Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin (10x)\le 1$ nên $-3\le -3\sin (10x)\le 3$, suy ra $-6\le y=-3\sin (10x)-3\le 0$. Tập giá trị là $[-6;0]$.

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra tính chẵn: A) $\cot (-x)+\cos (-x)=-\cot x+\cos x\ne f(x)$, không chẵn. B) ${\sin }^2(-x)+2\cos (-x)={\sin }^{2}x+2\cos x=f(x)$, hàm chẵn. C) $\cot (-x)=-\cot x$, hàm lẻ. D) ${\sin }^3(-x)=-{\sin }^{3}x$, hàm lẻ. Vậy hàm chẵn là $y={\sin }^{2}x+2\cos x$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số lẻ thỏa $f(-x)=-f(x)$. Xét từng phương án:
- A: $y={\sin }^{3}x$, có $\sin (-x)=-\sin x$ nên ${\sin }^3(-x)=-{\sin }^{3}x$, hàm lẻ. Đúng.
- B: $y={\cos }^{2}x+1$ là hàm chẵn vì $\cos (-x)=\cos x$.
- C: $y={\sin }^{2}x+\cos x$ là hàm chẵn vì cả ${\sin }^{2}x$ và $\cos x$ đều chẵn.
- D: $y=\cot x+\cos x$: $\cot (-x)=-\cot x$ (lẻ) nhưng $\cos (-x)=\cos x$ (chẵn), tổng không lẻ không chẵn.
Vậy hàm số lẻ là $y={\sin }^{3}x$, chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-5\cot (3x)$ có dạng $y=a\cot (bx)$ với chu kỳ $T=\frac{\pi }{|b|}=\frac{\pi }{3}$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị đi qua gốc O(0;0), tăng qua O, đạt giá trị lớn nhất 1 tại $x=\frac{\pi }{2}$ và giá trị nhỏ nhất -1 tại $x=-\frac{\pi }{2}$, chu kỳ $T=2\pi$. Đây đúng là đồ thị hàm số $y=\sin x$. (Với $y=\cos x$ thì tại $x=0$ có $y=1$; tan và cot không có dạng sóng liên tục này.) Vậy đáp án là B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\cos }^2(4x)\in [0;1]$ với mọi $x$, nên hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, tức $D=\mathbb{R}$ (a đúng). Khi đó $y=2{\cos }^2(4x)-5\in [-5;-3]$: giá trị lớn nhất bằng $2\cdot 1-5=-3$ (b sai vì không phải 2), giá trị nhỏ nhất bằng $2\cdot 0-5=-5$ (c sai vì không phải -8). Tập giá trị là $T=[-5;-3]$, không phải $[-8;0]$ (d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
${\cos }^2(4x)$ xác định với mọi $x$, nên $D=\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
GTLN $=2\cdot 1-5=-3\ne 2$.
c) (AI giải đề cho tôi)
GTNN $=2\cdot 0-5=-5\ne -8$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị là $T=[-5;-3]$, không phải $[-8;0]$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin 3x\le 1$ nên $-4\le 4\sin 3x\le 4$, suy ra $-7\le 4\sin 3x-3\le 1$. Giá trị nhỏ nhất bằng $-7$, đạt được khi $\sin 3x=-1$, tức $3x=-\frac{\pi }{2}+k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$ (luôn tồn tại trên $\mathbb{R}$). Vậy $\min y=-7$.

