Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Với mọi $x\in \mathbb{R}$, ta có $-1\le \cos x\le 1$, và mọi giá trị trong $[-1;1]$ đều đạt được (ví dụ $\cos 0=1$, $\cos \pi =-1$). Vậy tập giá trị của hàm số $y=\cos x$ là $[-1;1]$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-5\tan x$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Hệ số $-5$ không ảnh hưởng đến tập xác định.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tập giá trị của từng hàm số:
- $y=\sin 4x$: tập giá trị là $[-1;1]$.
- $y=\cos 2x$: tập giá trị là $[-1;1]$.
- $y=\cot x$: tuy nhận mọi giá trị thực trên tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, nhưng hàm số không xác định trên toàn $\mathbb{R}$ (không xác định tại $x=k\pi$), nên không thỏa mãn yêu cầu của đề theo cách hiểu thông thường trong chương trình phổ thông.
- $y=x^3$: hàm số liên tục, xác định trên toàn $\mathbb{R}$ và là song ánh từ $\mathbb{R}$ lên $\mathbb{R}$, nên tập giá trị là $\mathbb{R}$.
Vậy chọn đáp án D.
(Lưu ý: về mặt toán học thuần túy, $y=\cot x$ cũng có tập giá trị là $\mathbb{R}$ trên tập xác định của nó; đáp án D phù hợp với ý đồ của đề gốc — hàm có tập giá trị là $\mathbb{R}$ và xác định trên toàn $\mathbb{R}$.)

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số lẻ thỏa $f(-x)=-f(x)$. Xét từng hàm: $y=\cos 4x$ là hàm chẵn vì $\cos (-4x)=\cos 4x$. $y=\tan x$ là hàm lẻ vì $\tan (-x)=-\tan x$ (tập xác định $\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi \}$ đối xứng qua gốc tọa độ). $y=\cos 2x$ là hàm chẵn. $y=x^4$ là hàm chẵn vì $(-x{)}^4=x^4$. Vậy hàm lẻ là $y=\tan x$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số chẵn thỏa mãn $f(-x)=f(x)$ với mọi $x$ trong tập xác định. Xét từng hàm: $y=\sin x$ có $\sin (-x)=-\sin x$, là hàm lẻ (loại A). $y=\cos x$ có $\cos (-x)=\cos x$, là hàm chẵn (chọn B). $y=\tan x$ có $\tan (-x)=-\tan x$, là hàm lẻ (loại C). $y=\cot x$ có $\cot (-x)=-\cot x$, là hàm lẻ (loại D). Vậy hàm số chẵn là $y=\cos x$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng hàm số với $f(-x)$:
- A: $f(x)=-\sin x\Rightarrow f(-x)=-\sin (-x)=\sin x=-f(x)$, hàm lẻ.
- B: $f(x)=\cos x-\sin x\Rightarrow f(-x)=\cos x+\sin x\ne \pm f(x)$, không chẵn không lẻ.
- C: $f(x)=\cos x+{\sin }^{2}x\Rightarrow f(-x)=\cos (-x)+{\sin }^2(-x)=\cos x+{\sin }^{2}x=f(x)$, hàm chẵn.
- D: $f(x)=\cos x\sin x\Rightarrow f(-x)=-\cos x\sin x=-f(x)$, hàm lẻ.
Vậy hàm số chẵn là $y=\cos x+{\sin }^{2}x$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin 4x\le 1$ nên $-1-3\le \sin 4x-3\le 1-3$, tức $-4\le y\le -2$. Vậy tập giá trị là $[-4;-2]$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1+\sin x}{\cos x}$ xác định khi và chỉ khi mẫu số khác 0, tức là $\cos x\ne 0$. Ta có $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Do đó tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Các phương án còn lại loại vì: A loại khi $\cos x\ne 0$ chứ không phải $\sin x\ne 0$; C và D chỉ loại một phần các điểm làm mẫu bằng 0. Đáp án khớp với phương án B trong đề (trang 5).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos 2x$ là hàm số lượng giác cosin của $2x$. Với mọi $x\in \mathbb{R}$, biểu thức $\cos 2x$ đều có nghĩa (cosin xác định trên toàn bộ tập số thực), không có điều kiện ràng buộc nào về mẫu thức hay căn thức. Do đó tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$. Lưu ý: $[-1;1]$ và $[0;1]$ là tập giá trị (miền giá trị) của hàm số, không phải tập xác định. Kết quả này trùng khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, Câu 3: D).

