Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hàm lượng giác (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
a) Dùng công thức cộng: 2cos(2x−π/3)=2cos2x·cos(π/3)+2sin2x·sin(π/3)=cos2x+√3sin2x → đúng. b) f(π/4)=2cos(π/2−π/3)+1=2cos(π/6)+1=√3+1 ≠ 2+√3 → sai. c) Vì cos(2x−π/3)∈[−1;1] nên f(x)∈[−1;3] → đúng. d) f(x)=2 ⇔ cos(2x−π/3)=1/2 ⇔ 2x−π/3=±π/3+2kπ ⇔ x=kπ hoặc x=π/3+kπ. Trên [0;π] có x=0, x=π/3, x=π: đúng 3 nghiệm → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
2cos(2x−π/3)=2cos2x·(1/2)+2sin2x·(√3/2)=cos2x+√3sin2x.
b) (AI giải đề cho tôi)
f(π/4)=2cos(π/6)+1=√3+1, không bằng 2+√3.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì −1≤cos(2x−π/3)≤1 nên −1≤f(x)≤3, tập giá trị là [−1;3].
d) (AI giải đề cho tôi)
cos(2x−π/3)=1/2 cho x=kπ hoặc x=π/3+kπ; trong [0;π] có x=0, π/3, π: đúng 3 nghiệm.

a) Đúng. Hàm số $f(x)=\cos 4x+2026$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên có tập xác định là $\mathbb{R}$.
b) Đúng. Hàm số $y=\cos 4x$ tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ nên $f(x)$ tuần hoàn với chu kì $T=\frac{\pi }{2}$.
c) Sai. Với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $-x\in \mathbb{R}$ và $f(-x)=\cos (-4x)+2026=\cos 4x+2026=f(x)$ nên $f(x)$ là hàm số chẵn. Mặt khác $f(0)=2027\ne 0$ nên $f(x)$ không phải là hàm số lẻ.
d) Sai. Vì $\cos 4x\le 1$ nên $f(x)\le 2027$, dấu bằng xảy ra khi $\cos 4x=1$, chẳng hạn $x=0$. Vậy giá trị lớn nhất của $f(x)$ là 2027.
a) Đúng. Hàm số $f(x)=\cos 4x+2026$ xác định với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên có tập xác định là $\mathbb{R}$.
b) Đúng. Hàm số $y=\cos 4x$ tuần hoàn với chu kì $T=\frac{2\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$ nên $f(x)$ tuần hoàn với chu kì $T=\frac{\pi }{2}$.
c) Sai. Với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì $-x\in \mathbb{R}$ và $f(-x)=\cos (-4x)+2026=\cos 4x+2026=f(x)$ nên $f(x)$ là hàm số chẵn. Mặt khác $f(0)=2027\ne 0$ nên $f(x)$ không phải là hàm số lẻ.
d) Sai. Vì $\cos 4x\le 1$ nên $f(x)\le 2027$, dấu bằng xảy ra khi $\cos 4x=1$, chẳng hạn $x=0$. Vậy giá trị lớn nhất của $f(x)$ là 2027.

Đồ thị đi qua điểm $(0;1)$ và đạt giá trị lớn nhất bằng 1 tại $x=0$ nên đó là đồ thị hàm số $y=\cos x$. Chọn B.

a) Đúng. Hàm số $y=\tan x$ xác định khi $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.

b) Sai. Ta có $\tan \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-1\ne \tan \frac{\pi }{4}=1$ nên hàm số $y=\tan x$ không phải là hàm số chẵn (thực tế $y=\tan x$ là hàm số lẻ).

