Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Hệ thức lượng trong tam giác (Toán học Lớp 10)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin trong tam giác $ABC$: $\frac{AC}{\sin B}=\frac{AB}{\sin C}$. Suy ra $AC=AB\cdot \frac{\sin 30^{\circ }}{\sin 45^{\circ }}=5\cdot \frac{1/2}{\sqrt{2}/2}=\frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$. Kết quả khớp với đáp án A trong đề và bảng đáp án (Câu 13, mã đề 111: A).

Giải. Quãng đường xe thứ nhất đi được là $AB=75km$; Xe thứ hai đi được là $60km$. Khoảng cách giữa hai xe là $BC=\sqrt{75^2+60^2-75\times 60}=15\sqrt{21}km$. (Điểm: 0.3+0.3; 0.4)

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng khẳng định với định lý cosin, định lý sin và công thức diện tích: A sai vì đúng phải là $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ (góc B đi với hai cạnh kề $a,c$). B sai vì $S=\frac{abc}{4R}$, không phải $2R$. C sai vì $\frac{b^2-c^2+a^2}{2bc}$ không phải công thức của $\sin A$; đúng là $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$. D đúng theo định lý sin: $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$. Khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=9+16-24\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=25-12\sqrt{3}\approx 4,215$, nên $b\approx 2,05$ cm (không phải 2,5 cm) → a) Sai. Diện tích $S=\frac{1}{2}ac\sin B=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot \frac{1}{2}=3$ cm² → b) Đúng. Nửa chu vi $p=\frac{3+4+2,05}{2}\approx 4,53$ cm, nên $r=\frac{S}{p}\approx \frac{3}{4,53}\approx 0,66\approx 0,7$ cm → c) Đúng. Đường trung tuyến từ B: $m_b=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}=\frac{1}{2}\sqrt{18+32-4,215}\approx \frac{1}{2}\sqrt{45,785}\approx 3,39$ cm $\ne 4,02$ cm → d) Sai. Kết quả khớp bảng đáp án mã đề 008: SĐĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$b^2=25-12\sqrt{3}\approx 4,215\Rightarrow b\approx 2,05$ cm, không phải $2,5$ cm.
b) (AI giải đề cho tôi)
$S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4\cdot \sin 30^{\circ }=3$ cm².
c) (AI giải đề cho tôi)
$p\approx 4,53$ cm, $r=S/p\approx 0,66\approx 0,7$ cm.
d) (AI giải đề cho tôi)
$m_b=\frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}\approx 3,39$ cm $\ne 4,02$ cm.

