Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm bậc hai (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: đỉnh parabol là $(1;-3)$ và parabol cắt trục $Oy$ tại điểm $(0;-1)$, bề lõm hướng lên nên $a>0$. Viết dạng chính tắc: $y=a(x-1{)}^2-3$. Thay $(0;-1)$: $a(0-1{)}^2-3=-1\Rightarrow a=2$. Vậy $y=2(x-1{)}^2-3=2x^2-4x-1$. Kiểm tra: $y=2x^2-4x-1$ có đỉnh $x=\frac{4}{4}=1$, $y(1)=-3$, $y(0)=-1$ — khớp đồ thị. Đáp án A, trùng với đáp án nguồn.

a) Tập xác định của hàm số là $D=(-\infty ;1)\cup (6;+\infty )\setminus \{2026\}$.

b) Hoành độ giao điểm của đường thẳng $d$ và $(P)$ là nghiệm của phương trình:
$x^2-3x+4=2x-m$
$\iff x^2-5x+m+4=0$ (1)
$\Delta =25-\mathrm{4.1.}(m+4)=9-4m$
Đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt $\iff \Delta >0\iff 9-4m>0\iff m<\frac{9}{4}$ (*).

Với điều kiện (*), gọi hai giao điểm của $d$ và $(P)$ là $A(x_1;2x_1-m),B(x_2;2x_2-m)$, trong đó $x_1,x_2$ là các nghiệm của phương trình (1).
Theo định lý Viet ta có: $x_1+x_2=5,x_1{x}_2=m+4$.
(Học sinh có thể không có bước này, các bước sau đúng vẫn được điểm tối đa)
Ta có: $O{A}^2+O{B}^2=57\iff x_1^2+(2x_1-m{)}^2+x_2^2+(2x_2-m{)}^2=57$
$\iff 5\left(x_1^2+x_2^2\right)-4m\left(x_1+x_2\right)+2m^2=57\iff 5{\left(x_1+x_2\right)}^2-10x_1{x}_2-4m\left(x_1+x_2\right)+2m^2=57$
$\iff 5.5^2-10(m+4)-4m.5+2m^2=57$
$\iff 2m^2-30m+28=0$
$\iff \left[\begin{array}{c}m=1\\ m=14\end{array}\right]$.
Đối chiếu với điều kiện (*) ta thấy $m=14$ bị loại, $m=1$ thỏa mãn yêu cầu đề bài.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $(P):y=2x^2-4x+1$ có $a=2,b=-4,c=1$. Hoành độ đỉnh $x_I=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{4}=1$. Tung độ đỉnh $y_I=2(1{)}^2-4(1)+1=2-4+1=-1$. Vậy tung độ đỉnh $I$ là $-1$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hoành độ đỉnh $x_I=-\frac{b}{2a}=-\frac{-4}{2\cdot 2}=1$. Tung độ đỉnh $y_I=2(1{)}^2-4(1)+3=1$. Vậy đỉnh $I(1;1)$, tung độ đỉnh bằng $1$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 2: B).

Cách 1 (1 điểm). Do $x^2-3x+a$, $x^2+x+b$ có tổng cộng 4 nghiệm, còn $x^3-x^2+cx+4$ có tối đa 3 nghiệm thực nên $x^2-3x+a$ và $x^2+x+b$ phải có nghiệm chung. Gọi $t$ là nghiệm chung, như vậy: $t^2-3t+a=0;t^2+t+b=0$.

Suy ra $4t+b-a=0$, do đó $t=\frac{a-b}{4}$.

(0.5 điểm) Ngoài ra, rõ ràng ta phải có
$$(x^3-x^2+cx+4)(x-t)=(x^2-3x+a)(x^2+x+b).$$
So sánh hệ số $x^3$ ở hai vế, ta được $t=1$, do đó $a=b+4$.

(1 điểm) Khi đó: $(x^3-x^2+cx+4)(x-1)=(x^2-3x+a)(x^2+x+b)$.

So sánh hệ số $x^2$, $x$ và hệ số hằng ở hai vế, ta được:
$$\{\begin{array}{l}c+1=2b+1\\ -c+4=-2b+4\\ -4=b(b+4).\end{array}$$

Từ đây, dễ dàng suy ra được $c=-4;b=-2$ và do đó $a=2$.

(0.5 điểm) Thử lại, ta dễ dàng kiểm tra được với $a=2$, $b=-2$ và $c=-4$ thì các đa thức $x^2-3x+2$, $x^2+x-2$, $x^3-x^2-4x+4$ có các nghiệm $1$, $2$ và $1$, $-2$ và $-2$, $1$, $2$.

Cách 2 (0.5 điểm). Do $x^2-3x+a$, $x^2+x+b$ có tổng cộng 4 nghiệm, còn $x^3-x^2+cx+4$ có tối đa 3 nghiệm thực nên $x^2-3x+a$ và $x^2+x+b$ phải có nghiệm chung. Gọi $t$ là nghiệm chung.

