Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc hai đường (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $AB\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$ nên góc giữa $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $A^{\prime }{B}^{\prime }$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Trong mặt phẳng $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$, tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$ vuông cân tại $B^{\prime }$ với $A^{\prime }{B}^{\prime }=B^{\prime }{C}^{\prime }=a$, do đó $\widehat{B^{\prime }{A}^{\prime }{C}^{\prime }}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $45^{\circ }$, trùng với đáp án nguồn (Mã đề 119, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $SCD$, $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $SC$ và $SD$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN\parallel CD$. Vì $ABCD$ là hình chữ nhật nên $CD\perp BC$ (và $CD\perp AD$). Do đó $MN\perp BC$. Các đáp án A, B, C sai vì $CD$ không vuông góc với $AC$, $BD$, $AB$ trong hình chữ nhật (chỉ vuông góc với $BC$ và $AD$). Vậy khẳng định đúng là $MN\perp BC$.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt $\overrightarrow{AB}=\vec{a}$, $\overrightarrow{AD}=\vec{b}$, $\overrightarrow{A{A}^{\prime }}=\vec{c}$ với $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{c}|$. Khi đó $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=\vec{a}+\vec{b}$ và $\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$. Tích vô hướng: $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\cdot \overrightarrow{BD}=(\vec{a}+\vec{b})\cdot (\vec{b}-\vec{a})=|\vec{b}{|}^2-|\vec{a}{|}^2=0$ vì tất cả các cạnh bằng nhau. Vậy hai đường thẳng vuông góc, góc giữa chúng bằng $90^{\circ }$. Đáp án A.

Chọn A. Có $CD//AB\Rightarrow (B{A}^{\prime },CD)=(B{A}^{\prime },BA)=\widehat{AB{A}^{\prime }}=45^{\circ }$ (do $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình vuông).

Chọn A. Có $CD//AB\Rightarrow \left(B{A}^{\prime },CD\right)=\left(B{A}^{\prime },BA\right)=\widehat{AB{A}^{\prime }}$

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, xét $BD$ và $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Ta có $BD\perp AC$ (hai đường chéo hình vuông $ABCD$) và $A{A}^{\prime }\perp (ABCD)$ nên $A{A}^{\prime }\perp BD$. Do đó $BD\perp (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$, mà $A^{\prime }{C}^{\prime }\subset (AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ nên $BD\perp A^{\prime }{C}^{\prime }$. Các phương án khác: $A^{\prime }{D}^{\prime }$ cắt $A^{\prime }{C}^{\prime }$ tại $A^{\prime }$ với góc $60^{\circ }$; $CD$ chéo nhau với $A^{\prime }{C}^{\prime }$ và không vuông góc; $AC$ song song với $A^{\prime }{C}^{\prime }$. Vậy đáp án là A, trùng đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, đường thẳng $A^{\prime }{C}^{\prime }$ là đường chéo của mặt trên $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Ta có $BD\parallel B^{\prime }{D}^{\prime }$ và $B^{\prime }{D}^{\prime }\perp A^{\prime }{C}^{\prime }$ (hai đường chéo của hình vuông $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ vuông góc nhau), nên $BD\perp A^{\prime }{C}^{\prime }$. Các đường thẳng $A^{\prime }{D}^{\prime }$, $CD$, $AC$ không vuông góc với $A^{\prime }{C}^{\prime }$ (chúng cắt hoặc chéo nhau tạo góc khác $90^{\circ }$). Vậy đáp án là $BD$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định trong không gian: A sai vì hai mặt phẳng cùng vuông góc với một đường thẳng có thể trùng nhau (không nhất thiết song song). B sai vì hai đường thẳng không có điểm chung có thể chéo nhau. C đúng: hai đường thẳng vuông góc với nhau trong không gian có thể cắt nhau (giao nhau tại một điểm) hoặc chéo nhau (không cắt nhưng vuông góc qua góc giữa hai đường thẳng). D sai vì hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng có thể chéo nhau, không nhất thiết song song. Vậy khẳng định đúng là C, khớp với đáp án nguồn (mã đề 111, câu 4: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương, cạnh $D{D}_1$ vuông góc với mặt đáy $(ABCD)$, mà đường thẳng $AC$ nằm trong mặt đáy $(ABCD)$ nên $D{D}_1\perp AC$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $AC$ và $D{D}_1$ bằng $90^{\circ }$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1012, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $CD\parallel BA$ nên góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng góc giữa $B{A}^{\prime }$ và $BA$, tức là góc $A^{\prime }BA$. Trong hình lập phương, tam giác $A^{\prime }BA$ vuông tại $A$ với $A^{\prime }B=\sqrt{2}AB$, nên $\cos \widehat{A^{\prime }BA}=\frac{AB}{A^{\prime }B}=\frac{1}{\sqrt{2}}$, suy ra $\widehat{A^{\prime }BA}=45^{\circ }$. Vậy góc giữa hai đường thẳng $B{A}^{\prime }$ và $CD$ bằng $45^{\circ }$, trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $SA\perp (ABC)$ nên $SA\perp BC$. Mặt khác $BC\subset (ABC)$, do đó $SA\perp BC$, tức góc giữa hai đường thẳng $SA$ và $BC$ bằng $90^{\circ }$. Đáp số: 90, trùng với đáp án nguồn (Mã 111, Câu 3).