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào $f(x)=\sin x+1$: với $x=0$ thì $f(0)=\sin 0+1=1$, nên đồ thị đi qua $(0;1)$. Kiểm tra các phương án khác: $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=2\ne 0$; $f(0)=1\ne 2$; $f(\pi )=1\ne 0$. Vậy đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1102, câu 7: A).

(AI giải đề cho tôi)
Thay $x=0$: $f(0)=\cos 0+1=2$, nên đồ thị đi qua $(0;2)$. Kiểm tra các điểm khác: $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=1\ne 0$, $f\left(-\frac{\pi }{2}\right)=1\ne 0$, $f(0)=2\ne 1$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1101, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ vì hàm sin nhận mọi giá trị thực làm đối số. Do đó tập xác định là $\mathbb{R}$. Lưu ý $[-1;1]$ là tập giá trị (biên độ) của hàm số, không phải tập xác định. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số chẵn thỏa mãn $f(-x)=f(x)$ với mọi $x$ trong tập xác định. Xét từng hàm: $y=\cos x$ có $\cos (-x)=\cos x$, nên là hàm chẵn. $y=\sin x$ có $\sin (-x)=-\sin x$ (hàm lẻ). $y=\tan x$ và $y=\cot x$ đều có $f(-x)=-f(x)$ (hàm lẻ). Vậy hàm số chẵn là $y=\cos x$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot x$ xác định với $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Với mọi giá trị thực $y_0$, phương trình $\cot x=y_0$ luôn có nghiệm (ví dụ $x=\arctan \frac{1}{y_0}$ khi $y_0\ne 0$, và $x=\frac{\pi }{2}$ khi $y_0=0$), nên tập giá trị của hàm số là $\mathbb{R}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tính chẵn lẻ: $y=\sin 2x$ là hàm lẻ vì $\sin (-2x)=-\sin 2x$. $y=\tan x$ là hàm lẻ vì $\tan (-x)=-\tan x$. $y=\cot 4x$ là hàm lẻ vì $\cot (-4x)=-\cot 4x$. Riêng $y=\cos 3x$ thỏa $\cos (-3x)=\cos 3x$, tức $f(-x)=f(x)$ với mọi $x$, nên là hàm số chẵn. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số chẵn thỏa mãn $f(-x)=f(x)$ với mọi $x$ trong tập xác định. Xét từng phương án:
- A: $y=\cos x$, ta có $\cos (-x)=\cos x$ với mọi $x$, nên hàm số chẵn.
- B: $y=\sin x$, ta có $\sin (-x)=-\sin x$, nên hàm số lẻ.
- C: $y=2025x$, ta có $2025(-x)=-2025x$, nên hàm số lẻ.
- D: $y=\tan x$, ta có $\tan (-x)=-\tan x$, nên hàm số lẻ.
Vậy hàm số chẵn là $y=\cos x$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (mã đề 102, câu 2: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số chẵn thỏa mãn $f(-x)=f(x)$ với mọi $x$ trong tập xác định. Xét từng hàm: $y=\tan x$ là hàm lẻ vì $\tan (-x)=-\tan x$; $y=\cos x$ là hàm chẵn vì $\cos (-x)=\cos x$; $y=2025x$ là hàm lẻ vì $2025(-x)=-2025x$; $y=\sin x$ là hàm lẻ vì $\sin (-x)=-\sin x$. Vậy hàm số chẵn là $y=\cos x$, khớp với đáp án nguồn (mã đề 101, Câu 11: B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ nghịch biến trên các khoảng $(2k\pi ;(2k+1)\pi )$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $k=0$ ta được khoảng $(0;\pi )$. Kiểm tra các phương án khác: trên $(\pi ;2\pi )$ hàm số đồng biến; trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ hàm số đồng biến; trên $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ hàm số vừa tăng vừa giảm (giảm trên $(\pi /2;\pi )$, tăng trên $(\pi ;3\pi /2)$). Vậy đáp án đúng là D, trùng với đáp án nguồn (mã đề 112, câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi |k\in \mathbb{Z}\right\}$. Điều này khớp với đáp án A và với bảng đáp án chính thức (Câu 2, Mã đề 112: A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức $x\ne k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$, trùng với đáp án A (khớp với bảng đáp án mã đề 111, Câu 12 = A).