(0.5 điểm) Theo định lý Viète, tổng hai nghiệm của $x^2-3x+a$ bằng 3 và tổng hai nghiệm của $x^2+x+b$ bằng $-1$.

Khi đó $x^2-3x+a$ có hai nghiệm là $t$ và $3-t$, $x^2+x+b$ có hai nghiệm là $t$ và $-1-t$.

(0.5 điểm) Do đó $x^3-x^2+cx+4$ có ba nghiệm là $t$, $3-t$ và $-1-t$. Theo định lý Viète, $t+3-t-1-t=1$, suy ra $t=1$.

(1 điểm) Thay nghiệm $x=1$ vào 3 đa thức ban đầu, ta được
$$1^2-3\cdot 1+a=0\Rightarrow a=2;$$
$$1^2+1+b=0\Rightarrow b=-2;$$
$$1^3-1^2+c\cdot 1+4=0\Rightarrow c=-4.$$

Thử lại, ta dễ dàng kiểm tra được với $a=2$, $b=-2$ và $c=-4$ thì các đa thức $x^2-3x+2$, $x^2+x-2$, $x^3-x^2-4x+4$ có các nghiệm $1$, $2$ và $1$, $-2$ và $-2$, $1$, $2$.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y=x^2-2x+3$ có $a=1,b=-2,c=3$. Hoành độ đỉnh $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2}=1$, tung độ đỉnh $y=1^2-2\cdot 1+3=2$. Vậy đỉnh là $I(1;2)$, trùng với đáp án A và đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 10: A).

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol có bề lõm hướng xuống (hệ số a < 0), đỉnh tại điểm (2; 1) và cắt trục hoành tại x = 1 và x = 3. Trong các phương án, chỉ có B và C có a < 0. Với B: y = -x² + 4x - 3 = -(x² - 4x + 3) = -(x - 1)(x - 3), có tọa độ đỉnh x = (1+3)/2 = 2, y(2) = -4 + 8 - 3 = 1, tức đỉnh (2; 1), và y(0) = -3 khớp với đồ thị cắt trục tung tại -3. Với C: y = -x² + 2x - 3 có đỉnh (1; -2) và không cắt trục hoành (Δ = 4 - 12 < 0), không khớp. Vậy hàm số cần tìm là y = -x² + 4x - 3, khớp với đáp án B của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là parabol có nhánh hướng xuống, đỉnh $(2;1)$, cắt trục hoành tại $x=1$ và $x=3$. Hàm số dạng $y=-(x-2{)}^2+1=-x^2+4x-3$. Kiểm tra: $y(1)=0$, $y(3)=0$, $y(2)=1$ khớp hình vẽ. Vậy đáp án D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $y=x^2-2x+3$ có $x_I=-\frac{b}{2a}=\frac{2}{2}=1$, $y_I=1-2+3=2$. Vậy đỉnh là $I(1;2)$, khớp đáp án D.

Ta có: $\{\begin{array}{l}a+b+2=5\\ -\frac{b}{2a}=-\frac{1}{4}\end{array}\iff \{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\end{array}$. Suy ra $a^2+b^2=5$.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích: mỗi lượt nhảy là một parabol có hai nghiệm liên tiếp trên trục hoành, khoảng cách (theo phương ngang) từ điểm nhảy đến điểm tiếp đất bằng $m$, đỉnh parabol có độ cao không đổi $h$ (Mario được chọn $h$). Nhảy thứ nhất xuất phát từ $O(0;0)$ nên lượt nhảy thứ $k$ trải trên đoạn $[(k-1)m;km]$ trên trục hoành.

Để Mario ăn quả tại $(30;4)$ ở lượt nhảy thứ 5, điểm $x=30$ phải nằm trong khoảng nhảy thứ 5, tức $(4m;5m)$ (lấy nghiệm trong vì tại hai đầu mút $y=0\ne 4$):
$$4m<30<5m⟺6<m<7,5.$$
Vì $m$ nguyên dương nên $m=7$ (kiểm tra: $m=6$ cho $30=5m$ là điểm tiếp đất, $y=0$, loại).

Với $m=7$: lượt nhảy thứ 5 đi từ $x=28$ đến $x=35$, parabol có dạng $y=a(x-28)(x-35)$. Tại $x=30$, $y=4$:
$$a(30-28)(30-35)=-10a=4⟺a=-\frac{2}{5}.$$
Đỉnh parabol tại $x=31,5$ có độ cao $y=-\frac{2}{5}(31,5-28)(31,5-35)=\frac{2}{5}\cdot 12,25=4,9$, đúng là hằng số với mọi lượt nhảy.

