Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác ABC, tổng ba góc bằng 180° nên góc A = 180° - 68° - 75° = 37°. Theo định lý sin: AB/sin C = BC/sin A, suy ra AB = BC·sin C / sin A = 50·sin 75° / sin 37°. Tính: sin 75° ≈ 0,9659; sin 37° ≈ 0,6018. Vậy AB ≈ 50·0,9659/0,6018 ≈ 80,25 m, làm tròn đến hàng đơn vị ta được AB ≈ 80 m.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{25+64-49}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$. Suy ra $A=60^{\circ }$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=2^2+5^2-2\cdot 2\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=4+25-20\cdot \frac{1}{2}=29-10=19$. Vậy $BC=\sqrt{19}$, chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{16+36-28}{2\cdot 4\cdot 6}=\frac{24}{48}=\frac{1}{2}$, nên $B=60^{\circ }$.

Vì $MC=2MB$ và $MB+MC=BC=6$ nên $MB=2$, $MC=4$.

Áp dụng định lí cosin trong tam giác $ABM$:
$$A{M}^2=A{B}^2+M{B}^2-2\cdot AB\cdot MB\cdot \cos B=16+4-2\cdot 4\cdot 2\cdot \frac{1}{2}=12$$
Vậy $AM=2\sqrt{3}$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $b=8,c=5,\cos A=\frac{4}{5}$ và $0<A<\pi$ nên $\sin A=\frac{3}{5}$. Diện tích: $S=\frac{1}{2}bc\sin A=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{3}{5}=12$. Định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A=64+25-2\cdot 8\cdot 5\cdot \frac{4}{5}=89-64=25\Rightarrow a=5$. Chiều cao: $h_a=\frac{2S}{a}=\frac{24}{5}$. Đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ: AB = 20·2 = 40 hải lí, AC = 30·2 = 60 hải lí, góc BAC = 60°. Theo định lí cosin: BC² = AB² + AC² − 2·AB·AC·cos60° = 1600 + 3600 − 2·40·60·(1/2) = 2800, nên BC = √2800 = 20√7 ≈ 52,92 hải lí. Kết quả gần nhất với 53 hải lí.

(AI giải đề cho tôi)
AB = √(AH²+HB²) = √(16+400) = 4√26 ≈ 20,396 m. Góc AB tạo với phương ngang: tan = 4/20 = 0,2 nên góc ≈ 11,31°. Vì BC là thân cây (thẳng đứng), góc ABC = 90° − 11,31° = 78,69°. Trong tam giác ABC: góc C = 180° − 45° − 78,69° = 56,31°. Theo định lí sin: BC = AB·sin45°/sin56,31° ≈ 20,396·0,7071/0,8321 ≈ 17,33 m. Gần nhất với 17,5 m.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 6: Cho tam giác $ABC$ có $AB=6$, $AC=8$, góc $A=120^{\circ }$.

a) Diện tích:
$$S=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot \sin 120^{\circ }=24\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=12\sqrt{3}.$$

b) Độ dài cạnh $BC$ theo định lí cosin:
$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=36+64-2\cdot 6\cdot 8\cdot \cos 120^{\circ }=100-96\cdot \left(-\frac{1}{2}\right)=148.$$
Suy ra $BC=\sqrt{148}=2\sqrt{37}$.

Đường cao $AH$: dùng công thức $S=\frac{1}{2}BC\cdot AH$:
$$AH=\frac{2S}{BC}=\frac{24\sqrt{3}}{2\sqrt{37}}=\frac{12\sqrt{3}}{\sqrt{37}}=\frac{12\sqrt{111}}{37}\approx 3,42.$$

Kết luận: $S=12\sqrt{3}$; $BC=2\sqrt{37}$; $AH=\frac{12\sqrt{111}}{37}\approx 3,42$.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 7: Tam giác ABC có A=30°, B=120°, b=8.

a) Tổng ba góc: C = 180° - 30° - 120° = 30°. Vì A = C = 30° nên tam giác cân tại B, suy ra a = b = 8.

Áp dụng định lý sin: $\frac{c}{\sin C}=\frac{b}{\sin B}\Rightarrow c=\frac{b\sin C}{\sin B}=\frac{8\cdot \sin 30^{\circ }}{\sin 120^{\circ }}=\frac{8\cdot \frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

Vậy $a=8$, $c=\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

b) Bán kính đường tròn ngoại tiếp: $R=\frac{b}{2\sin B}=\frac{8}{2\sin 120^{\circ }}=\frac{8}{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{8}{\sqrt{3}}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$.

c) Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot \frac{8\sqrt{3}}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\cdot 8\cdot \frac{8}{2}=16$.

