Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Parabol có đỉnh $I(6;-12)$ nên có dạng $y=a(x-6{)}^2-12$. Vì đi qua $A(8;0)$: $0=a\cdot 4-12\Rightarrow a=3$. Vậy $y=3(x-6{)}^2-12=3x^2-36x+108-12=3x^2-36x+96$. Kiểm tra: $y(6)=108-216+96=-12$ đúng đỉnh; $y(8)=192-288+96=0$ đúng. Chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=f(x)=x^2-3x+2$ với $a=1,b=-3,c=2$.
a) Hệ số $a=1\ne 0$ nên $f(x)$ là hàm số bậc hai → Đúng.
b) $a=1>0$ nên parabol có bề lõm quay lên → Đúng.
c) Thay $x=1$: $f(1)=1-3+2=0\ne 2$, nên điểm $A(1;2)$ không thuộc đồ thị → Sai.
d) Hàm số đồng biến trên khoảng $(\frac{3}{2};+\infty )$; vì $(4;6)\subset (\frac{3}{2};+\infty )$ nên hàm số đồng biến trên $(4;6)$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a=1\ne 0$ nên $f(x)=x^2-3x+2$ là hàm số bậc hai.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $a=1>0$ nên parabol có bề lõm quay lên.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(1)=1-3+2=0\ne 2$ nên $A(1;2)$ không thuộc đồ thị hàm số.
d) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số đồng biến trên $(\frac{3}{2};+\infty )$, mà $(4;6)\subset (\frac{3}{2};+\infty )$ nên hàm số đồng biến trên $(4;6)$.

(AI giải đề cho tôi)
Tổng khối lượng cá thu hoạch trên một đơn vị diện tích là $F(n)=n\cdot P(n)=n(800-20n)=800n-20n^2$, với $n$ nguyên, $0<n<40$ (vì $P(n)\ge 0$). Đây là hàm bậc hai với $a=-20<0$, đạt giá trị lớn nhất tại $n=-\frac{800}{2(-20)}=20$. Khi đó $F(20)=20\cdot 400=8000$ (g) là lớn nhất. Vậy cần thả 20 con cá trên một đơn vị diện tích mặt hồ.

(AI giải đề cho tôi)
Doanh thu: $T(x)=x(1936-22x)=-22x^2+1936x$, với $x$ nguyên dương và $1936-22x>0$ (tức $x\le 87$). Đây là parabol bậc hai với đỉnh tại $x=\frac{1936}{2\cdot 22}=\frac{1936}{44}=44$. Khi đó $T(44)=44\cdot (1936-968)=44\cdot 968=42592$ (nghìn đồng) là lớn nhất. Vậy doanh nghiệp nên mua 44 gói.

Tọa độ đỉnh $x_I=-\frac{b}{2a}=6⟹b=-12a$. Parabol qua $I(6;-12)⟹36a+6b+c=-12⟺-36a+c=-12$. Qua $A(8;0)⟹64a+8b+c=0⟺-32a+c=0$. Trừ hai vế: $4a=12⟹a=3,b=-36,c=96$. Tích $abc=3\times (-36)\times 96=-10368$.

Đồ thị có bề lõm hướng lên nên $a>0$. Cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $c>0$. Đỉnh của parabol nằm ở góc phần tư thứ nhất có hoành độ $x_I=-\frac{b}{2a}>0$, do $a>0$ nên $b<0$. Vậy $a>0,b<0,c>0$.

Đỉnh $I(2;5)$ nên: $-\frac{b}{2a}=2⟹b=-4a$. Đồ thị qua $I(2;5)⟹4a+2b+1=5⟺4a+2(-4a)+1=5⟺-4a=4⟺a=-1⟹b=4$. Do đó $a+b=-1+4=3$.

Hàm số đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh $x=1$, $f(1)=1^2-2(1)-1=-2$. Khi $x\to +\infty$ thì $f(x)\to +\infty$. Do đó trên $[0;+\infty )$, tập giá trị của hàm số là $[-2;+\infty )$.

Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi ${\Delta }^{\prime }=(m+1{)}^2-(m^2-3)>0⟺2m+4>0⟺m>-2$.

Đồ thị là một parabol có bề lõm hướng lên ($a>0$), cắt trục tung tại điểm $(0;3)$ và có đỉnh tại $(2;-1)$. Hàm số $y=x^2-4x+3$ có $a=1>0$, tọa độ đỉnh $x_I=-\frac{b}{2a}=2,y_I=2^2-4(2)+3=-1$ và đi qua điểm $(0;3)$ nên thỏa mãn.

Theo bảng đáp án chính thức của nhà trường, chọn đáp án B: $a=1,b=-1,c=-1$.

Phương trình có 2 nghiệm âm khi và chỉ khi:
$\{\begin{array}{l}{\Delta }^{\prime }>0\\ S<0\\ P>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}4m^2-m^2>0\\ -4m<0\\ m^2>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}3m^2>0\\ m>0\end{array}\iff m>0$.
Vì $m\in [-5;5]$ và $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1;2;3;4;5\}$, có 5 giá trị.

Quan sát đồ thị parabol:
- Đỉnh của parabol là điểm $I(1;4)$ (A đúng).
- Bề lõm của parabol hướng xuống dưới ($a<0$) (D đúng).
- Trục đối xứng là $x=1$, hàm số đồng biến trên $(-\infty ;1)$ và nghịch biến trên $(1;+\infty )$ (B đúng).
- Parabol cắt trục hoành $Ox$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ $x=-1$ và $x=3$. Do đó khẳng định "Đồ thị cắt trục $Ox$ tại 1 điểm" là sai (C sai). Chọn C.

Hoành độ đỉnh của parabol $(P):y=x^2+bx+c$ là $x_I=-\frac{b}{2a}=-\frac{b}{2}$.
Theo giả thiết $x_I=1⟹-\frac{b}{2}=1⟺b=-2$.
Điểm $I(1;3)\in (P)$, thay tọa độ điểm $I$ vào phương trình $(P)$:
$3=1^2+b(1)+c=1-2+c=c-1⟺c=4$.
Khi đó $S=2b+c=2(-2)+4=0$. Chọn B.

Phương trình $3z^2-z+2=0$ có $\Delta =1-24=-23<0$. Hai nghiệm phức liên hợp có môđun bằng nhau:
$|z_1|=|z_2|=\sqrt{\frac{c}{a}}=\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$
Vậy $T=|z_1|+|z_2|=2\cdot \frac{\sqrt{6}}{3}=\frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Đồ thị là parabol có đỉnh $I(-2;-3)$ và đi qua điểm $(0;1)$, nên có phương trình $y=(x+2{)}^2-3=x^2+4x+1$. Chọn đáp án D.

Hàm số $y=3x^2-2x-1$ có hệ số $a=3>0$ và tọa độ đỉnh $I\left(\frac{1}{3};-\frac{4}{3}\right)$, nên nghịch biến trên $\left(-\infty ;\frac{1}{3}\right)$ và đồng biến trên $\left(\frac{1}{3};+\infty \right)$. Chọn đáp án D.

Parabol có bề lõm hướng lên trên nên $a>0$, và tiếp xúc với trục hoành $Ox$ nên $\Delta =0$. Chọn đáp án C.

Phương trình có hai nghiệm đối nhau $⟺\{\begin{array}{l}S=2(m-1)=0\\ P=m-3<0\end{array}⟺m=1$. Chọn đáp án B.

Vì $(P)$ có đỉnh $I(2;-2)$ nên ta có hệ phương trình $\{\begin{array}{l}-\frac{b}{2a}=2\\ 4a+2b+2=-2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}b=-4a\\ 4a-8a=-4\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=1\\ b=-4\end{array}$. Suy ra $a+2b=1+2(-4)=-7$. Chọn đáp án B.