Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: GTLN/GTNN và tối ưu (Toán học Lớp 12)

Từ một tấm tôn hình tam giác đều cạnh bằng 6m , ông A cắt thành một tấm tôn hình chữ nhật và
cuộn lại được một cái thùng hình trụ(như hình vẽ)

Ông A làm được cái thùng có thể tích tối đa là V (Vật liệu làm nắp thùng coi như không liên
quan). Giá trị của V thỏa mãn

Trong một buổi tập luyện của lính đặc công, một chiến sỹ cần phối hợp bơi và chạy bộ để từ điểm A ở bờ sông bên này đến điểm B về phía hạ lưu của bờ sông bên kia (tham khảo hình vẽ bên dưới). Chiến sỹ dự định bơi thẳng từ điểm A đến một điểm thuộc đoạn HB sau đó chạy từ điểm đó về điểm B. Biết $AH=300\text{ m},HB=900\text{ m}$, vận tốc dòng nước là $1\text{ m/s}$, vận tốc bơi của chiến sỹ đối với nước là $1\text{ m/s}$ và vận tốc chạy trên bờ của chiến sỹ là $3\text{ m/s}$. Hỏi chiến sỹ cần ít nhất bao nhiêu giây để hoàn thành kế hoạch trên? (làm tròn đến hàng đơn vị).

Có một tấm bìa hình ngũ giác đều $MNPQR$ tâm $O$ cạnh bằng 30 cm, cắt bỏ 5 tam giác cân bằng nhau có cạnh đáy là cạnh của ngũ giác đều ban đầu, đỉnh là đỉnh của ngũ giác đều bên trong như hình vẽ rồi gập lên thành một khối chóp ngũ giác đều có cạnh đáy bằng $x$ (cm). Tìm $x$ để thể tích tạo thành là lớn nhất.

Trong kế hoạch vận hành thử nghiệm phân đoạn dài $290\text{ km}$ thuộc dự án đường sắt tốc độ cao, các kỹ sư cần xác định vận tốc khai thác $v$ (km/h) cho đoàn tàu ($200\le v\le 350$) để đạt hiệu quả kinh tế cao nhất. Các thông số được xác định như sau: Công suất tiêu thụ điện của đoàn tàu là $P(v)=5v^3$ (W). Giá điện kinh doanh ưu đãi là $2$ nghìn đồng/kWh. Chi phí vận hành cố định: Bao gồm nhân lực, bảo trì và các chi phí quản lý khác, được tính là $197780$ nghìn đồng cho mỗi giờ tàu chạy. Số lượng khách mua vé phụ thuộc vào vận tốc khai thác theo hàm số: $N(v)=v+610$ (hành khách). Giá vé bình quân cho phân đoạn này là $1$ triệu đồng/khách. Hãy xác định vận tốc khai thác $v$ để lợi nhuận ròng của mỗi chuyến tàu trên phân đoạn này là lớn nhất (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Từ một tấm nhôm hình vuông có cạnh bằng $8\text{ dm}$, người ta cắt bỏ bốn tứ giác bằng nhau (cùng bằng tứ giác $AMNP$) ở bốn góc của tấm nhôm đó, biết $AM=AP=1\text{ dm}$ và điểm $N$ thuộc đường chéo $AC$. Với phần còn lại của tấm nhôm sau khi đã cắt bỏ đi 4 tứ giác nói trên, người ta đã gập các đoạn $MN$ trùng với $PN$ rồi dán kỹ bằng keo, làm tương tự cho 3 cặp đoạn còn lại, người ta thu được chậu nước hình chóp cụt tứ giác đều. Sức chứa lớn nhất của chậu nước hình chóp cụt tứ giác đều này là bao nhiêu lít (làm tròn đến hàng đơn vị, bỏ qua độ dày tấm nhôm)?

