Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $d=3\cos \left(\frac{2\pi t}{3}-\frac{\pi }{3}\right)$.
a) Chu kì $T=\frac{2\pi }{2\pi /3}=3$ (s) → Đúng.
b) Tại $t=2$: $d=3\cos \left(\frac{4\pi }{3}-\frac{\pi }{3}\right)=3\cos \pi =-3$, nên $h=3$ nhưng $d<0$ (phía ly độ âm) → Sai.
c) Người chơi qua vị trí cân bằng khi $d=0$: $\frac{2\pi t}{3}-\frac{\pi }{3}=\frac{\pi }{2}+k\pi \Rightarrow t=\frac{5}{4}+\frac{3k}{2}$. Với $0\le t\le 20$: $k=0,1,\dots ,12$ (vì $k=13$ cho $t=20,75>20$), tức 13 lần, không phải 14 → Sai.
d) Khi $d>0$ và $h$ lớn nhất thì $d=3$: $\frac{2\pi t}{3}-\frac{\pi }{3}=2k\pi \Rightarrow t=\frac{1}{2}+3k$. Lần đầu tiên $t=0,5$ (s) → Đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn Đ - S - S - Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Chu kì $T=\frac{2\pi }{2\pi /3}=3$ (s).
b) (AI giải đề cho tôi)
Tại $t=2$: $d=3\cos \pi =-3<0$, nên $h=3$ nhưng người chơi ở phía ly độ âm.
c) (AI giải đề cho tôi)
$d=0\Rightarrow t=\frac{5}{4}+\frac{3k}{2}$; trong $[0;20]$ có $k=\mathrm{0..12}$, tức 13 lần.
d) (AI giải đề cho tôi)
$d=3$ khi $t=\frac{1}{2}+3k$; lần đầu $t=0,5$ (s).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x-3$ có dạng $y=A\sin x+B$ với $A=1,B=-3$. Hàm số $y=\sin x$ tuần hoàn với chu kỳ $\mathcal{T}=2\pi$, và việc cộng thêm hằng số $-3$ không làm thay đổi chu kỳ. Thật vậy, $f(x+2\pi )=\sin (x+2\pi )-3=\sin x-3=f(x)$, và không có giá trị $\mathcal{T}$ dương nhỏ hơn $2\pi$ nào thỏa mãn. Vậy chu kỳ của hàm số là $\mathcal{T}=2\pi$. Đáp án khớp với key nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 1 Phần II:
a) Đúng. Hàm $y=\tan x$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.
b) Đúng. Trên mỗi khoảng xác định $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$, hàm $y=\tan x$ có đạo hàm $y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}>0$ nên đồng biến trên từng khoảng đó.
c) Sai. Hàm $y=3\tan \left(2x-\frac{\pi }{6}\right)$ xác định khi $2x-\frac{\pi }{6}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$. Các khoảng xác định là $\left(-\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2};\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}\right)$, không phải các khoảng $\left(-\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2};\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\right)$ như đề. Trên các khoảng đã cho, hàm số không đồng biến trên toàn khoảng (chúng chứa điểm không xác định $x=\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$). Do đó mệnh đề Sai.
d) Sai. Hàm $y=-\tan \left(x-\frac{\pi }{3}\right)$ xác định khi $x-\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff x\ne \frac{5\pi }{6}+k\pi$. Các khoảng xác định là $\left(-\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{3}+k\pi \right)=\left(-\frac{\pi }{6}+k\pi ;\frac{5\pi }{6}+k\pi \right)$, không phải $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$. Trên các khoảng đã cho, hàm không nghịch biến trên toàn khoảng (chứa điểm không xác định $x=\frac{5\pi }{6}+k\pi$). Do đó mệnh đề Sai.
Kết quả khớp với đáp án nguồn: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$y=\tan x$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$y^{\prime }=\frac{1}{{\cos }^{2}x}>0$ trên từng khoảng xác định nên hàm đồng biến trên từng khoảng.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định yêu cầu $x\ne \frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}$; các khoảng xác định là $\left(-\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{2};\frac{\pi }{3}+\frac{k\pi }{2}\right)$, không phải $\left(-\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2};\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}\right)$, nên mệnh đề Sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định yêu cầu $x\ne \frac{5\pi }{6}+k\pi$; các khoảng xác định là $\left(-\frac{\pi }{6}+k\pi ;\frac{5\pi }{6}+k\pi \right)$, không phải $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$, nên mệnh đề Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\tan 2x$ xác định khi $2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, tức $x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$. Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{2}{{\cos }^{2}2x}>0$ trên mọi điểm xác định, nên hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định. Xét $u=2x$: hàm $\tan u$ đồng biến trên từng khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$, suy ra $2x\in \left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)\iff x\in \left(-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\right)$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy hàm số đồng biến trên từng khoảng $\left(-\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}\right)$, $k\in \mathbb{Z}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $f(x)=\sin x+2$. a) Tập xác định là $\mathbb{R}$, không phải $[1;3]$ → Sai. b) Tập giá trị: vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $1\le f(x)\le 3$, tập giá trị là $[1;3]$, không phải $\mathbb{R}$ → Sai. c) Phương trình $\sin x+2=0\iff \sin x=-2$ vô nghiệm vì $-2<-1$, nên đồ thị không cắt trục hoành → Đúng. d) $f^{\prime }(x)=\cos x$; trên $(-\pi ;\pi )$, $f^{\prime }(x)<0$ khi $x\in (-\pi ;-\pi /2)$ và $x\in (\pi /2;\pi )$, nên hàm số không đồng biến trên toàn khoảng → Sai. Kết quả khớp đáp án nguồn S-S-D-S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định của $f(x)=\sin x+2$ là $\mathbb{R}$ vì $\sin x$ xác định với mọi $x$ thực, không phải $[1;3]$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin x\le 1$ nên $1\le \sin x+2\le 3$, tập giá trị là $[1;3]$, không phải $\mathbb{R}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đồ thị cắt trục hoành khi $\sin x+2=0\iff \sin x=-2$, vô nghiệm vì $-2<-1$. Vậy đồ thị không cắt trục hoành.
d) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(x)=\cos x$. Trên $(-\pi ;\pi )$, $f^{\prime }(x)<0$ với $x\in (-\pi ;-\pi /2)\cup (\pi /2;\pi )$, nên hàm số không đồng biến trên toàn khoảng.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{\sin x}{1-\cos x}$ xác định khi $1-\cos x\ne 0$, tức $\cos x\ne 1$. Vì $\cos x=1\iff x=2k\pi ,k\in \mathbb{Z}$, nên tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{2k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\}$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Phần II Câu 1: a) Đúng; b) Sai; c) Sai; d) Sai — khớp đáp án nguồn (D - S - S - S).
a) $g(x)=\sin x+\cos x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$: Đúng.
b) $g(x)=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ nên tập giá trị là $[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$, không phải $[-2;2]$: Sai.
c) $f(x)=\tan x$ cắt trục hoành khi $\tan x=0\iff x=k\pi$. Trên $\left[-\frac{3\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$ có $x=-\pi ,0,\pi$: 3 điểm (lưu ý $\tan x$ xác định tại các điểm đó): Sai.
d) $f(x)=\tan x$ chỉ đồng biến trên từng khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$, không đồng biến trên $\mathbb{R}$ (không xác định tại $x=\frac{\pi }{2}+k\pi$): Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\sin x$ và $\cos x$ đều xác định trên $\mathbb{R}$ nên tập xác định của $g(x)$ là $D=\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$g(x)=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$ nên tập giá trị là $[-\sqrt{2};\sqrt{2}]\ne [-2;2]$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\tan x=0\iff x=k\pi$; trên $\left[-\frac{3\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right]$ có $x=-\pi ,0,\pi$ tức 3 điểm giao, không phải 2.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\tan x$ chỉ đồng biến trên mỗi khoảng $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ;\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$ và không xác định trên toàn $\mathbb{R}$, nên không đồng biến trên $\mathbb{R}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức $x\ne k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$. Đáp án khớp với key nguồn: C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ vì cosin của mọi số thực đều tồn tại. Do đó tập xác định là $D=\mathbb{R}$. Chọn đáp án A, trùng với đáp án nguồn (key Câu 3 Phần I là A).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số chẵn thỏa $f(-x)=f(x)$. Xét từng hàm: $y=\cos x$ có $\cos (-x)=\cos x$ nên là hàm chẵn. $y=\tan 2x$ là hàm lẻ vì $\tan (-2x)=-\tan 2x$. $y=\sin 2x$ là hàm lẻ vì $\sin (-2x)=-\sin 2x$. $y=\cot 3x$ là hàm lẻ vì $\cot (-3x)=-\cot 3x$. Vậy hàm số chẵn là $y=\cos x$, khớp với đáp án nguồn (key Câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=3\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-7$.

