x^2+bx}=2x-3-2x\sqrt{1+\frac{b}{4x}}.$$
Dùng khai triển $\sqrt{1+t}\approx 1+\frac{t}{2}$ với $t=\frac{b}{4x}\to 0$:
$$2x\sqrt{1+\frac{b}{4x}}\approx 2x+\frac{b}{4}.$$
Suy ra biểu thức tiến tới $-3-\frac{b}{4}$. Theo đề: $-3-\frac{b}{4}=10\Rightarrow b=-52$.
Vậy $2a-3b=2\cdot 4-3\cdot (-52)=8+156=164$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{1-4x^2}{(2x-1)(x+3)}=\frac{-(2x-1)(2x+1)}{(2x-1)(x+3)}=\frac{-(2x+1)}{x+3}$ với $x\ne \frac{1}{2}$, $x\ne -3$.

1) $\underset{x\to 1/2}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1/2}{\lim }\frac{-(2x+1)}{x+3}=\frac{-2}{7/2}=-\frac{4}{7}$.

2) Khi $x\to (-3{)}^{+}$: tử số $-(2x+1)\to 5>0$, mẫu $x+3\to 0^{+}$ nên $\underset{x\to (-3{)}^{+}}{\lim }f(x)=+\infty$.

3) Khi $x\to (-3{)}^{-}$: tử số $\to 5>0$, mẫu $x+3\to 0^{-}$ nên $\underset{x\to (-3{)}^{-}}{\lim }f(x)=-\infty$.

4) $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{-2x-1}{x+3}=-2$ (cả hai phía).

5) Vì $f(x)\to -2<0$ khi $x\to +\infty$ nên $\underset{x\to +\infty }{\lim }[x\cdot f(x)]=+\infty \cdot (-2)=-\infty$.

6) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-(2x+1)}{x(x+3)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-2/x-1/x^2}{1+3/x}=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 16 – tính 12 giới hạn:

1) $\underset{x\to 3}{\lim }(3x-1)=3\cdot 3-1=8$.

2) Hàm liên tục tại $x=-1$: $\frac{2(-1)+7}{-1-1}=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$.

3) $\underset{x\to (1/2{)}^{+}}{\lim }(1-6x)=1-6\cdot \frac{1}{2}=-2$.

4) $x^2-x-2=(x-2)(x+1)$, $x^2-2x=x(x-2)$, nên với $x\ne 2$: $\frac{x+1}{x}\to \frac{3}{2}$.

5) Nhân liên hợp: $\frac{(\sqrt{3x+1}-2x)(\sqrt{3x+1}+2x)}{(1-x)(\sqrt{3x+1}+2x)}=\frac{3x+1-4x^2}{(1-x)(\sqrt{3x+1}+2x)}=\frac{(1-x)(4x+1)}{(1-x)(\sqrt{3x+1}+2x)}=\frac{4x+1}{\sqrt{3x+1}+2x}\to \frac{5}{2+2}=\frac{5}{4}$.

6) Với $x\to (3/2{)}^{-}$ thì $2x-3<0$ nên $|2x-3|=3-2x=-(2x-3)$. Tử số $2x^2-x-3=(2x-3)(x+1)$. Do đó giới hạn bằng $\frac{(2x-3)(x+1)}{-(2x-3)}=-(x+1)\to -\frac{5}{2}$.

7) $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^2-7x-3)=+\infty$ (số hạng bậc cao nhất $x^2$ trội).

8) Với $x\to -\infty$, $\sqrt{x^2-x+7}=|x|\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{7}{x^2}}=-x\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{7}{x^2}}$. Vậy $\frac{3x-5}{-x\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{7}{x^2}}}\to \frac{3}{-1}=-3$.

9) Nhân liên hợp: $\sqrt{x^2+6x-2}+x=\frac{6x-2}{\sqrt{x^2+6x-2}-x}$. Khi $x\to -\infty$: mẫu $\approx |x|-x=-x-x=-2x$, tử $\approx 6x$, nên giới hạn $=\frac{6}{-2}=-3$.

10) Khi $x\to 2^{+}$: tử $\to 11>0$, mẫu $x-2\to 0^{+}$, nên giới hạn $=+\infty$.