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $1$ và cung $\stackrel{⌢}{\mathrm{BD}}$ là một phần tư đường tròn tâm $A$, bán kính $AB$ (tham khảo hình vẽ bên). Gọi $M$ là một điểm di động trên cung $\stackrel{⌢}{\mathrm{BD}}$. Tiếp tuyến với cung $\stackrel{⌢}{\mathrm{BD}}$ tại điểm $M$ cắt cạnh $CD$ tại điểm $P$ và cắt cạnh $BC$ tại điểm $Q$. Hỏi diện tích lớn nhất tam giác $PQC$ bằng bao nhiêu *(làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)*?
[IMAGE_1]

Gia đình anh Tuấn có mảnh đất, một phía giáp với đường (là một phần của đường thẳng), phần còn lại giáp với hồ nước là đường cong được mô hình hóa bởi một phần của đồ thị hàm số $f(x)=\frac{-x^2+5x-4}{x}$ như hình vẽ bên dưới, đơn vị trên mỗi trục tọa độ là $10$ mét. Trong mảnh đất anh Tuấn muốn rào một khu vực hình chữ nhật $ABCD$ với hai đỉnh $A,B$ nằm trên đồ thị hàm số $f(x)$ (phần giáp hồ) và cạnh $CD$ nằm trên trục hoành (phần giáp đường). Diện tích hình chữ nhật $ABCD$ đạt giá trị lớn nhất là bao nhiêu ${\text{m}}^2$ (làm tròn đến hàng đơn vị).

Cho khối chóp cụt tứ giác đều $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$ như hình vẽ. Biết tổng diện tích của hai mặt đáy bằng $54$ và độ dài đường chéo $A{C}^{\prime }=9$. Tìm thể tích lớn nhất của khối chóp cụt đã cho.

Trên một hòn đảo (kí hiệu là điểm A) có một người bị tai nạn nặng không thể di chuyển người bệnh và cần cấp cứu gấp. Do điều kiện trên đảo thiếu thuốc, máu và thiết bị y tế để cấp cứu cho bệnh nhân nên bác sĩ đã cử tàu ca nô đi về đất liền ở vị trí M. Cùng lúc tàu khởi hành, bệnh viện ở vị trí C đã cử xe cứu thương đưa thuốc, máu và vật tư y tế đến vị trí M. Biết rằng $BC=60\text{ km},AB=20\text{ km}$, tàu đi với vận tốc $60\text{ km/h}$ và xe cứu thương đi với vận tốc $80\text{ km/h}$. Tính thời gian sớm nhất để người bệnh có thể được cấp cứu. (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)

Một doanh nghiệp kinh doanh sản xuất một loại sản phẩm. Hàm tổng chi phí khi doanh nghiệp này sản xuất và bán $x$ sản phẩm là $y=f(x)=\frac{a{x}^2+bx+c}{x+e}$ (đơn vị: USD), $x\in \mathbb{N}$. Biết rằng đồ thị hàm số $f(x)$ có tâm đối xứng là $I\left(-100;\frac{2000}{3}\right)$ và có đường tiệm cận xiên đi qua điểm $B(300;2000)$.
Theo khảo sát, tổng doanh thu của doanh nghiệp này được mô tả bởi hàm số $R(x)=0,1x^2+20x$ (đơn vị USD) và lợi nhuận thu về khi bán $200$ sản phẩm bằng $5250$ USD. Hỏi doanh nghiệp sản xuất bao nhiêu sản phẩm thì tổng chi phí là thấp nhất?

Câu 3. Một doanh nghiệp dự định sản xuất không quá 400 sản phẩm. Nếu doanh nghiệp sản xuất $x$ sản phẩm ($1\le x\le 400$) thì doanh thu nhận được khi bán hết số sản phẩm là $F(x)=x^3-1999x^2+1001000x+250000$ (đồng). Trong đó, chi phí vận hành máy móc cho mỗi sản phẩm là $\frac{100000x}{x^3+1}$ (đồng). Tổng chi phí mua nguyên vật liệu là $H(x)=2x^3+100000x-50000$ (đồng), nhưng do doanh nghiệp mua với số lượng lớn nên được ưu đãi giảm 1% cho 200 sản phẩm đầu tiên và giảm 2% cho các sản phẩm tiếp theo. Doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

