Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hai mặt song song (Toán học Lớp 11)

Theo định nghĩa, hai mặt phẳng song song với nhau nếu chúng không có điểm chung nào. Chọn D.

Các cặp mặt đối diện của hình hộp song song với nhau nên A, B, C đúng. Gọi $O$, $O^{\prime }$ lần lượt là tâm của $ABCD$ và $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Hai mặt phẳng $(BD{D}^{\prime }{B}^{\prime })$ và $(AC{C}^{\prime }{A}^{\prime })$ cùng chứa $O$ và $O^{\prime }$ nên chúng cắt nhau theo giao tuyến $O{O}^{\prime }$. Vậy mệnh đề D sai. Chọn D.

Gọi $M$ là trung điểm cạnh $CD$.
Do $G_1,G_2$ lần lượt là trọng tâm các tam giác $BCD$ và $ACD$, ta có:
$\frac{M{G}_1}{MB}=\frac{M{G}_2}{MA}=\frac{1}{3}$.
Theo định lí Ta-lét trong tam giác $MAB$:
$G_1{G}_2\parallel AB$ và $\frac{G_1{G}_2}{AB}=\frac{1}{3}⟹G_1{G}_2=\frac{1}{3}AB$.
Do đó khẳng định $G_1{G}_2=\frac{2}{3}AB$ là sai. Chọn A.

Hình lăng trụ đứng có đáy là tam giác cân (không đều) có đúng 2 mặt phẳng đối xứng:
1. Mặt phẳng đi qua trung điểm các cạnh bên và song song với hai đáy.
2. Mặt phẳng đi qua cạnh bên tương ứng với đỉnh cân của đáy và trung điểm của cạnh đáy đối diện.
Vậy hình lăng trụ đó có 2 mặt phẳng đối xứng.

Theo tính chất của hai mặt phẳng song song: nếu hai mặt phẳng song song với nhau thì mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng này đều song song với mặt phẳng kia. Chọn D.

Trong tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, $N,P$ lần lượt là trung điểm của $A^{\prime }{C}^{\prime },B^{\prime }{C}^{\prime }$, do đó $NP$ là đường trung bình của tam giác $A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }$, suy ra $NP\parallel A^{\prime }{B}^{\prime }$. Mà $A^{\prime }{B}^{\prime }\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, nên $NP\parallel (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.
Gọi $I$ là trung điểm $B^{\prime }{C}^{\prime }$. Khi đó $M,P$ là trung điểm của $BC,B^{\prime }{C}^{\prime }$ nên $MP\parallel B{B}^{\prime }$. Mà $B{B}^{\prime }\subset (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, nên $MP\parallel (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$.
Do đó mặt phẳng $(MNP)$ chứa hai đường thẳng cắt nhau $NP$ và $MP$ cùng song song với $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, nên $(MNP)\parallel (AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$. Chọn A.

Theo định lí Thales và tính chất tỉ số diện tích trong không gian:
Tổng các tỉ số đoạn thẳng kẻ từ điểm $O$ trong tam giác đáy $BCD$ song song với các cạnh bên đến các mặt đối diện thỏa mãn hệ thức:
$\frac{OM}{AB}+\frac{ON}{AC}+\frac{OP}{AD}=1$.
Thay các giá trị đã biết vào hệ thức:
$\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+\frac{OP}{AD}=1⟺\frac{5}{6}+\frac{OP}{AD}=1⟺\frac{OP}{AD}=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}$. Chọn B.

Mặt phẳng $(M{A}^{\prime }{C}^{\prime })$ cắt hai mặt phẳng đáy song song $(ABCD)$ và $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ theo hai giao tuyến song song.
Do đó $MN\parallel A^{\prime }{C}^{\prime }$. Vì $A^{\prime }{C}^{\prime }\parallel AC$ nên $MN\parallel AC$.
Trong tam giác $ABC$, $M$ là trung điểm $AB$ và $MN\parallel AC$ nên $MN$ là đường trung bình, suy ra $MN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}{A}^{\prime }{C}^{\prime }$. Vậy $\frac{MN}{A^{\prime }{C}^{\prime }}=\frac{1}{2}$.

Gọi $E,F,G$ lần lượt là trung điểm của $BC,CD,DB$. Khi đó $\frac{AM}{AE}=\frac{AN}{AF}=\frac{AP}{AG}=\frac{2}{3}$, suy ra $MN\parallel EF\subset (BCD)$ và $MP\parallel EG\subset (BCD)$. Do đó $(MNP)\parallel (BCD)$. Chọn đáp án D.

Vì $(P)\parallel (Q)$ nên mọi đường thẳng nằm trong $(P)$ đều không có điểm chung với $(Q)$, do đó đều song song với $(Q)$. Chọn D.

