Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Góc lượng giác, radian (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Đường kính 80 m nên bán kính R = 40 m. Độ dài cung tròn 60° là $l=\frac{60}{360}\cdot 2\pi R=\frac{80\pi }{6}\approx 41,8879$ m. Vì các ghế cách nhau 3 m, số khoảng cách giữa các ghế trên cung là $41,8879:3\approx 13,9626$. Làm tròn đến hàng đơn vị ta được 14, tức có thể gắn tối đa 14 ghế trên cung 60° (khớp với đáp án nguồn 14).

(AI giải đề cho tôi)
Đổi từ radian sang độ: $1\text{rad}={\left(\frac{180}{\pi }\right)}^{\circ }$. Do đó góc $7\pi$ (rad) có số đo $7\pi \cdot \frac{180}{\pi }=1260^{\circ }$. Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 126, câu 4: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hai góc có cùng điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác khi chúng hơn nhau một bội nguyên của $2\pi$. Ta có $\frac{-33\pi }{4}+8\pi =\frac{-33\pi +32\pi }{4}=-\frac{\pi }{4}$. Vậy góc $\frac{-33\pi }{4}$ có điểm biểu diễn trùng với điểm biểu diễn của góc $-\frac{\pi }{4}$, tương ứng phương án C. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (Câu 5, mã đề 126: C).

(AI giải đề cho tôi)
Công thức độ dài cung tròn: cung có số đo $\alpha$ rad trên đường tròn bán kính $R$ có độ dài $l=R\cdot \alpha$. Do đó đáp án là A, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 111, Câu 1: A).

(AI giải đề cho tôi)
Với $90^0<\alpha <180^0$ (góc ở góc phần tư thứ II): $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$, do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }<0$ và $\cot \alpha <0$. Vậy khẳng định đúng là $\cos \alpha <0$, đáp án D. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 11: D).

(AI giải đề cho tôi)
Với $90^0<\alpha <180^0$ (góc ở góc phần tư thứ II), ta có $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$, do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }<0$ và $\cot \alpha <0$. Vậy khẳng định đúng là $\cos \alpha <0$, đáp án D. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 7: D).

(AI giải đề cho tôi)
Với $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$ (góc ở góc phần tư thứ II): $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$, do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }<0$ và $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }<0$. Vậy khẳng định đúng là $\cot \alpha <0$, khớp với đáp án A (mã đề 102, câu 11).

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, điểm $M$ trên nửa đường tròn đơn vị có hoành độ $x_0=-\frac{1}{2}$ và tung độ $y_0=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nằm trên cung phần tư thứ hai nên góc $\alpha =\widehat{xOM}$ là góc tù ($\alpha =120^{\circ }$).
a) Đúng: $M\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ nằm trên cung thứ hai, là điểm biểu diễn góc $\alpha$ tù.
b) Đúng: $\cos \alpha =x_0=-\frac{1}{2}$.
c) Sai: $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-1/2}{\sqrt{3}/2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3}\ne -\frac{1}{2\sqrt{2}}$.
d) Sai: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\sqrt{3}/2}{-1/2}=-\sqrt{3}\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$.
Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 102: a)Đ - b)Đ - c)S - d)S).
a) (AI giải đề cho tôi)
Điểm $M\left(-\frac{1}{2};\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$ nằm trên cung phần tư thứ hai của nửa đường tròn đơn vị, nên là điểm biểu diễn góc $\alpha$ tù.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hoành độ của điểm biểu diễn là $\cos \alpha =x_0=-\frac{1}{2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }=\frac{-1/2}{\sqrt{3}/2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\ne -\frac{1}{2\sqrt{2}}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\sqrt{3}/2}{-1/2}=-\sqrt{3}\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, điểm $M$ trên nửa đường tròn đơn vị có hoành độ $x_0=-\frac{1}{2}$ và tung độ $y_0=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nằm trong góc phần tư thứ II nên góc $\alpha =\widehat{xOM}$ là góc tù ($90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$).

a) Đúng. Vì $M$ nằm trong góc phần tư thứ II nên $\alpha$ là góc tù, và $M(x_0;y_0)$ chính là điểm biểu diễn góc $\alpha$ trên đường tròn lượng giác.

b) Sai. Ta có $\tan \alpha =\frac{y_0}{x_0}=\frac{\sqrt{3}/2}{-1/2}=-\sqrt{3}\ne -\frac{1}{\sqrt{3}}$.

c) Sai. $\cot \alpha =\frac{x_0}{y_0}=\frac{-1/2}{\sqrt{3}/2}=-\frac{1}{\sqrt{3}}\ne -\frac{1}{2\sqrt{2}}$.

d) Đúng. $\cos \alpha =x_0=-\frac{1}{2}$ (khi đó $\alpha =120^{\circ }$).

Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng — khớp với đáp án nguồn (ĐSSD).
a) (AI giải đề cho tôi)
M nằm trong góc phần tư thứ II (x_0=-1/2<0, y_0=√3/2>0) nên α là góc tù; M(x_0;y_0) là điểm biểu diễn góc α.
b) (AI giải đề cho tôi)
tan α = y_0/x_0 = (√3/2)/(-1/2) = -√3 ≠ -1/√3.
c) (AI giải đề cho tôi)
cot α = x_0/y_0 = (-1/2)/(√3/2) = -1/√3 ≠ -1/(2√2).
d) (AI giải đề cho tôi)
cos α = x_0 = -1/2 (α = 120°).