Câu 5. Từ một tấm bìa lục giác đều cạnh bằng $20$, bạn Bình muốn làm một hình chóp lục giác đều bằng cách cắt bỏ phần tô đậm và dán các mép lại với nhau (các mối ghép nối có kích thước không đáng kể, tham khảo hình vẽ). Để thể tích khối chóp lục giác đều tạo thành lớn nhất thì phần diện tích bạn Bình cắt đi là bao nhiêu (không làm tròn kết quả các phép tính trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng đến hàng đơn vị)?

Một tấm tôn hình chữ nhật có kích thước $60\mathrm{cm}\times 40\mathrm{cm}$. Người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông cạnh $x\mathrm{cm}$ rồi gấp lên thành một hộp **không nắp**. Chi phí làm **đáy hộp** là $300\mathrm{đ}/c{\mathrm{m}}^2$ và **thành hộp** là $200\mathrm{đ}/c{\mathrm{m}}^2$. Hỏi phải chọn $x$ bao nhiêu để **thể tích hộp lớn nhất mà chi phí $\le 200000\mathrm{đ}$**? (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

Một doanh nghiệp sản xuất và phân phối độc quyền một loại sản phẩm. Trung bình mỗi ngày bán được $50$ sản phẩm với giá bán $950$ nghìn đồng/sản phẩm. Qua nghiên cứu thị trường, người ta thấy rằng nếu giảm giá bán $1$ nghìn đồng/sản phẩm thì bán được thêm $1$ sản phẩm mỗi ngày. Giả sử khi sản xuất và bán hết $x$ sản phẩm đó ($0<x\le 280$), tổng số tiền doanh nghiệp thu được (đơn vị: chục nghìn đồng) là $R(x)$ và tổng chi phí (đơn vị: chục nghìn đồng) là $C(x)=0,1x^2+44x+50$. Mức thuế thu phụ trên một đơn vị sản phẩm bán được là $t$ (chục nghìn đồng) ($0<t<50$). Với mức thuế thu phụ trên một đơn vị sản phẩm sao cho nhà nước nhận được tổng tiền thuế thu phụ lớn nhất và doanh nghiệp cũng được lợi nhuận lớn nhất theo mức thuế thu phụ đó, tính tổng tiền thuế thu phụ lớn nhất đó (đơn vị: triệu đồng).

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ với độ dài trên mỗi trục là $10$ mét. Giả sử có một mảnh vườn được giới hạn bởi trục hoành và một phần đồ thị $(\mathcal{H})$ của hàm số $f(x)=-x^3+b{x}^2+cx+d$, ($O$ là điểm cực tiểu, $(\mathcal{H})$ cắt $Ox$ tại điểm $M(3;0)$ (tham khảo hình vẽ). Bạn An muốn trồng hoa trên mảnh đất có dạng hình tam giác $MAB$ với $A,B$ là giao điểm của đường thẳng $d:y=kx,(k>0)$ và đồ thị $(\mathcal{H})$. Khi diện tích phần trồng hoa này là lớn nhất phần đất còn lại bằng bao nhiêu mét vuông (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Một doanh nghiệp sản xuất độc quyền một loại sản phẩm. Giả sử khi sản xuất và bán hết $x$ sản phẩm ($0<x<2000$), tổng số tiền doanh nghiệp thu được là $F(x)=2000x-x^2$ (chục nghìn đồng) và tổng chi phí doanh nghiệp bỏ ra là $G(x)=x^2+1440x+50$ (chục nghìn đồng). Công ty cũng phải chịu mức thuế phụ thu cho $1$ đơn vị sản phẩm bán được là $t$ (chục nghìn đồng) ($0<t<300$). Mức thuế phụ thu $t$ (trên một đơn vị sản phẩm) là bao nhiêu sao cho nhà nước thu được số tiền thuế phụ thu lớn nhất và doanh nghiệp cũng thu được lợi nhuận nhiều nhất theo đúng mức thuế phụ thu đó (kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Câu 2: Một cơ sở sản xuất sữa hạt chất lượng cao có thể sản xuất được tối đa $300$ lít mỗi ngày. Chi phí sản xuất $x$ lít sữa mỗi ngày bao gồm: chi phí nhân công là một triệu đồng/ngày; chi phí nguyên vật liệu, đóng chai, bao bì là $35$ nghìn đồng cho một lít sữa được sản xuất; chi phí bảo dưỡng máy móc là $C_b(x)=0,00001x^2$ (triệu đồng). Ngoài ra, nếu $x$ lít sữa sản xuất mỗi ngày vượt $200$ lít thì ngoài các chi phí trên còn phát sinh thêm chi phí do vận hành quá tải là $C_v(x)=0,00003(x-200{)}^3$ (triệu đồng). Giá bán mỗi lít sữa là $60$ nghìn đồng. Biết cơ sở bán hết lượng sữa sản xuất trong ngày. Hỏi mỗi ngày cơ sở có lợi nhuận (đơn vị: triệu đồng) đạt được nhiều nhất là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

