Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

Hàm số nhiệt độ có dạng $h(t)=A\sin \left[\frac{\pi }{12}(t-8)\right]+B$.
Tại thời điểm $t=14$, nhiệt độ đạt mức cao nhất bằng $35^{\circ }$C nên:
$$A\sin \left[\frac{\pi }{12}(14-8)\right]+B=35\iff A\sin \frac{\pi }{2}+B=35\iff A+B=35.$$
Tại thời điểm $t=2$, nhiệt độ đạt mức thấp nhất bằng $23^{\circ }$C nên:
$$A\sin \left[\frac{\pi }{12}(2-8)\right]+B=23\iff A\sin \left(-\frac{\pi }{2}\right)+B=23\iff -A+B=23.$$
Giải hệ phương trình ta được $A=6$ và $B=29$.
Nhiệt độ ngoài trời lúc 11 giờ ứng với $t=11$:
$h(11)=6\sin \left[\frac{\pi }{12}(11-8)\right]+29=6\sin \frac{\pi }{4}+29=3\sqrt{2}+29\approx 33.24{}^{\circ }\mathrm{C}$.
Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị thu được $33$.

Điều kiện xác định của hàm số là $\sin x\ne 0\iff x\ne k\pi (k\in \mathbb{Z})$.
Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi |k\in \mathbb{Z}\}$.
Chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{3}{\sin x}$ xác định khi $\sin x\ne 0$, tức $x\ne k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \{k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, trùng với đáp án D và bảng đáp án mã đề 1001 (câu 1: D).