c) Sai. $f(x)=\sqrt{3}\iff \tan x=\sqrt{3}=\tan \frac{\pi }{3}\iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

d) Đúng. $0<\frac{\pi }{3}+k\pi <2\pi \iff -\frac{1}{3}<k<\frac{5}{3}$, mà $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \{0;1\}$. Các nghiệm trong khoảng $(0;2\pi )$ là $\frac{\pi }{3}$ và $\frac{4\pi }{3}$, có tổng bằng $\frac{\pi }{3}+\frac{4\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$.
a) Đúng. Hàm số $y=\tan x$ xác định khi $\cos x\ne 0\iff x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$. Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{\frac{\pi }{2}+k\pi \mid k\in \mathbb{Z}\right\}$.
b) Sai. Ta có $\tan \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-1\ne \tan \frac{\pi }{4}=1$ nên hàm số $y=\tan x$ không phải là hàm số chẵn (thực tế $y=\tan x$ là hàm số lẻ).
c) Sai. $f(x)=\sqrt{3}\iff \tan x=\sqrt{3}=\tan \frac{\pi }{3}\iff x=\frac{\pi }{3}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}$.
d) Đúng. $0<\frac{\pi }{3}+k\pi <2\pi \iff -\frac{1}{3}<k<\frac{5}{3}$, mà $k\in \mathbb{Z}$ nên $k\in \{0;1\}$. Các nghiệm trong khoảng $(0;2\pi )$ là $\frac{\pi }{3}$ và $\frac{4\pi }{3}$, có tổng bằng $\frac{\pi }{3}+\frac{4\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$.

Quan sát đồ thị, trên khoảng $(\pi ;2\pi )$ đồ thị đi lên từ trái sang phải nên hàm số $y=\cos x$ đồng biến trên khoảng $(\pi ;2\pi )$. Chọn C.

Hàm số xác định khi và chỉ khi mẫu số khác $0$:
$1-\cos x\ne 0\iff \cos x\ne 1\iff x\ne k2\pi (k\in \mathbb{Z})$

Hàm số $y=\frac{1}{\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)}$ xác định khi và chỉ khi:
$\sin \left(x-\frac{\pi }{2}\right)\ne 0⟺x-\frac{\pi }{2}\ne k\pi ⟺x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ⟺x\ne (1+2k)\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.
Vậy $D=\mathbb{R}\setminus \left\{(1+2k)\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$. Chọn C.

Trên đoạn $[-\frac{2\pi }{3};\frac{\pi }{6}]$, điểm $x=0$ thuộc đoạn nên giá trị lớn nhất là $\cos 0=1$. Tại $x=-\frac{2\pi }{3}$, $\cos (-\frac{2\pi }{3})=-\frac{1}{2}$. Do đó GTLN và GTNN lần lượt là $1$ và $-\frac{1}{2}$.

Chu kì tuần hoàn của hàm số $y=\sin (\omega x+\phi )$ là $T=\frac{2\pi }{|\omega |}=\frac{2\pi }{|-5|}=\frac{2\pi }{5}$.

Ta có $y^{\prime }=2\cos x$. Trên khoảng $(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2})$, $\cos x<0⟹y^{\prime }<0$. Do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2})$.

Tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}\setminus \{\frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\}$, do đó (1) sai.
Với mọi $x\in D$ thì $-x\in D$ và $f(-x)=\frac{{\tan }^{2018}(-x)+2018}{{\cos }^{2017}(-x)}=\frac{(-\tan x{)}^{2018}+2018}{(\cos x{)}^{2017}}=\frac{{\tan }^{2018}x+2018}{{\cos }^{2017}x}=f(x)$. Do đó $f(x)$ là hàm số chẵn, suy ra (3) đúng.
Vì hàm số chẵn nên đồ thị nhận trục tung $Oy$ làm trục đối xứng, suy ra (2) đúng.
Các mệnh đề (4), (5), (6) đều sai. Vậy có đúng 2 mệnh đề đúng.

Tại $x=0$, đồ thị đi qua điểm $(0;-1)$. Thay $x=0$ vào các phương án: $-\cos 0=-1$. Các phương án khác đều cho giá trị bằng $1$. Do đó hàm số là $y=-\cos x$.

