Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Giới hạn hàm (Toán học Lớp 11)

Câu 5. Một quần thể vi khuẩn được nuôi cấy trong phòng thí nghiệm. Nồng độ dinh dưỡng $S$ (đơn vị: $\text{mg/}\ell$) thay đổi theo thời gian $t$ giờ ($t\ge 0$) được mô hình hóa bởi hàm số: $S(t)=\frac{10t+5}{t+1}$. Biết tốc độ sinh trưởng $V$ của vi khuẩn phụ thuộc vào nồng độ dinh dưỡng theo hàm số $V(S)=\frac{5S}{S+2}$. Khi thời gian $t$ kéo dài, tốc độ sinh trưởng $V$ tăng dần và ổn định quanh một ngưỡng $K$ nhất định. Hỏi sau bao nhiêu phút thì tốc độ sinh trưởng của vi khuẩn đạt $90\%$ ngưỡng $K$?

Câu 3. Cho $a;b$ là các số thực thỏa mãn ${\lim }_{x\to -\infty }\left(ax+3+\sqrt{4x^2+bx+12}\right)=5$. Tính giá trị $2a-b$.

Một bể ban đầu chứa 150 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 50 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hòa tan). Gọi $f(t)\text{ (gam/lıˊt)}$ là nồng độ chất khử trùng trong bể sau $t$ phút ($t\ge 0$), biết rằng sau khi khảo sát sự biến thiên của hàm số $f(t)$, ta thấy giá trị $f(t)$ tăng theo thời gian $t$ nhưng không vượt ngưỡng $p\text{ gam/lıˊt}$. Tìm số $p$ (kết quả viết dưới dạng số thập phân).

Câu 18. Cho $f(x)$ là đa thức thỏa mãn ${\lim }_{x\to 3}\frac{f(x)-27}{x-3}=9$. Tính giới hạn $L={\lim }_{x\to 3}\left[2f(x)-19x+3\right]\left(\frac{1}{x-3}-\frac{1}{x^2-3x}\right)$.

Câu 13. Gọi $a,b$ là các giá trị để hàm số $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x^2+ax+b}{x^2-4},& x<-2\\ x+1,& x\ge -2\end{array}$ có giới hạn hữu hạn khi $x$ dần tới $-2$. Tính $3a+b$?

Biết ${\lim }_{x\to 2}\frac{x^2+ax+b}{x^2-2x}=2$ với $a,b$ là hai số thực. Giá trị $a+b$ bằng

Câu 11. Cho hàm số $f(x)$ xác định trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn ${\lim }_{x\to 2}\frac{f(x)-2026}{x-2}=2016$. Tính giới hạn ${\lim }_{x\to 2}\frac{\sqrt[3]{f(x)-1962}-4}{x^2+2x-8}$.

Câu 3. Biết ${\lim }_{x\to 2}\left(\frac{a}{x-2}+\frac{b}{x^3-8}\right)=\frac{1}{2}$ ($a,b\in \mathbb{R}$). Tính $2a+b$.

Câu 2. Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất $x$ (sản phẩm) là $C(x)=150x+900$ (nghìn đồng). Khi sản xuất càng nhiều sản phẩm thì chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm không vượt quá $t$ (nghìn đồng). Tìm giá trị của $t$.

Câu 6. Số lượng sản phẩm của một công ty bán được trong $x$ (tháng) được tính theo công thức $S(x)=400\left(2+\frac{3}{x+2}\right)$ với $x\ge 1$. Ta coi $y=S(x)$ là một hàm số xác định trên $[1;+\infty )$. Khi đó, hãy tính xem số lượng sản phẩm của công ty bán được trong một khoảng thời gian dài không thể thấp hơn bao nhiêu sản phẩm?

Tại một công ty sản xuất đồ chơi an toàn cho trẻ em, công ty phải chi $40000\text{ USD}$ để thiết lập dây chuyền sản xuất ban đầu. Sau đó, cứ sản xuất được một sản phẩm đồ chơi $A$, công ty phải trả $6\text{ USD}$ cho nguyên liệu ban đầu và nhân công. Gọi $x$ $(x\ge 1)$ là số đồ chơi $A$ mà công ty đã sản xuất và $P(x)$ (đơn vị USD) là tổng số tiền bao gồm cả chi phí ban đầu mà công ty phải chi trả khi sản xuất $x$ đồ chơi $A$. Người ta xác định chi phí trung bình cho mỗi sản phẩm đồ chơi $A$ là $F(x)=\frac{P(x)}{x}$. Xem $F(x)$ là hàm số theo $x$ xác định trên nửa khoảng $[1;+\infty )$. Khi sản xuất đồ chơi $A$ với số lượng lớn thì chi phí trung bình của mỗi đồ chơi $A$ thấp nhất càng gần nhưng không thể nhỏ hơn bao nhiêu (USD)?