(AI giải đề cho tôi)
Cầu có dạng $y=4,8\cos \frac{x}{9}$, hai chân cầu là giao điểm với mặt nước ($y=0$): $\cos \frac{x}{9}=0\Rightarrow x=\pm \frac{9\pi }{2}$, tức $A\left(-\frac{9\pi }{2};0\right)$, $B\left(\frac{9\pi }{2};0\right)$.
a) Khoảng cách $AB=\frac{9\pi }{2}-\left(-\frac{9\pi }{2}\right)=9\pi \approx 28,27$ m, không phải $18\pi$ m → Sai.
b) Điểm cao nhất của cầu: $y_{\max }=4,8$ (tại $x=0$), cách mặt nước sông $4,8$ m → Đúng.
c) Khối hàng cao $3,6$ m nên để lọt gầm cầu cần $4,8\cos \frac{x}{9}\ge 3,6\iff \cos \frac{x}{9}\ge \frac{3}{4}\iff 4\cos \frac{x}{9}-3\ge 0$ → Đúng.
d) Từ $\cos \frac{x}{9}\ge \frac{3}{4}$ (với $|x|\le \frac{9\pi }{2}$) ta được $|x|\le 9\arccos \frac{3}{4}\approx 9\times 0,7227\approx 6,505$ m. Chiều rộng lớn nhất $\approx 2\times 6,505\approx 13,01$ m, làm tròn đến hàng đơn vị là $13$ m, không phải $14$ m → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hai chân cầu là nghiệm của $\cos \frac{x}{9}=0$: $x=\pm \frac{9\pi }{2}$, nên $AB=9\pi \approx 28,27$ m $\ne 18\pi$ m.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y_{\max }=4,8$ tại $x=0$, nên đỉnh cầu cách mặt nước $4,8$ m.
c) (AI giải đề cho tôi)
Cần $4,8\cos \frac{x}{9}\ge 3,6\iff 4\cos \frac{x}{9}-3\ge 0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\cos \frac{x}{9}\ge \frac{3}{4}\Rightarrow |x|\le 9\arccos \frac{3}{4}\approx 6,505$, chiều rộng lớn nhất $\approx 13,01$ m, làm tròn là $13$ m chứ không phải $14$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2025}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm đối xứng qua trục tung là hàm chẵn: f(-x)=f(x). A: f(-x)=sin(-x)cos(-2x)=-sin x cos 2x=-f(x), hàm lẻ. B: cos(x-π/2)=sin x nên f(x)=sin⁵x·sin x=sin⁶x; f(-x)=sin⁶x=f(x), hàm chẵn → đối xứng qua trục tung. C: f(-x)=tan(-x)/(tan²x+1)=-f(x), hàm lẻ. D: f(-x)=cos(-x)sin³(-x)=-cos x sin³x=-f(x), hàm lẻ. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Trên khoảng $(\frac{\pi }{2}+k2\pi ;\pi +k2\pi )$ (góc phần tư thứ II): $y=\sin x$ nghịch biến (đúng), $y=\cos x$ nghịch biến (đúng), $y=\tan x$ đồng biến trên mọi khoảng xác định (đúng), còn $y=\cot x$ nghịch biến trên mọi khoảng xác định nên khẳng định D là sai. Các phương án C, D đã được xác minh từ trang 4 của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Đồ thị là hàm số $y=\cos x$ (đi qua điểm $(0;1)$, đạt cực tiểu tại $x=\pm \pi$, chu kỳ $2\pi$). Hàm $y=\cos x$ nghịch biến trên $(k2\pi ;(k+1)\pi )$ và đồng biến trên $((2k-1)\pi ;2k\pi )$, $k\in \mathbb{Z}$. Xét các khoảng: trên $\left(-\frac{3\pi }{2};-\frac{\pi }{2}\right)$ hàm nghịch biến (A sai); trên $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$ hàm nghịch biến (B sai); trên $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$ hàm nghịch biến (C sai); trên $\left(-\frac{\pi }{2};0\right)\subset (-\pi ;0)$ hàm đồng biến (D đúng).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\cot \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)$ xác định khi $\sin \left(2x+\frac{\pi }{5}\right)\ne 0$, tức $2x+\frac{\pi }{5}\ne k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $2x\ne -\frac{\pi }{5}+k\pi$, tức $x\ne -\frac{\pi }{10}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{10}+\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{\sin x}{1-\cos x}$ xác định khi mẫu số khác 0: $1-\cos x\ne 0\iff \cos x\ne 1\iff x\ne k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k2\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$, tương ứng phương án C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$ với $0<t\le 365$, $t\in \mathbb{N}$.

Vì $-1\le \sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]\le 1$ nên $d(t)\le 3\cdot 1+12=15$.

Dấu bằng xảy ra khi $\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=1$, tức $\frac{\pi }{182}(t-80)=\frac{\pi }{2}+k2\pi \Rightarrow t-80=91+364k\Rightarrow t=171+364k$.