Điều kiện xác định: $\cos 2x\ne 0⟺2x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ⟺x\ne \frac{\pi }{4}+k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$ (chọn theo đáp án đề thi).

Đồ thị Hình 1 là hàm số $y=\sin 3x$ có tập giá trị $[-1;1]$.
Đồ thị Hình 2 là một đường hình sin trơn tiếp xúc với trục hoành từ phía trên (giá trị nhỏ nhất bằng 0, giá trị lớn nhất bằng 2), thu được bằng cách tịnh tiến đồ thị Hình 1 lên trên 1 đơn vị theo phương trục tung.
Do đó Hình 2 là đồ thị hàm số $y=1+\sin 3x$.

Hàm số $y=\cot 2x$ có chu kì tuần hoàn là $T=\frac{\pi }{2}$, do đó khẳng định D: "Hàm số $y=\cot 2x$ tuần hoàn với chu kì $T=\pi$" là sai.

Xét hàm số $y=\sqrt{2+2\cos x}$:
Vì $-1\le \cos x\le 1⟹2+2\cos x\ge 0$ đúng với mọi $x\in \mathbb{R}$.
Do đó tập xác định của hàm số là $D=\mathbb{R}$.
Các phương án khác:
- A: xác định khi $\sin x\ne 0$.
- C: xác định khi $\sin 3x\ne 0$ và $\cos x\ne 0$.
- D: xác định khi $x\ge 0$.
Chọn B.

Hàm số xác định khi và chỉ khi:
$\{\begin{array}{l}\sin 2x\ne 0\\ \cos x\ne 0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}2x\ne k\pi \\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}⟺\{\begin{array}{l}x\ne k\frac{\pi }{2}\\ x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi \end{array}⟺x\ne k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.
Vậy tập xác định là $D=\mathbb{R}\setminus \left\{k\frac{\pi }{2},k\in \mathbb{Z}\right\}$. Chọn D.

Xét hàm số $y=\cos x$ trên $(-\pi ;0)$:
Với mọi $x_1,x_2\in (-\pi ;0)$ mà $x_1<x_2$, ta có $\cos x_1<\cos x_2$.
Do đó hàm số $y=\cos x$ đồng biến trên $(-\pi ;0)$ (và các khoảng $(-\pi +k2\pi ;k2\pi )$). Chọn A.

Vì $2\cos x-\sin x+4\ge 4-\sqrt{2^2+(-1{)}^2}=4-\sqrt{5}>0$ nên hàm số xác định trên $\mathbb{R}$.
Phương trình tương đương:
$y(2\cos x-\sin x+4)=\cos x+2\sin x+3⟺(2y+1)\sin x+(1-2y)\cos x=4y-3$.
Phương trình có nghiệm khi và chỉ khi:
$(2y+1{)}^2+(1-2y{)}^2\ge (4y-3{)}^2⟺8y^2+2\ge 16y^2-24y+9⟺8y^2-24y+7\le 0$.
Giải bất phương trình: $\frac{6-\sqrt{22}}{4}\le y\le \frac{6+\sqrt{22}}{4}$.
Vì $\frac{6-\sqrt{22}}{4}\approx 0,33$ và $\frac{6+\sqrt{22}}{4}\approx 2,67$, các giá trị nguyên của $y$ là $y\in \{1,2\}$.
Có 2 giá trị nguyên thỏa mãn. Chọn B.

Quan sát đồ thị đã cho:
- Tại $x=0$, đồ thị đi qua điểm $(0;1)$, suy ra hàm số thỏa mãn $y(0)=1$. Ta có $\cos 0=1$, trong khi $\sin 0=0$, $\tan 0=0$.
- Đồ thị đối xứng qua trục tung $Oy$, là đồ thị của một hàm số chẵn.
- Đồ thị đi qua các điểm $\left(\pm \frac{\pi }{2};0\right)$, $(\pm \pi ;-1)$.
Do đó đây là đồ thị của hàm số $y=\cos x$. Chọn A.