a) Sai. b) Đúng. c) Đúng. d) Sai.
a) Vì $-1\le \sin 3x\le 1$ nên tập giá trị của hàm số $g(x)$ là $[-1;1]$. Mệnh đề sai.
b) Tập xác định $D=\mathbb{R}$, với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $-x\in \mathbb{R}$ và $f(-x)=3\sin (-x)=-3\sin x=-f(x)$. Vậy $f(x)$ là hàm số lẻ. Mệnh đề đúng.
c) $f(x)=3g(x)\iff 3\sin x=3\sin 3x\iff \sin 3x=\sin x\iff [<table><tbody><tr><td>3x=x+k2\pi </td></tr><tr><td>3x=\pi -x+k2\pi </td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=k\pi </td></tr><tr><td>x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}</td></tr></tbody></table>(k\in \mathbb{Z})$. Trên đoạn $[0;2\pi ]$: họ $x=k\pi$ cho $x\in \{0;\pi ;2\pi \}$, họ $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$ cho $x\in \left\{\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4};\frac{5\pi }{4};\frac{7\pi }{4}\right\}$. Vậy phương trình có 7 nghiệm trên $[0;2\pi ]$. Mệnh đề đúng.
d) Phương trình $\sin 3x=\frac{m}{8}$ có nghiệm $\iff -1\le \frac{m}{8}\le 1\iff -8\le m\le 8$. Có 17 giá trị nguyên của $m$. Mệnh đề sai.
a) Vì $-1\le \sin 3x\le 1$ nên tập giá trị của hàm số $g(x)$ là $[-1;1]$. Mệnh đề sai.
b) Tập xác định $D=\mathbb{R}$, với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $-x\in \mathbb{R}$ và $f(-x)=3\sin (-x)=-3\sin x=-f(x)$. Vậy $f(x)$ là hàm số lẻ. Mệnh đề đúng.
c) $f(x)=3g(x)\iff 3\sin x=3\sin 3x\iff \sin 3x=\sin x\iff [<table><tbody><tr><td>3x=x+k2\pi </td></tr><tr><td>3x=\pi -x+k2\pi </td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=k\pi </td></tr><tr><td>x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}</td></tr></tbody></table>(k\in \mathbb{Z})$.
Trên đoạn $[0;2\pi ]$: họ $x=k\pi$ cho $x\in \{0;\pi ;2\pi \}$, họ $x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2}$ cho $x\in \left\{\frac{\pi }{4};\frac{3\pi }{4};\frac{5\pi }{4};\frac{7\pi }{4}\right\}$.
Vậy phương trình có 7 nghiệm trên $[0;2\pi ]$. Mệnh đề đúng.
d) Phương trình $\sin 3x=\frac{m}{8}$ có nghiệm $\iff -1\le \frac{m}{8}\le 1\iff -8\le m\le 8$.
Có 17 giá trị nguyên của $m$. Mệnh đề sai.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\tan (2x-5\pi )$ xác định khi $\cos (2x-5\pi )\ne 0$, tức $2x-5\pi \ne \frac{\pi }{2}+k\pi$, $k\in \mathbb{Z}$. Suy ra $2x\ne \frac{11\pi }{2}+k\pi$, nên $x\ne \frac{11\pi }{4}+k\frac{\pi }{2}$, $k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{11}{4}\pi +k\frac{1}{2}\pi \right\}$, tương ứng phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\cos \left(2x+\frac{4\pi }{9}\right)+1$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên tập xác định là $D=\mathbb{R}$ (khẳng định a sai). Vì $-1\le \cos \left(2x+\frac{4\pi }{9}\right)\le 1$ nên $0\le y\le 2$: giá trị lớn nhất bằng $2$ (b sai), giá trị nhỏ nhất bằng $0$ (c đúng), tập giá trị là $T=[0;2]$ chứ không phải $[-2;5]$ (d sai).
a) (AI giải đề cho tôi)
Hàm cos xác định với mọi số thực nên $D=\mathbb{R}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{4\pi /9\}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\max y=1+1=2\ne 3$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\min y=1-1=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tập giá trị là $T=[0;2]$, không phải $[-2;5]$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{5}{2}\sin \left[\frac{\pi }{180}(x+89)\right]+\frac{69}{5}$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sin \left[\frac{\pi }{180}(x+89)\right]=1$, tức $\frac{\pi }{180}(x+89)=\frac{\pi }{2}+k\pi$ với $k\in \mathbb{Z}$, suy ra $x+89=90+180k$, tức $x=1+180k$. Với $1\le x\le 365$, các giá trị thỏa mãn là $x=1$ và $x=181$. Ngày đầu tiên trong năm đạt số giờ ánh sáng lớn nhất là ngày thứ $1$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=-\tan \left(7x+\frac{\pi }{7}\right)$ có dạng $y=a\tan (bx+c)$ với $b=7$. Chu kỳ tuần hoàn của hàm số dạng này là $T=\frac{\pi }{|b|}=\frac{\pi }{7}$. Vậy đáp án là A.

Điều kiện xác định: $3x+5\pi \ne \frac{\pi }{2}+k\pi \iff 3x\ne -\frac{9\pi }{2}+k\pi \iff x\ne -\frac{3\pi }{2}+k\frac{\pi }{3},k\in \mathbb{Z}$. Tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{-\frac{3}{2}\pi +k\frac{1}{3}\pi \right\}$. Chọn đáp án D.

a) Hàm số lượng giác $y=-4\sin \left(2x+\frac{\pi }{10}\right)-1$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên $D=\mathbb{R}$. Khẳng định $D=[-2;2]$ là Sai. b) Vì $-1\le \sin \left(2x+\frac{\pi }{10}\right)\le 1$ nên giá trị lớn nhất là $y_{\max }=-4(-1)-1=3$. Khẳng định là Đúng. c) Giá trị nhỏ nhất là $y_{\min }=-4(1)-1=-5$. Khẳng định là Đúng. d) Tập giá trị của hàm số là $T=[-5;3]$. Khẳng định $T=[-6;6]$ là Sai.
a) Hàm số lượng giác $y=-4\sin \left(2x+\frac{\pi }{10}\right)-1$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên $D=\mathbb{R}$. Khẳng định $D=[-2;2]$ là Sai.
b) Vì $-1\le \sin \left(2x+\frac{\pi }{10}\right)\le 1$ nên giá trị lớn nhất là $y_{\max }=-4(-1)-1=3$. Khẳng định là Đúng.
c) Giá trị nhỏ nhất là $y_{\min }=-4(1)-1=-5$. Khẳng định là Đúng.
d) Tập giá trị của hàm số là $T=[-5;3]$. Khẳng định $T=[-6;6]$ là Sai.