11) Khi $x\to 5^{-}$: tử $1-8x\to -39<0$, mẫu $x-5\to 0^{-}$, nên giới hạn $=+\infty$.

12) $x^2+2x+1=(x+1{)}^2\to 0^{+}$ khi $x\to -1$; tử $7x+2\to -5<0$, nên giới hạn $=-\infty$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $1-4x^2=(1-2x)(1+2x)=-(2x-1)(2x+1)$, nên với $x\ne \frac{1}{2}$: $$f(x)=\frac{-(2x-1)(2x+1)}{(2x-1)(x+3)}=\frac{-(2x+1)}{x+3}.$$

1) $\underset{x\to 1/2}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1/2}{\lim }\frac{-(2x+1)}{x+3}=\frac{-2}{7/2}=-\frac{4}{7}.$

2) Khi $x\to (-3{)}^{+}$: tử số $-(2x+1)\to -(-6+1)=5>0$, mẫu $x+3\to 0^{+}$, nên $\underset{x\to (-3{)}^{+}}{\lim }f(x)=+\infty .$

3) Khi $x\to (-3{)}^{-}$: tử số $\to 5>0$, mẫu $x+3\to 0^{-}$, nên $\underset{x\to (-3{)}^{-}}{\lim }f(x)=-\infty .$

4) $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{-2x-1}{x+3}=-2$ (cả hai phía).

5) Vì $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-2<0$ nên $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[x\cdot f(x)\right]=+\infty \cdot (-2)=-\infty .$

6) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-(2x+1)}{x(x+3)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-2/x-1/x^2}{1+3/x}=0.$

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{3x^2-8x+5}{(x-1)(x+2)}$ với $3x^2-8x+5=(3x-5)(x-1)$.
a) Sai: $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=\frac{3}{1}=3\ne \frac{3}{2}$.
b) Đúng: $\underset{x\to 1}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{(3x-5)(x-1)}{(x-1)(x+2)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{3x-5}{x+2}=\frac{-2}{3}$.
c) Đúng: hàm liên tục tại $x=0$, $f(0)=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$.
d) Sai: khi $x\to -\infty$ thì $f(x)\to 3>0$ và $x^3\to -\infty$, nên $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^{3}f(x)=-\infty$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tử và mẫu cùng bậc 2, hệ số cao nhất $3/1=3$, nên lim bằng 3 chứ không phải $3/2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Phân tích $3x^2-8x+5=(3x-5)(x-1)$, rút gọn $(x-1)$ rồi thay $x=1$: $(3-5)/(1+2)=-2/3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm liên tục tại $x=0$: $f(0)=5/(-2)=-5/2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$: $f(x)\to 3$ và $x^3\to -\infty$ nên tích tiến tới $-\infty$, không phải $+\infty$.

(AI giải đề cho tôi)
Chia đa thức: $\frac{4x^2-3x+2}{x+2}=4x-11+\frac{24}{x+2}$. Khi đó $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{4x^2-3x+2}{x+2}-2ax+b\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left((4-2a)x+(-11+b)+\frac{24}{x+2}\right)=0$ đòi hỏi $4-2a=0$ và $-11+b=0$, tức $a=2$, $b=11$. Vậy $2a-3b=4-33=-29$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất giới hạn hữu hạn: $\underset{x\to 3}{\lim }\left[f(x)+4x-1\right]=\underset{x\to 3}{\lim }f(x)+4\cdot 3-1=-2+12-1=9$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 21: Tính ${\lim }_{x\to -\infty }\left(-4x^5-3x^3+x+1\right)$. Khi $x\to -\infty$, $x^5\to -\infty$ nên $-4x^5\to +\infty$; các thành phần còn lại ($-3x^3\to +\infty$, $x\to -\infty$, hằng số 1) không làm đổi dấu kết quả. Bậc cao nhất $-4x^5$ chi phối tổng, do đó giới hạn bằng $+\infty$. Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 22: Biết ${\lim }_{x\to +\infty }\left(\frac{x^2+1}{x-2}+ax-b\right)=-5$. Tính tổng $a+b$. Chia đa thức: $\frac{x^2+1}{x-2}=x+2+\frac{5}{x-2}$. Khi đó biểu thức $=(1+a)x+(2-b)+\frac{5}{x-2}$. Để giới hạn hữu hạn, cần $1+a=0\Rightarrow a=-1$. Khi đó giới hạn $=2-b=-5\Rightarrow b=7$. Vậy $a+b=-1+7=6$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 23: Biết ${\lim }_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}=\frac{a}{b^2}$ với $\frac{a}{b^2}$ là phân số tối giản. Tính giới hạn bằng nhân liên hợp: $\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}=\frac{(x+1)-4}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}=\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}\to \frac{1}{2+2}=\frac{1}{4}$. Vậy $\frac{a}{b^2}=\frac{1}{4}$ tối giản, tức $a=1,b=2$. Khi đó $\sqrt{a}+b+2018=1+2+2018=2021$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 16 — Tính các giới hạn:

1. $\underset{x\to 3}{\lim }(3x-1)=3\cdot 3-1=8$.

2. Hàm số liên tục tại $x=-1$: $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{2x+7}{x-1}=\frac{2(-1)+7}{-1-1}=\frac{5}{-2}=-\frac{5}{2}$.

3. $\underset{x\to (1/2{)}^{+}}{\lim }(1-6x)=1-6\cdot \frac{1}{2}=-2$.

4. $\frac{x^2-x-2}{x^2-2x}=\frac{(x-2)(x+1)}{x(x-2)}=\frac{x+1}{x}$ với $x\ne 2$, nên $\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x+1}{x}=\frac{3}{2}$.

5. Dạng $\frac{0}{0}$. Nhân liên hợp:
$$\frac{\sqrt{3x+1}-2x}{1-x}=\frac{3x+1-4x^2}{(1-x)(\sqrt{3x+1}+2x)}=\frac{(4x+1)(1-x)}{(1-x)(\sqrt{3x+1}+2x)}=\frac{4x+1}{\sqrt{3x+1}+2x}.$$
Vậy giới hạn bằng $\frac{5}{2+2}=\frac{5}{4}$.

6. Với $x\to {\left(\frac{3}{2}\right)}^{-}$ thì $2x-3<0$ nên $|2x-3|=3-2x$. Mà $2x^2-x-3=(2x-3)(x+1)$, do đó
$$\frac{(2x-3)(x+1)}{3-2x}=-(x+1)\to -\frac{5}{2}.$$

7. $\underset{x\to -\infty }{\lim }(x^2-7x-3)=+\infty$ (bậc chẵn, hệ số dương).

8. Khi $x\to -\infty$, $\sqrt{x^2-x+7}=|x|\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{7}{x^2}}=-x\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{7}{x^2}}$, nên
$$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x-5}{-x\sqrt{1-\frac{1}{x}+\frac{7}{x^2}}}=\frac{3}{-1}=-3.$$

9. Nhân liên hợp:
$$\sqrt{x^2+6x-2}+x=\frac{6x-2}{\sqrt{x^2+6x-2}-x}=\frac{6x-2}{-x\sqrt{1+\frac{6}{x}-\frac{2}{x^2}}-x}\to \frac{6x}{-2x}=-3.$$

10. Khi $x\to 2^{+}$: tử số $\to 11>0$, mẫu số $x-2\to 0^{+}$, nên $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{5x+1}{x-2}=+\infty$.

11. Khi $x\to 5^{-}$: tử số $1-8x\to -39<0$, mẫu số $x-5\to 0^{-}$, nên giới hạn bằng $+\infty$.

12. $x^2+2x+1=(x+1{)}^2\to 0^{+}$ khi $x\to -1$, tử số $7x+2\to -5<0$, nên $\underset{x\to -1}{\lim }\frac{7x+2}{(x+1{)}^2}=-\infty$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $1-4x^2=(1-2x)(1+2x)=-(2x-1)(2x+1)$, nên với $x\ne \frac{1}{2}$:
$$f(x)=\frac{-(2x-1)(2x+1)}{(2x-1)(x+3)}=-\frac{2x+1}{x+3}.$$

1) $\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }f(x)=\underset{x\to \frac{1}{2}}{\lim }\left(-\frac{2x+1}{x+3}\right)=-\frac{2}{\frac{7}{2}}=-\frac{4}{7}.$

2) Khi $x\to (-3{)}^{+}$: tử số $-(2x+1)\to 5>0$, mẫu $x+3\to 0^{+}$ nên $\underset{x\to (-3{)}^{+}}{\lim }f(x)=+\infty .$

3) Khi $x\to (-3{)}^{-}$: tử số $\to 5>0$, mẫu $x+3\to 0^{-}$ nên $\underset{x\to (-3{)}^{-}}{\lim }f(x)=-\infty .$

4) $\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(-\frac{2x+1}{x+3}\right)=-2$ (cả hai giới hạn đều bằng $-2$).