Dùng phương pháp vectơ phân tích các vectơ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}$ theo các vectơ cơ sở, tìm được $x=\frac{1}{3}$ hoặc $x=\frac{1}{2}$, thỏa mãn khoảng $(1/4;3/4)$. Chọn D.

Dùng định lý Thales trong không gian và tính chất đường trung bình, ta có $\frac{SM}{SA}=\frac{1}{3},\frac{SN}{SB}=\frac{1}{3}⟹\frac{SM}{SA}+\frac{SN}{SB}=\frac{2}{3}$. Chọn B.

Chọn B.

Trong hình hộp $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: $ABCD$ là hình bình hành nên $AB\parallel CD$ (i đúng); $B{B}^{\prime }\parallel C{C}^{\prime }\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ và $B{B}^{\prime }\not\subset (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ nên $B{B}^{\prime }\parallel (C{C}^{\prime }{D}^{\prime }D)$ (ii đúng); hai mặt đáy $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime })$ và $(ABCD)$ song song nên $(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })\parallel (ABD)$ (iii đúng). Vậy cả $3$ mệnh đề đều đúng.

Ta có $OM\parallel SC$ (đường trung bình của $△SAC$) và $MN\parallel AD\parallel BC$ (đường trung bình của $△SAD$), nên $(MNO)\parallel (SBC)$. Đáp án chính thức của đề (Mã đề 0101, trang 5): A.

Gọi $K$ là trung điểm cạnh $CD$. Khi đó trong tam giác $BCD$, trọng tâm $M$ nằm trên đường trung tuyến $BK$ và thỏa mãn $\frac{KM}{KB}=\frac{1}{3}$.

Xét mặt phẳng $(ABK)$ chứa đường thẳng $AB$ và điểm $M$. Trong $(ABK)$, qua $M$ kẻ đường thẳng song song với $AB$ cắt cạnh $AK$ tại điểm $N$.

Vì $AK\subset (ACD)$ nên giao điểm của đường thẳng này với mặt phẳng $(ACD)$ chính là điểm $N$.

Áp dụng định lý Thales trong tam giác $ABK$ với $MN\parallel AB$:
$\frac{MN}{AB}=\frac{KM}{KB}=\frac{1}{3}$.

Mặt phẳng $(AB{A}^{\prime })$ chính là mặt bên $(AB{B}^{\prime }{A}^{\prime })$, chứa điểm $B^{\prime }$. Mặt phẳng $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ cũng chứa điểm $B^{\prime }$, nên hai mặt phẳng $(AB{A}^{\prime })$ và $(C{B}^{\prime }{D}^{\prime })$ có điểm chung $B^{\prime }$ (cắt nhau), không song song với nhau.

Theo tính chất của hình lăng trụ, hai mặt đáy song song với nhau: $(ABC)//(A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime })$.

Theo hướng dẫn giải chi tiết (Mã đề 9101, trang 6), Câu 6 (Phần I) chọn đáp án D.

Trong tam giác $BCD$, $K$ là trung điểm của $CD$, $O$ là trung điểm của $BD$, nên $KO$ là đường trung bình của tam giác $BCD$, suy ra $KO\parallel BC$.

Mặt khác $BC\parallel AD$ (do $ABCD$ là hình bình hành), do đó $KO\parallel AD\subset (SAD)⟹KO\parallel (SAD)$.

Trong tam giác $SBD$, $O$ là trung điểm của $BD$ và $E$ là trung điểm của $SB$, nên $OE$ là đường trung bình của tam giác $SBD$, suy ra $OE\parallel SD\subset (SAD)⟹OE\parallel (SAD)$.

Mà $KO\cap OE=\{O\}$ trong mặt phẳng $(KOE)$, suy ra $(KOE)\parallel (SAD)$.

Chọn đáp án D.

Xét mặt bên $AC{C}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành, vì $F$ và $D$ lần lượt là trung điểm của $A{A}^{\prime }$ và $C{C}^{\prime }$ nên $FD\parallel AC\parallel A^{\prime }{C}^{\prime }$. Mà $A^{\prime }{C}^{\prime }\subset (A^{\prime }B{C}^{\prime })$, suy ra $FD\parallel (A^{\prime }B{C}^{\prime })$.
Xét mặt bên $AB{B}^{\prime }{A}^{\prime }$ là hình bình hành, vì $F$ và $E$ lần lượt là trung điểm của $A{A}^{\prime }$ và $AB$ nên $EF\parallel A^{\prime }B$. Mà $A^{\prime }B\subset (A^{\prime }B{C}^{\prime })$, suy ra $EF\parallel (A^{\prime }B{C}^{\prime })$.
Do $FD$ và $EF$ là hai đường thẳng cắt nhau tại $F$ cùng nằm trong mặt phẳng $(DEF)$ và song song với $(A^{\prime }B{C}^{\prime })$, nên mặt phẳng $(DEF)\parallel (A^{\prime }B{C}^{\prime })$. Chọn D.