Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra tính chẵn lẻ: $\tan (-x)=-\tan x$ và $\cot (-x)=-\cot x$ nên $y=\tan x$, $y=\cot x$ là hàm số lẻ (A, B đúng). $\cos (-x)=\cos x$ nên $y=\cos x$ là hàm số chẵn (D đúng). Còn $\sin (-x)=-\sin x$ nên $y=\sin x$ là hàm số lẻ, không phải hàm số chẵn. Vậy mệnh đề SAI là C.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan \left(2x+\frac{\pi }{3}\right)$ xác định khi $2x+\frac{\pi }{3}\ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, tức $2x\ne \frac{\pi }{6}+k\pi$, suy ra $x\ne \frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{12}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cot \left(3x+\frac{\pi }{2}\right)$ xác định khi $3x+\frac{\pi }{2}\ne k\pi$, tức $3x\ne -\frac{\pi }{2}+k\pi$, suy ra $x\ne -\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{\pi }{6}+\frac{k\pi }{3},k\in \mathbb{Z}\right\}$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{\sin x-1}{\tan x}$ xác định khi và chỉ khi $\tan x$ xác định, tức $\cos x\ne 0$, suy ra $x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$. Chọn A.

Chọn C. Trong bốn hàm số đã cho, hàm số $y=\cos x$ là hàm số chẵn vì $\cos (-x)=\cos x$.

Đáp số: 2

Với $\omega >0$, hàm số $y=\sin (\omega x)$ tuần hoàn với chu kỳ $T=\frac{2\pi }{\omega }$.

Với $\omega =\pi$, chu kỳ tuần hoàn là $T=\frac{2\pi }{\pi }=2$.

Chọn D. Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0;1)$, nhận trục tung làm trục đối xứng và có chu kỳ $2\pi$, đây là đồ thị hàm số $y=\cos x$.

Chọn B. Hàm số $y=\tan x$ xác định khi $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{2}{\cos x+1}$ xác định khi $\cos x+1\ne 0$, tức $\cos x\ne -1$. Điều này xảy ra khi $x=\pi +k2\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định là $\mathbb{R}\setminus \{\pi +k2\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, tương ứng phương án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $y=f(x)=\cos x+{\sin }^{2}x$, tập xác định $\mathbb{R}$. Ta có $f(-x)=\cos (-x)+{\sin }^2(-x)=\cos x+{\sin }^{2}x=f(x)$, nên hàm số chẵn. Chu kỳ: $\cos x$ có chu kỳ $2\pi$, ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$ có chu kỳ $\pi$, nên chu kỳ chung là $T=2\pi$ (vì với $T=\pi$, $\cos (x+\pi )=-\cos x\ne \cos x$ nói chung). Vậy hàm số chẵn, chu kỳ $T=2\pi$.

Hàm số $y=\cos 3x$ có tập xác định $\mathbb{R}$ và $\cos (-3x)=\cos 3x$ nên là hàm số chẵn. Các hàm số $y=\cot 2x$, $y=\tan x$, $y=\sin 2x$ đều là hàm số lẻ. Chọn D.

Điều kiện: $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi$. Tập xác định $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$. Chọn B.

Hàm số $y=\cos x$ có tập xác định $\mathbb{R}$ và thỏa mãn $\cos (-x)=\cos x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, do đó là hàm số chẵn.

Chọn B.

a) Đúng. Tập xác định của hàm số $y=\cos x$ là $\mathbb{R}$.

b) Sai. Tập giá trị của hàm số là đoạn $[-1;1]$, không phải khoảng $(-1;1)$.

c) Sai. Phương trình $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ có hai họ nghiệm $x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$, mệnh đề thiếu họ nghiệm $-\frac{\pi }{4}+k2\pi$.

d) Đúng. Với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ (góc phần tư thứ nhất), ta luôn có $\cos x>0$.
a) Đúng. Tập xác định của hàm số $y=\cos x$ là $\mathbb{R}$.
b) Sai. Tập giá trị của hàm số là đoạn $[-1;1]$, không phải khoảng $(-1;1)$.
c) Sai. Phương trình $\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}$ có hai họ nghiệm $x=\pm \frac{\pi }{4}+k2\pi$ $(k\in \mathbb{Z})$, mệnh đề thiếu họ nghiệm $-\frac{\pi }{4}+k2\pi$.
d) Đúng. Với mọi $x\in \left(0;\frac{\pi }{2}\right)$ (góc phần tư thứ nhất), ta luôn có $\cos x>0$.

Ta có $\sin \left(\frac{\pi }{12}(t-8)\right)\ge -1\Rightarrow h(t)\ge 30-4=26$.