5) Vì $\underset{x\to +\infty }{\lim }f(x)=-2<0$ nên $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[x\cdot f(x)\right]=+\infty \cdot (-2)=-\infty .$

6) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-\frac{2x+1}{x+3}}{x}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-(2x+1)}{x(x+3)}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-2x-1}{x^2+3x}=0$ (bậc tử nhỏ hơn bậc mẫu).

(AI giải đề cho tôi)
Khi $x\to -\infty$ thì $x^5\to -\infty$, do đó $-4x^5\to +\infty$. Các số hạng bậc thấp hơn ($-3x^3+x+1$) không ảnh hưởng đến kết quả vì bậc của $-4x^5$ cao nhất. Vậy $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-4x^5-3x^3+x+1\right)=+\infty$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\frac{x^2+1}{x-2}=x+2+\frac{5}{x-2}$. Do đó $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{x^2+1}{x-2}+ax-b\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[(1+a)x+(2-b)+\frac{5}{x-2}\right]$. Để giới hạn hữu hạn bằng $-5$, cần $1+a=0\Rightarrow a=-1$ và $2-b=-5\Rightarrow b=7$. Vậy $a+b=-1+7=6$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Nhân liên hợp: ${\lim }_{x\to 3}\frac{\sqrt{x+1}-2}{x-3}={\lim }_{x\to 3}\frac{(x+1)-4}{(x-3)(\sqrt{x+1}+2)}={\lim }_{x\to 3}\frac{1}{\sqrt{x+1}+2}=\frac{1}{4}$. Vậy $\frac{a}{b^2}=\frac{1}{4}$ với $\frac{a}{b}=\frac{1}{2}$ tối giản, tức $a=1,b=2$. Do đó $\sqrt{a}+b+2018=1+2+2018=2021$.

Chọn D. Dựa vào đồ thị, tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là $x=-2$, nhánh phải ($x>-2$) đi từ $-\infty$ khi $x$ tiến tới $-2$ từ phải, nên ${\lim }_{x\to (-2{)}^{+}}f(x)=-\infty$. (Đáp án $-\infty$ được gạch chân trong nguồn giải.)

Chọn D. Dựa vào đồ thị, đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là $y=-1$, nên ${\lim }_{x\to +\infty }f(x)=-1$. (Đáp án D được gạch chân trong nguồn giải; bảng đáp án mã 0001 cũng ghi D.)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sqrt{4x^2-3x+1}-(ax+b)\to 0$ khi $x\to +\infty$. Vì $\sqrt{4x^2-3x+1}\sim 2x$ nên cần $a=2$. Khi đó nhân liên hợp: $\sqrt{4x^2-3x+1}-(2x+b)=\frac{(4x^2-3x+1)-(2x+b{)}^2}{\sqrt{4x^2-3x+1}+2x+b}=\frac{(-4b-3)x+(1-b^2)}{\sqrt{4x^2-3x+1}+2x+b}$. Để giới hạn bằng 0 thì $-4b-3=0\Rightarrow b=-\frac{3}{4}$. Vậy $a-8b=2-8\left(-\frac{3}{4}\right)=2+6=8$.

(AI giải đề cho tôi)
Chi phí trung bình $f(x)=\frac{400x+50}{x}=400+\frac{50}{x}$ với $x>0$. Vì $\frac{50}{x}>0$ nên $f(x)>400$ với mọi $x$, và khi $x$ tăng lớn thì $f(x)\to 400$. Vậy chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm không thấp hơn $400$ nghìn đồng (giá trị giới hạn dưới là $400$). Kết quả khớp với đáp án của đề (mã đề 1702, Phần III Câu 1: 400).