Chu kỳ tuần hoàn của hàm số dạng $y=A\tan (\omega x+\phi )$ là $T=\frac{\pi }{|\omega |}$. Với $\omega =9$, ta có $T=\frac{\pi }{9}$. Chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $y=\frac{1}{\cos x}$ xác định khi $\cos x\ne 0$. Ta có $\cos x=0⟺x=\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số $d(t)=3\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]+12$ đạt giá trị nhỏ nhất khi $\sin \left[\frac{\pi }{182}(t-80)\right]=-1$, tức là $\frac{\pi }{182}(t-80)=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$, suy ra $t-80=-91+364k$, tức $t=-11+364k$, $k\in \mathbb{Z}$. Với $k=0$: $t=-11$ (không thỏa $0<t\le 365$). Với $k=1$: $t=353$ (thỏa mãn). Với $k=2$: $t=717>365$ (loại). Vậy ngày thứ $353$ trong năm, thành phố $T$ có ít giờ có ánh sáng mặt trời nhất (khi đó $d(353)=3\cdot (-1)+12=9$ giờ). Bạn An nên chọn đi vào ngày thứ $353$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số chẵn thỏa mãn $f(-x)=f(x)$. Ta có: $\sin (-x)=-\sin x$ (lẻ); $\cos (-x)=\cos x$ (chẵn); $\tan (-x)=-\tan x$ (lẻ); $\cot (-x)=-\cot x$ (lẻ). Vậy hàm số chẵn là $y=\cos x$, chọn B.

(AI giải đề cho tôi)
Đối xứng qua trục hoành nghĩa là thay $y$ bằng $-y$: đồ thị cần tìm có phương trình $y=-\cos x$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\tan 2x-1$ (khi $\cos 2x\ne 0$).
a) $f\left(\frac{\pi }{8}\right)=\tan \frac{\pi }{4}-1=1-1=0$ → đúng.
b) $f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\tan \frac{2\pi }{3}-1=-\sqrt{3}-1$ → đúng.
c) $\tan 2x$ tuần hoàn với chu kì $\frac{\pi }{2}$, nên $f\left(x+\frac{\pi }{2}\right)=f(x)$ → hàm tuần hoàn, đúng.
d) $f(x)=-2\iff \tan 2x=-1\iff 2x=-\frac{\pi }{4}+k\pi \iff x=-\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}$. Với $x\in (0;\pi )$: $k=1\Rightarrow x=\frac{3\pi }{8}$; $k=2\Rightarrow x=\frac{7\pi }{8}$; $k=3\Rightarrow x=\frac{11\pi }{8}>\pi$ (loại). Vậy chỉ có 2 giá trị, không phải 3 → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f\left(\frac{\pi }{8}\right)=\tan \frac{\pi }{4}-1=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f\left(\frac{\pi }{3}\right)=\tan \frac{2\pi }{3}-1=-\sqrt{3}-1$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f$ có chu kì $T=\frac{\pi }{2}$ vì $\tan 2\left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\tan (2x+\pi )=\tan 2x$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\tan 2x=-1\Rightarrow x=-\frac{\pi }{8}+\frac{k\pi }{2}$; trong $(0;\pi )$ chỉ có $x=\frac{3\pi }{8},\frac{7\pi }{8}$, tức 2 giá trị.