a) Hàm số $y=3\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-7$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên tập xác định là $\mathbb{R}$. Đúng.

b) Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-3\le 3\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 3$, suy ra $-10\le y\le -4$. Tập giá trị là $[-10;-4]$, không phải $[-3;7]$. Sai.

c) Ta có $\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x+\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x+\cos x)$, do đó $y=\frac{3\sqrt{2}}{2}(\sin x+\cos x)-7$, không phải $3\sqrt{2}(\sin x+\cos x)-7$. Sai.

d) $3\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-7=-4\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1\iff x+\frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}+2k\pi \iff x=\frac{\pi }{4}+2k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Hoành độ dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{4}$ (khoảng cách giữa hai nghiệm liên tiếp là $2\pi >0$). Đúng.

Kết quả khớp với đáp án nguồn: Đ - S - S - Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=3\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-7$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên tập xác định là $\mathbb{R}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ nên $-10\le y\le -4$; tập giá trị là $[-10;-4]$, không phải $[-3;7]$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}(\sin x+\cos x)$ nên $y=\frac{3\sqrt{2}}{2}(\sin x+\cos x)-7$, khác biểu thức đã cho.
d) (AI giải đề cho tôi)
$3\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)-7=-4\iff \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1\iff x=\frac{\pi }{4}+2k\pi$. Hoành độ dương nhỏ nhất là $x=\frac{\pi }{4}$.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng $\left(\frac{5\pi }{4};\frac{4\pi }{3}\right)\subset \left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$ (vì $\frac{5\pi }{4}>\pi$ và $\frac{4\pi }{3}<\frac{3\pi }{2}$). Trên khoảng $\left(\pi ;\frac{3\pi }{2}\right)$: hàm $y=\sin x$ nghịch biến (A sai, C đúng); hàm $y=\cos x$ đồng biến vì $y^{\prime }=-\sin x>0$ khi $\sin x<0$ (D sai); hàm $y=\tan x$ đồng biến trên mọi khoảng xác định (B sai). Vậy mệnh đề đúng là C, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Xét hàm số $y=\cos x$. a) Hàm số xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên tập xác định $D=\mathbb{R}$: Đúng. b) Tập giá trị của $\cos x$ là $[-1;1]$, không phải $[0;1]$: Sai. c) $\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$, nên đồ thị cắt trục hoành tại các điểm có hoành độ này: Đúng. d) Trên $(0;\pi )$, $y^{\prime }=-\sin x<0$ với mọi $x\in (0;\pi )$, nên hàm số nghịch biến (không đồng biến) trên khoảng này: Sai. Kết quả khớp với đáp án nguồn: Đ - S - Đ - S.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\cos x$ xác định với mọi $x$, nên $D=\mathbb{R}$: Đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị của $y=\cos x$ là $[-1;1]$, không phải $[0;1]$: Sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos x=0\iff x=\frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$: Đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $x\in (0;\pi )$, $y^{\prime }=-\sin x<0$ nên hàm số nghịch biến trên $(0;\pi )$: Sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}$ xác định khi $\cos x\ne 0$, tức $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$. Đáp án B, trùng với đáp án nguồn (key Câu 3 của đề số 4 là B).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=4\sin \frac{\pi (t-60)}{178}+10$ với $0<t\le 365$, $t\in \mathbb{Z}$. Vì $-1\le \sin \frac{\pi (t-60)}{178}\le 1$ nên $y\le 4+10=14$. Giá trị lớn nhất đạt được khi $\sin \frac{\pi (t-60)}{178}=1$, tức $\frac{\pi (t-60)}{178}=\frac{\pi }{2}\Rightarrow t-60=89\Rightarrow t=149$, thỏa mãn $0<149\le 365$. Vậy ngày có nhiều ánh sáng nhất có $m=14$ giờ, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot x=\frac{\cos x}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức là $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$. Kết quả này trùng với đáp án nguồn (key C).

(AI giải đề cho tôi)
Hàm $y=\tan x$ tuần hoàn với chu kỳ $\pi$, $y=\sin x$ và $y=\cos x$ tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$ (đúng). Hàm $y=\cot x$ cũng tuần hoàn với chu kỳ $\pi$, không phải $2\pi$, nên mệnh đề D là sai. Khớp với đáp án nguồn: D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét tính chẵn lẻ: $\sin (-x)=-\sin x$ nên $y=\sin x$ là hàm lẻ (A đúng). $\cos (-x)=\cos x$ nên $y=\cos x$ là hàm chẵn, không phải hàm lẻ (B sai). $\tan (-x)=-\tan x$ và $\cot (-x)=-\cot x$ nên C, D đúng. Vậy mệnh đề sai là B, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos x$ thỏa mãn $\cos (-x)=\cos x$ với mọi $x$, nên là hàm số chẵn. Các hàm $y=\sin x$, $y=\tan x$, $y=\cot x$ đều là hàm số lẻ vì $\sin (-x)=-\sin x$, $\tan (-x)=-\tan x$, $\cot (-x)=-\cot x$. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\sin x$ có $\sin (-x)=-\sin x$ với mọi $x$, nên là hàm số lẻ. Các hàm $y=\cos x$, $y={\cos }^{2}x$, $y={\sin }^{2}x$ đều thỏa $f(-x)=f(x)$ nên là hàm số chẵn. Vậy đáp án là A.