Vậy $S_{ABC}=16$ (đơn vị diện tích).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$. So sánh với $a^2=b^2+c^2+bc\sqrt{2}$ ta có $-2bc\cos A=bc\sqrt{2}$, suy ra $\cos A=-\frac{\sqrt{2}}{2}$. Vì $0^{\circ }<A<180^{\circ }$ nên $A=135^{\circ }$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
S = 1/2·AB·AC·sin120° = 1/2·8·5·(√3/2) = 10√3 → a đúng. BC² = AB²+AC²−2·AB·AC·cos120° = 64+25+40 = 129 nên BC = √129 ≠ 7 → b sai. R = BC/(2sin120°) = √129/√3 = √43 → c đúng. Với AM = 4: MC² = AM²+AC²−2·AM·AC·cos120° = 16+25+20 = 61 nên MC = √61 → d đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
S = 1/2·8·5·sin120° = 10√3.
b) (AI giải đề cho tôi)
BC² = 64+25−2·8·5·cos120° = 129, nên BC = √129 ≠ 7.
c) (AI giải đề cho tôi)
R = BC/(2sin120°) = √129/√3 = √43.
d) (AI giải đề cho tôi)
MC² = 4²+5²−2·4·5·cos120° = 16+25+20 = 61, nên MC = √61.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $A{B}^2=B{C}^2+A{C}^2-2\cdot BC\cdot AC\cdot \cos 60^{\circ }=16+36-24=28\Rightarrow AB=2\sqrt{7}$, ý a) đúng. Đường cao ứng với cạnh $BC$: $h_a=AC\cdot \sin 60^{\circ }=6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}\ne 2\sqrt{3}$, ý b) sai. Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AC\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=6\sqrt{3}\approx 10,39\ne 6$, ý c) sai. Nửa chu vi $p=\frac{4+6+2\sqrt{7}}{2}=5+\sqrt{7}$, nên $r=\frac{S}{p}=\frac{6\sqrt{3}}{5+\sqrt{7}}=\frac{6\sqrt{3}(5-\sqrt{7})}{18}=\frac{\sqrt{3}(5-\sqrt{7})}{3}\approx 1,36\ne \frac{2\sqrt{21}}{3}\approx 3,06$, ý d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$A{B}^2=4^2+6^2-2\cdot 4\cdot 6\cos 60^{\circ }=28\Rightarrow AB=2\sqrt{7}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$h_a=AC\sin 60^{\circ }=3\sqrt{3}\ne 2\sqrt{3}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\sin 60^{\circ }=6\sqrt{3}\ne 6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$r=\frac{6\sqrt{3}}{5+\sqrt{7}}=\frac{\sqrt{3}(5-\sqrt{7})}{3}\approx 1,36\ne \frac{2\sqrt{21}}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos \hat{B}=25+64-2\cdot 5\cdot 8\cdot \cos 60^{\circ }=89-40=49$, nên $AC=7$. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A$. Suy ra $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{25+64-49}{2\cdot 5\cdot 8}=\frac{40}{80}=\frac{1}{2}$. Vì $0^{\circ }<A<180^{\circ }$ nên $A=60^{\circ }$. Vậy $a=60$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin A}=2R\Rightarrow 2R=\frac{10}{\sin 60^{\circ }}=\frac{10}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{20}{\sqrt{3}}\Rightarrow R=\frac{10}{\sqrt{3}}$. Vậy đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Sau 2 giờ, tàu thứ nhất đi được $AB=15\cdot 2=30$ hải lí, tàu thứ hai đi được $AC=12\cdot 2=24$ hải lí, với góc $BAC=45°$. Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos 45°=900+576-2\cdot 30\cdot 24\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=1476-720\sqrt{2}\approx 457,77$. Suy ra $BC\approx 21,4\approx 21$ hải lí.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác $ABC$ có $BC=a=4$, $AB=c=6$, $AC=b=8$.

a) Theo định lý cosin: $\cos B=\frac{A{B}^2+B{C}^2-A{C}^2}{2\cdot AB\cdot BC}=\frac{36+16-64}{48}=-\frac{1}{4}$, nên $\sin B=\sqrt{1-\frac{1}{16}}=\frac{\sqrt{15}}{4}$. Diện tích $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}=3\sqrt{15}c{m}^2$. → Đúng.

b) Vì $\cos B=-\frac{1}{4}<0$ nên góc $B$ tù (kiểm tra $\cos A=\frac{36+64-16}{96}=\frac{7}{8}>0$, $\cos C=\frac{64+16-36}{64}=\frac{11}{16}>0$). Vậy tam giác tù. → Đúng.

c) $\cos B=-\frac{1}{4}$, không phải $\frac{1}{4}$. → Sai.

d) Định lý sin: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$, tức $\frac{4}{\sin A}=\frac{6}{\sin C}$. → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\cos B=\frac{36+16-64}{48}=-\frac{1}{4}$, $\sin B=\frac{\sqrt{15}}{4}$, $S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 4\cdot \frac{\sqrt{15}}{4}=3\sqrt{15}c{m}^2$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\cos B=-\frac{1}{4}<0$ nên góc $B$ tù; tam giác là tam giác tù.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\cos B=-\frac{1}{4}$ (âm), không phải $\frac{1}{4}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Định lý sin: $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$, tức $\frac{4}{\sin A}=\frac{6}{\sin C}$.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có $\hat{C}=180^{\circ }-45^{\circ }-75^{\circ }=60^{\circ }$. Theo định lí sin: $\frac{BC}{\sin 45^{\circ }}=\frac{AB}{\sin 60^{\circ }}$ nên $BC=13\cdot \frac{\sin 45^{\circ }}{\sin 60^{\circ }}=13\sqrt{\frac{2}{3}}\approx 10,614$ cm. Diện tích: $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin 75^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 13\sqrt{\frac{2}{3}}\cdot \sin 75^{\circ }\approx 66,7\approx 67c{m}^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Trong tam giác $ABC$ có $\hat{C}=180^{\circ }-50^{\circ }-60^{\circ }=70^{\circ }$. Theo định lý sin: $\frac{BC}{\sin \hat{A}}=\frac{AB}{\sin \hat{C}}$, nên $BC=\frac{105\cdot \sin 50^{\circ }}{\sin 70^{\circ }}\approx \frac{105\cdot 0,7660}{0,9397}\approx 85,57\approx 86$ m. Vậy con tàu cách người $B$ khoảng $86$ m.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \widehat{BAC}=13^2+15^2-2\cdot 13\cdot 15\cdot \cos 60^{\circ }=169+225-195=199$. Suy ra $BC=\sqrt{199}\approx 14,1m$. Diện tích tam giác: $S=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 15\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{195\sqrt{3}}{4}\approx 84,4m^2$. Vậy chiều dài hàng rào $BC\approx 14,1m$ và diện tích khu vườn $\approx 84,4m^2$.