Với $k=0$ ta được $t=171$ thỏa mãn $0<171\le 365$ (với $k=1$, $t=535>365$; với $k=-1$, $t=-193<0$).

Vậy thời gian có ánh sáng mặt trời nhiều nhất trong ngày là $15$ giờ, đạt được vào ngày thứ $171$ của năm. Kết quả trùng với đáp số đã cho: 15.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{3\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-3\le 3\sin \left(x+\frac{3\pi }{4}\right)\le 3$, suy ra $-4\le y\le 2$. Vậy giá trị lớn nhất là $2$ và giá trị nhỏ nhất là $-4$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=f(x)={\sin }^{2}x-\sin x$.
a) Tại $x=\pi$: $y={\sin }^2\pi -\sin \pi =0-0=0$ → Đúng.
b) $f(-x)={\sin }^2(-x)-\sin (-x)={\sin }^{2}x+\sin x\ne f(x)$; chẳng hạn $f(\pi /2)=0$ còn $f(-\pi /2)=1+1=2$, nên hàm không chẵn → Sai.
c) $f(x+2\pi )={\sin }^2(x+2\pi )-\sin (x+2\pi )={\sin }^{2}x-\sin x=f(x)$ với mọi $x$, nên hàm tuần hoàn với chu kì $2\pi$ → Đúng.
d) Đặt $t=\sin x\in [-1;1]$, xét $g(t)=t^2-t$ trên $[-1;1]$: $g^{\prime }(t)=2t-1=0\iff t=\frac{1}{2}$, $g(\frac{1}{2})=-\frac{1}{4}$ (min); $g(-1)=2$ (max). Các giá trị nguyên đạt được: $0$ (khi $t=0$ hoặc $t=1$), $1$ (khi $t=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618\in [-1;1]$), $2$ (khi $t=-1$). Giá trị $-1$ không đạt vì $t^2-t=-1\iff t^2-t+1=0$ vô nghiệm. Vậy tập giá trị chỉ có 3 giá trị nguyên, không phải 4 → Sai.
Kết quả: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai, khớp đáp án nguồn D-S-D-S.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y(\pi )={\sin }^2\pi -\sin \pi =0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(-x)={\sin }^{2}x+\sin x\ne f(x)$; ví dụ $f(\pi /2)=0\ne 2=f(-\pi /2)$, hàm không chẵn.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f(x+2\pi )={\sin }^{2}x-\sin x=f(x)$ nên hàm tuần hoàn chu kì $2\pi$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $t=\sin x\in [-1;1]$, $g(t)=t^2-t$ có min $-\frac{1}{4}$, max $2$; các giá trị nguyên đạt được là $0,1,2$ — chỉ 3 giá trị nguyên, không phải 4.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\sqrt{1-\cos x}$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ vì $1-\cos x\ge 0$. Ta có $f(-x)=\sqrt{1-\cos (-x)}=\sqrt{1-\cos x}=f(x)$, nên $f$ là hàm chẵn, đồ thị nhận trục $Oy$ làm trục đối xứng → D đúng. Xét các phương án khác: Vì $-1\le \cos x\le 1$ nên $0\le 1-\cos x\le 2$, do đó $0\le f(x)\le \sqrt{2}$; giá trị lớn nhất của $f(x)$ là $\sqrt{2}$ (khi $\cos x=-1$), không phải 1 → B sai. Phương án A: mặc định cận dưới đúng nhưng cận trên $f(x)\le 2$ không phải giá trị lớn nhất thực sự của hàm (đúng nhất phải là $\sqrt{2}$), nên A không phải khẳng định đúng nhất. Phương án C: hàm là hàm chẵn nên không thể nhận $O$ làm tâm đối xứng → C sai. Vậy đáp án đúng là D, trùng với key của đề.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot 2x$ xác định khi và chỉ khi $\sin 2x\ne 0$, tức $2x\ne k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$, suy ra $x\ne \frac{k\pi }{2}$ với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{k\pi }{2}\mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Kết quả này trùng với đáp án D đã cho trong tài liệu (bảng key đề số 12, Phần I, Câu 1 là D).