Lượt nhảy đầu tiên đi từ $x=0$ đến $x=7$, cùng hệ số $a=-\frac{2}{5}$ (cùng độ cao đỉnh):
$$y=-\frac{2}{5}x(x-7)=-\frac{2}{5}{x}^2+\frac{14}{5}x,0\le x\le 7.$$
Kiểm tra: $y(0)=y(7)=0$; đỉnh tại $x=3,5$, $y=4,9$ trùng độ cao đỉnh của lượt nhảy thứ 5. Vậy $m=7$ và quỹ đạo lượt nhảy đầu tiên là $y=-\frac{2}{5}{x}^2+\frac{14}{5}x$ với $0\le x\le 7$.

(AI giải đề cho tôi)
Phương trình $x^2-(m+1)x+3m-5=0$ có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta >0$: $\Delta =(m+1{)}^2-4(3m-5)=m^2-10m+21=(m-3)(m-7)>0$, suy ra $m<3$ hoặc $m>7$. Với $m$ nguyên thuộc $[-10;10]$: các giá trị $m\le 2$ là $-10,-9,\dots ,2$ (13 giá trị) và $m\ge 8$ là $8,9,10$ (3 giá trị). Tổng cộng $13+3=16$ giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị ở trang 2, đỉnh của parabol là điểm $I(2;-2)$ (được đánh dấu trên hình, với đường chấm chỉ $x=2$ và $y=-2$). Trục đối xứng của đồ thị hàm số bậc hai $y=a{x}^2+bx+c$ là đường thẳng đi qua đỉnh và song song với trục tung, nên có phương trình $x=2$. Vậy đáp án là D, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1002, câu 11: D). Ghi chú: đề bài viết $a<0$ nhưng đồ thị có bề lõm hướng lên; điều này không ảnh hưởng đến việc xác định trục đối xứng từ đỉnh $I(2;-2)$ trên hình.

(AI giải đề cho tôi)
Đỉnh parabol có hoành độ $x=-\frac{b}{2a}=1\Rightarrow b=-2a$. Đỉnh thuộc đồ thị nên $y(1)=a+b+1=-4\Rightarrow a+b=-5$. Thay $b=-2a$: $a-2a=-5\Rightarrow a=5$, suy ra $b=-10$. Khi đó $P=2a-3b=2(5)-3(-10)=10+30=40$.

(AI giải đề cho tôi)
Đỉnh parabol $y=a{x}^2+bx+1$ là $(1;4)$ nên: hoành độ đỉnh $-\frac{b}{2a}=1\Rightarrow b=-2a$; đỉnh thuộc đồ thị: $a+b+1=4\Rightarrow a+b=3$. Thay $b=-2a$: $a-2a=3\Rightarrow a=-3$, suy ra $b=6$. Vậy $P=2a+3b=2(-3)+3(6)=-6+18=12$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ hình vẽ, đồ thị hàm số bậc hai $y=a{x}^2+bx+c$ $(a<0)$ cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ $x_1=1$ và $x_2=4$. Trục đối xứng của parabol là đường thẳng đứng đi qua đỉnh, có phương trình $x=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{1+4}{2}=\frac{5}{2}$, khớp với đường nét đứt trong hình. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 1001, câu 9: C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=x^2-4x+3$ có $a=1$, $b=-4$, $c=3$. Hoành độ đỉnh $x=-\frac{b}{2a}=\frac{4}{2}=2$. Tung độ đỉnh $y=2^2-4\cdot 2+3=4-8+3=-1$. Vậy đỉnh là $(2;-1)$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Parabol $(P):y=2x^2+4x+3$ có $a=2,b=4$. Hoành độ đỉnh $x_I=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 2}=-1$. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 6: B).

(AI giải đề cho tôi)
Chọn trục toạ độ: gốc O tại chân cổng bên trái, trục Ox dọc mặt đất. Hai chân cổng cách nhau 16 m nên chân phải có hoành độ 16. Parabol có dạng $y=a(x-8{)}^2+h$ với $h$ là chiều cao đỉnh (đỉnh ở giữa, $x=8$).

- Cổng chạm đất tại $x=0$: $a(0-8{)}^2+h=0\Rightarrow 64a+h=0$.
- Tại $x=1$ (cách chân cổng 1 m), độ cao 1,5 m: $a(1-8{)}^2+h=1,5\Rightarrow 49a+h=1,5$.

Trừ hai phương trình: $15a=-1,5\Rightarrow a=-0,1$. Suy ra $h=-64a=6,4$.

Vậy đỉnh cổng chào cao $6,4$ m, khớp với đáp án nguồn 6,4 (m).

(AI giải đề cho tôi)
Hoành độ đỉnh của parabol $y=2x^2+4x+3$ là $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot 2}=-1$. Vậy chọn A, trùng với đáp án nguồn (mã đề 101, câu 6: A).