(AI giải đề cho tôi)
Với $90^{\circ }<\alpha <180^{\circ }$, góc $\alpha$ thuộc góc phần tư thứ II. Khi đó $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$, do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }<0$ và $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }<0$. Vậy khẳng định đúng là $\cot \alpha <0$, trùng với đáp án A trong bảng đáp án (mã đề 101).

(AI giải đề cho tôi)
Trên nửa đường tròn đơn vị, điểm $M(x_0;y_0)$ với $\widehat{xOM}=\alpha$ thì theo định nghĩa lượng giác: hoành độ của $M$ là $\cos \alpha =x_0$, tung độ của $M$ là $\sin \alpha =y_0$ (vì bán kính đường tròn bằng 1, nên $\sin \alpha =\frac{y_0}{OM}=\frac{y_0}{1}=y_0$). Vậy khẳng định đúng là $\sin \alpha =y_0$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa lượng giác trên đường tròn đơn vị: điểm $M(x_0;y_0)$ trên đường tròn bán kính $1$ sao cho góc $\widehat{xOM}=\alpha$ thì tọa độ của $M$ là $x_0=\cos \alpha$, $y_0=\sin \alpha$. Do đó $\cos \alpha =x_0$. Các phương án B, D là tỉ số (tan, cot), phương án C nhầm với sin. Vậy đáp án đúng là A.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M(x_0,y_0)$ thuộc đường tròn lượng giác bán kính 1, biểu diễn góc $\alpha$. Theo định nghĩa, $an\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{y_0}{x_0}$ (với $x_0\ne 0$). Vậy đáp án B, khớp với bảng đáp án mã 0112 (câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\frac{23\pi }{3}=\frac{24\pi -\pi }{3}=8\pi -\frac{\pi }{3}$, nên điểm biểu diễn của góc $\frac{23\pi }{3}$ trùng với điểm biểu diễn của góc $-\frac{\pi }{3}$ (cũng chính là góc $\frac{5\pi }{3}$), thuộc góc phần tư thứ $IV$, không phải thứ $I$ → Sai.
b) Vì $\sin x\in [-1;1]$ với mọi $x$, phương trình $\sin x=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $-1\le m\le 1$ → Đúng.
c) Tập xác định của $y=\tan x$ là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \}$ → Sai.
d) $144^{\circ }=144\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{4\pi }{5}$ rad → Đúng.
Kết quả S, D, S, D khớp bảng đáp án mã đề 0112 (Phần II, Câu 2).
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\frac{23\pi }{3}=8\pi -\frac{\pi }{3}$, điểm biểu diễn trùng với điểm của góc $-\frac{\pi }{3}$ (tức $\frac{5\pi }{3}$), thuộc góc phần tư thứ $IV$, không phải thứ $I$ → Sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $\sin x\in [-1;1]$ nên $\sin x=m$ có nghiệm khi và chỉ khi $-1\le m\le 1$ → Đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) Tập xác định của $y=\tan x$ là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \}$ → Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi) $144^{\circ }=144\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{4\pi }{5}$ rad → Đúng.

(AI giải đề cho tôi)
Điểm $M(x_0;y_0)$ nằm trên đường tròn lượng giác bán kính $R=1$. Theo định nghĩa giá trị lượng giác: $\sin \alpha =\frac{y_0}{R}=\frac{y_0}{1}=y_0$ (và $\cos \alpha =x_0$). Vậy $\sin \alpha =y_0$, đáp án A, trùng với bảng đáp án mã đề 0111 (Câu 4: A).

(AI giải đề cho tôi)
Với $90^0<\alpha <180^0$, góc $\alpha$ ở góc phần tư thứ II. Khi đó $\sin \alpha >0$, $\cos \alpha <0$, do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }<0$ và $\cot \alpha <0$. Vậy phát biểu đúng là $\cos \alpha <0$, khớp với đáp án B trong bảng HD chấm (đề 101, câu 10: B).

(AI giải đề cho tôi)
Vì $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên $\pi <\alpha +\frac{\pi }{2}<\frac{3\pi }{2}$, tức $\alpha +\frac{\pi }{2}$ thuộc góc phần tư thứ III, do đó $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)=\cos \alpha <0$ (cos âm ở góc phần tư II). Mặt khác, với $\alpha$ ở góc phần tư thứ II thì $\tan \alpha <0$, nên $\tan (-\alpha )=-\tan \alpha >0$. Vậy $\sin \left(\alpha +\frac{\pi }{2}\right)<0$ và $\tan (-\alpha )>0$, tương ứng phương án C. Kết quả trùng với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Đổi 315° sang radian: $315^{\circ }=315\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{7\pi }{4}$. Vậy đáp án B, khớp với bảng đáp án (mã đề 1002, câu 7 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Đổi 315° sang radian: $315^{\circ }=315\cdot \frac{\pi }{180}=\frac{7\pi }{4}$. Vậy đáp án D, khớp với bảng đáp án mã đề 1001 (câu 2: D).