(AI giải đề cho tôi)
Lăng trụ đứng $ESLG.ZVBD$ có cạnh bên $EZ$ vuông góc với mặt đáy $(ESLG)$, do đó $EZ$ vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt đáy, kể cả $LG$. Vậy góc giữa $EZ$ và $LG$ bằng $90^{\circ }$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ theo hình vẽ: $A(0;0;1),B(1;0;1),C(1;1;1),D(0;1;1),E(0;0;0),F(1;0;0),H(0;1;0),G(1;1;0)$. Xét từng cặp: A) $\overrightarrow{AC}=(1;1;0)$, $\overrightarrow{HF}=(1;-1;0)$, tích vô hướng $=1-1=0$ nên $AC\perp HF$. B) $AB\parallel CD$ (cùng phương) nên không vuông góc. C) $\overrightarrow{CF}=(0;-1;-1)$, $\overrightarrow{AC}\cdot \overrightarrow{CF}=-1\ne 0$ nên không vuông góc. D) $\overrightarrow{BC}=(0;1;0)$, $\overrightarrow{EH}=(0;1;0)$ song song nên không vuông góc. Vậy chỉ cặp $AC$ và $HF$ vuông góc, khớp đáp án A của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.EFGH$ (đáy $EFGH$ với $E,F,G,H$ lần lượt dưới $A,B,C,D$): $AC$ là đường chéo mặt trên, $HF$ là đường chéo mặt dưới. Vì $HF\parallel DB$ (do $HE\parallel DF$... chính xác là $HF$ song song với $DB$ vì $H$ dưới $D$, $F$ dưới $B$) và trong hình vuông $ABCD$ ta có $AC\perp DB$, suy ra $AC\perp HF$. Các đáp án khác: $BC$ và $EH$ chéo nhau không vuông góc; $AC$ và $CF$ chéo nhau, góc không bằng $90^{\circ }$; $AB\parallel CD$ nên không vuông góc. Đáp án khớp với mã đề 2102: C.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $CD\parallel AB$. Suy ra góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $CD$ bằng góc giữa hai đường thẳng $SB$ và $AB$, tức là góc $\widehat{SBA}$ (góc tại đỉnh $B$ của tam giác $SBA$, là góc nhọn). Vậy đáp án là $\widehat{SBA}$, khớp với đáp án nguồn (D).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $BC\parallel AD$. Do đó góc giữa hai đường thẳng $SD$ và $BC$ bằng góc giữa $SD$ và $AD$, tức là góc $\widehat{SDA}$ (góc nhọn tạo bởi $SD$ và $DA$ tại đỉnh $D$). Vậy đáp án C, khớp với đáp án nguồn (Câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, xét mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$. Mọi đường thẳng nằm trong $(\alpha )$ và đi qua $A$ đều vuông góc với $\Delta$ (vì chúng vuông góc với mọi đường thẳng của $(\alpha )$, nói riêng vuông góc với $\Delta$). Trong mặt phẳng $(\alpha )$, qua $A$ có vô số đường thẳng. Vậy qua $A$ có vô số đường thẳng vuông góc với $\Delta$. Đáp án khớp với bảng đáp án của đề (mã đề 0102, câu 5: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong không gian, xét mặt phẳng $(\alpha )$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $\Delta$. Mọi đường thẳng nằm trong $(\alpha )$ và đi qua $A$ đều vuông góc với $\Delta$ (vì chúng vuông góc với mọi đường thẳng của $(\alpha )$, nói riêng vuông góc với $\Delta$). Trong mặt phẳng $(\alpha )$, qua $A$ có vô số đường thẳng. Vậy qua $A$ có vô số đường thẳng vuông góc với $\Delta$. Đáp án khớp với đáp án nguồn (mã đề 0101, câu 12: B).

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ (do $BC{C}^{\prime }{B}^{\prime }$ là hình vuông). Vậy góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $AB$ và $BC$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp BC$, do đó góc giữa $AB$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $90^{\circ }$. Chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$, ta có $B^{\prime }{C}^{\prime }\parallel BC$ (vì $B^{\prime }{C}^{\prime }$ song song với $BC$ qua tính song song của các cạnh trong hình lập phương). Do đó góc giữa $AB$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng góc giữa $AB$ và $BC$. Vì $ABCD$ là hình vuông nên $AB\perp BC$, suy ra góc giữa hai đường thẳng $AB$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }$ bằng $90^{\circ }$. Vậy đáp án là A.