Câu 6. Trong một cuộc thi làm đồ dùng học tập do trường phát động, bạn Nam làm một hình chóp tứ giác đều $S.EFGH$ bằng cách sử dụng một tấm bìa hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $5\text{ cm}$ và cắt tấm bìa theo các tam giác cân $AEB,BFC,CGD,DHA$. Sau đó bạn gấp các tam giác $AEH,BEF,CFG,DGH$ sao cho bốn đỉnh $A,B,C,D$ trùng nhau tạo thành đỉnh $S$ của khối chóp tứ giác đều như hình bên dưới.



Thể tích lớn nhất của khối chóp tứ giác đều tạo thành bằng bao nhiêu ${\text{cm}}^3$? (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Câu 2. Một doanh nghiệp kinh doanh một loại sản phẩm T được sản xuất trong nước. Qua nghiên cứu thấy rằng nếu chi phí sản xuất mỗi sản phẩm T là $x\text{ (USD)}$ thì số sản phẩm T các nhà máy sản xuất sẽ là $R(x)=x-200$ và số sản phẩm T mà doanh nghiệp bán được trên thị trường trong nước sẽ là $Q(x)=4200-x$. Số sản phẩm còn dư doanh nghiệp xuất khẩu ra thị trường quốc tế với giá bán mỗi sản phẩm ổn định trên thị trường quốc tế là $x_0=3200\text{ USD}$. Nhà nước đánh thuế trên mỗi sản phẩm xuất khẩu là $a\text{ (USD)}$ và luôn đảm bảo tỉ lệ giữa lãi xuất khẩu của doanh nghiệp và thuế thu được của nhà nước tương ứng là $4:1$. Hãy xác định giá trị của $x$ biết lãi mà doanh nghiệp thu được do xuất khẩu là nhiều nhất.

Câu 6. Một doanh nghiệp kinh doanh một loại sản phẩm T được sản xuất trong nước. Qua nghiên cứu thấy rằng nếu chi phí sản xuất mỗi sản phẩm T là $x\text{ (USD)}$ thì số sản phẩm T các nhà máy sản xuất sẽ là $R(x)=x-200$ và số sản phẩm T mà doanh nghiệp bán được trên thị trường trong nước sẽ là $Q(x)=4200-x$. Số sản phẩm còn dư doanh nghiệp xuất khẩu ra thị trường quốc tế với giá bán mỗi sản phẩm ổn định trên thị trường quốc tế là $x_0=3200\text{ USD}$. Nhà nước đánh thuế trên mỗi sản phẩm xuất khẩu là $a\text{ (USD)}$ và luôn đảm bảo tỉ lệ giữa lãi xuất khẩu của doanh nghiệp và thuế thu được của nhà nước tương ứng là $4:1$. Hãy xác định giá trị của $a$ biết lãi mà doanh nghiệp thu được do xuất khẩu là nhiều nhất.