(AI giải đề cho tôi)
Xét $f(x)=\sin 2x$.
a) $f(-x)=\sin (-2x)=-\sin 2x=-f(x)$, nên hàm số là hàm lẻ, không phải hàm chẵn → mệnh đề sai (chu kì $\pi$ đúng nhưng hàm không chẵn).
b) $\sin 2x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên tập xác định là $D=\mathbb{R}$, không phải $\mathbb{R}\setminus \{k\pi \}$ → sai.
c) Công thức đúng là $\sin 2x=2\sin x\cos x$, còn $\sin x\cos x=\frac{1}{2}\sin 2x\ne \sin 2x$ → sai.
d) Giải $\sin 2x=-\frac{1}{2}$ với $x\in (0;\pi )$, tức $2x\in (0;2\pi )$: $2x=\frac{7\pi }{6}$ hoặc $2x=\frac{11\pi }{6}$, suy ra $x=\frac{7\pi }{12}$ hoặc $x=\frac{11\pi }{12}$. Tổng $x_1+x_2=\frac{7\pi }{12}+\frac{11\pi }{12}=\frac{18\pi }{12}=\frac{3\pi }{2}$ → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
f(-x) = -f(x) nên hàm lẻ, không chẵn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tập xác định là D = ℝ.
c) (AI giải đề cho tôi)
Đúng phải là sin2x = 2sinx cosx.
d) (AI giải đề cho tôi)
Nghiệm x = 7π/12 và 11π/12, tổng bằng 3π/2.

(AI giải đề cho tôi)
Từ đồ thị: đường cong đi qua gốc $O(0;0)$, có chu kỳ $4\pi$, đạt giá trị nhỏ nhất $-1$ tại $x=\pi$ và giá trị lớn nhất $1$ tại $x=3\pi$. Kiểm tra các phương án: $y=\sin \frac{x}{2}$ có $y(\pi )=1$ (loại A); $y=\cos \frac{x}{2}$ có $y(0)=1\ne 0$ (loại B); $y=-\cos \frac{x}{4}$ có $y(0)=-1\ne 0$ và chu kỳ $8\pi$ (loại C); $y=\sin \left(-\frac{x}{2}\right)=-\sin \frac{x}{2}$ có $y(0)=0$, $y(\pi )=-1$, $y(3\pi )=1$, chu kỳ $4\pi$ — khớp hoàn toàn với đồ thị. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
a) $f(\pi /4)=\sin (\pi /2)-1=1-1=0$ đúng. b) $\sin 2x$ tuần hoàn chu kỳ $\pi$ nên $f$ tuần hoàn chu kỳ $T=\pi$ đúng. c) $\sin 2x$ xác định với mọi $x$ nên $D=\mathbb{R}$ đúng. d) $f(x)=-1\iff \sin 2x=0\iff 2x=k\pi \iff x=\frac{k\pi }{2}$. Trên $[0;\pi ]$ có $x=0,\frac{\pi }{2},\pi$: 3 nghiệm, nên khẳng định 'đúng 2 nghiệm' sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(\pi /4)=\sin (\pi /2)-1=1-1=0$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f(x+\pi )=\sin (2x+2\pi )-1=\sin 2x-1=f(x)$, chu kỳ $T=\pi$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\sin 2x$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên $D=\mathbb{R}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\sin 2x=0\Rightarrow x=k\pi /2$; trên $[0;\pi ]$ có 3 nghiệm $x=0,\pi /2,\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Hàm số chẵn thỏa mãn $f(-x)=f(x)$ với mọi $x$ thuộc tập xác định. Xét từng hàm: $y=\sin x$ có $\sin (-x)=-\sin x$, là hàm lẻ. $y=\tan x$ có $\tan (-x)=-\tan x$, là hàm lẻ. $y=\cot x$ có $\cot (-x)=-\cot x$, là hàm lẻ. $y=\cos x$ có $\cos (-x)=\cos x$ với mọi $x\in \mathbb{R}$, nên là hàm số chẵn. Vậy đáp án là D.