Tại $t=2$, thuộc đoạn $[0;24]$, ta có:
$$h(2)=30+4\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)=26.$$

Vậy nhiệt độ thấp nhất trong ngày là 26 độ.

a) Đúng.

b) Sai.

c) Sai. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ là $-2$.

d) Đúng: $2\cos x=0\iff \cos x=-\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pm 2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Trên khoảng $(0;2\pi )$ phương trình có đúng 2 nghiệm $x=\frac{2\pi }{3},x=\frac{4\pi }{3}$. (Lưu ý: nguồn in '2$\cos$ x = 0' không nhất quán với phương trình $f(x)=-1$; giữ nguyên theo nguồn.)
a) Đúng.
b) Sai.
c) Sai. Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ là $-2$.
d) Đúng: $2\cos x=0\iff \cos x=-\frac{1}{2}\iff x=\frac{\pm 2\pi }{3}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

Trên khoảng $(0;2\pi )$ phương trình có đúng 2 nghiệm $x=\frac{2\pi }{3},x=\frac{4\pi }{3}$.

Với $\forall x\in \mathbb{R}$, ta có $\cos x\in [-1;1]$. Tập giá trị của hàm số $y=\cos x$ là $[-1;1]$.

Hàm số $y=\sin x$ tuần hoàn có chu kỳ là $2\pi$.

Đồ thị hàm số đi qua điểm $(0;2)$, nhận giá trị lớn nhất bằng $2$, giá trị nhỏ nhất bằng $-2$ và tuần hoàn với chu kỳ $2\pi$. Đây là đồ thị của hàm số $y=2\cos x$.
Chọn đáp án C.

Độ dài bóng được mô hình hóa bởi $S(t)=50\left|\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)\right|$ với $0<t<12$.
a) Đúng. Khoảng thời gian từ 12 giờ trưa đến 6 giờ tối ứng với $6<t<12$. Khi đó $\frac{\pi }{12}t\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$, giá trị $\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)$ mang dấu âm và giảm dần từ 0 về $-\infty$, do đó độ lớn $\left|\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)\right|$ tăng dần từ 0 lên $+\infty$, nghĩa là độ dài bóng tăng dần.
b) Đúng. Ta có $S(t)=\frac{50\sqrt{3}}{3}\iff \left|\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)\right|=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Vì góc $\frac{\pi }{12}t\in (0;\pi )$ nên phương trình có hai nghiệm: $\frac{\pi }{12}t=\frac{\pi }{3}\Rightarrow t=4$ (lúc 10 giờ sáng) và $\frac{\pi }{12}t=\frac{2\pi }{3}\Rightarrow t=8$ (lúc 14 giờ chiều).
c) Đúng. Lúc 9 giờ sáng ứng với $t=3$. Ta có $S(3)=50\left|\cot \left(\frac{3\pi }{12}\right)\right|=50\cot \frac{\pi }{4}=50$ m.
d) Đúng. Với mọi $t\in (0;12)$, ta có:
$$S(12-t)=50\left|\cot \left(\frac{\pi }{12}(12-t)\right)\right|=50\left|\cot \left(\pi -\frac{\pi }{12}t\right)\right|=50\left|-\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)\right|=S(t).$$
a) Đúng. Khoảng thời gian từ 12 giờ trưa đến 6 giờ tối ứng với $6<t<12$. Khi đó $\frac{\pi }{12}t\in \left(\frac{\pi }{2};\pi \right)$, giá trị $\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)$ mang dấu âm và giảm dần từ 0 về $-\infty$, do đó độ lớn $\left|\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)\right|$ tăng dần từ 0 lên $+\infty$, nghĩa là độ dài bóng tăng dần.
b) Đúng. Ta có $S(t)=\frac{50\sqrt{3}}{3}\iff \left|\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)\right|=\frac{\sqrt{3}}{3}$. Vì góc $\frac{\pi }{12}t\in (0;\pi )$ nên phương trình có hai nghiệm: $\frac{\pi }{12}t=\frac{\pi }{3}\Rightarrow t=4$ (lúc 10 giờ sáng) và $\frac{\pi }{12}t=\frac{2\pi }{3}\Rightarrow t=8$ (lúc 14 giờ chiều).
c) Đúng. Lúc 9 giờ sáng ứng với $t=3$. Ta có $S(3)=50\left|\cot \left(\frac{3\pi }{12}\right)\right|=50\cot \frac{\pi }{4}=50$ m.
d) Đúng. Với mọi $t\in (0;12)$, ta có:
$$S(12-t)=50\left|\cot \left(\frac{\pi }{12}(12-t)\right)\right|=50\left|\cot \left(\pi -\frac{\pi }{12}t\right)\right|=50\left|-\cot \left(\frac{\pi }{12}t\right)\right|=S(t).$$