(AI giải đề cho tôi)
Xét từng khẳng định với tam giác $ABC$ có $AB=c$, $AC=b$, $BC=a$:
- A sai: công thức diện tích đúng là $S=\frac{abc}{4R}$ (vì $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ và $\sin A=\frac{a}{2R}$ nên $S=\frac{abc}{4R}$), không phải $\frac{abc}{2R}$.
- B đúng: theo định lí sin, $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$, nên $\frac{b}{\sin B}=2R$.
- C sai: theo định lí cos, $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$, còn $\sin A$ không có biểu thức như đề (biểu thức đã cho chính là $\cos A$ với dấu khác).
- D sai: định lí cos cho góc $B$ là $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ (tích $ac$, không phải $bc$).
Vậy khẳng định đúng là B, trùng với đáp án nguồn (mã đề 008, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí sin, $\frac{a}{\sin A}=2R$, do đó $R=\frac{a}{2\sin A}$, không phải $R=\frac{a}{\sin A}$ nên phát biểu B sai. Các phát biểu còn lại đều đúng: $S=\frac{abc}{4R}$ (hệ quả định lí sin), $S=\frac{1}{2}ab\sin C$ (công thức diện tích), $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ (định lí cosin). Khớp với đáp án nguồn B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=8^2+5^2-2\cdot 8\cdot 5\cdot \cos 60^{\circ }=64+25-40=49$, nên $b=7$. Đáp án A, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Nửa chu vi p=(14+13+15)/2=21. Diện tích theo công thức Heron: S=√(21·8·7·6)=√7056=84, nên ý a) sai (39≠84). Bán kính nội tiếp r=S/p=84/21=4, ý b) đúng. Đường cao ứng với cạnh AB: h=2S/AB=168/14=12, ý c) đúng. Góc lớn nhất đối diện cạnh lớn nhất BC=15: BC²=225 < AB²+AC²=196+169=365, nên tam giác nhọn, ý d) đúng. Kết quả khớp đáp án nguồn: a) S, b) Đ, c) Đ, d) Đ.
a) (AI giải đề cho tôi)
p=21, S=√(21·8·7·6)=84≠39 nên sai.
b) (AI giải đề cho tôi)
r=S/p=84/21=4 nên đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
h_AB=2S/AB=168/14=12 nên đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
BC²=225<AB²+AC²=365 nên góc lớn nhất nhọn, tam giác có 3 góc nhọn.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: theo bảng giá trị lượng giác, $\sin 90^{\circ }=1$. b) Sai: với $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$ thì $\tan \alpha >0$ (tan dương ở góc nhọn). c) Đúng: định lí côsin trong tam giác $ABC$ với $BC=a,CA=b,AB=c$, áp dụng cho đỉnh $B$: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B\Rightarrow \cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$. d) Sai: $MC=2MA$ và $AC=9$ nên $MA=3$, $MC=6$. Định lí côsin tại $A$: $\cos A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2\cdot AB\cdot AC}=\frac{16+81-49}{72}=\frac{2}{3}$. Khi đó $M{B}^2=A{B}^2+A{M}^2-2\cdot AB\cdot AM\cdot \cos A=16+9-2\cdot 4\cdot 3\cdot \frac{2}{3}=25-16=9$, suy ra $MB=3cm\ne 9cm$. Khớp bảng đáp án mã đề 102: DSDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Theo bảng giá trị lượng giác, $\sin 90^{\circ }=1$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với góc nhọn $0^{\circ }<\alpha <90^{\circ }$, $\tan \alpha >0$, không phải $\tan \alpha <0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Định lí côsin: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$, suy ra $\cos B=\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$MA=3$, $MC=6$; $\cos A=\frac{16+81-49}{72}=\frac{2}{3}$; $M{B}^2=16+9-2\cdot 4\cdot 3\cdot \frac{2}{3}=9$ nên $MB=3cm\ne 9cm$.

Đáp án theo bảng đáp án: a) Đúng, b) Sai, c) Đúng, d) Sai (DSSD).

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $BH=x$ thì $AH=x+5$. Trong tam giác vuông: $h=x\tan 35^{\circ }=(x+5)\tan 55^{\circ }$. Suy ra $x(\tan 55^{\circ }-\tan 35^{\circ })=5\tan 55^{\circ }$, nên $h=\frac{5\tan 55^{\circ }\tan 35^{\circ }}{\tan 55^{\circ }-\tan 35^{\circ }}=\frac{5}{\cot 35^{\circ }-\cot 55^{\circ }}\approx \frac{5}{1,4281-0,7002}\approx 6,87\approx 7$ (m). Kết quả khớp với đáp án nguồn là 7.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin trong tam giác $ABC$ với $AC=70$, $BC=100$, góc $C=60^{\circ }$: $A{B}^2=70^2+100^2-2\cdot 70\cdot 100\cos 60^{\circ }=4900+10000-7000=7900$, nên $AB=\sqrt{7900}\approx 88,882$ km. Quãng đường cũ là $70+100=170$ km, nên đường hầm ngắn hơn $170-88,882\approx 81,1$ km. Kết quả trùng với đáp số nguồn 81,1.

a) $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=2^2+3^2-2\cdot 2\cdot 3\cdot \cos 60^{\circ }$
$BC=7$ (0,5 điểm)
b) $S_{\Delta ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot AC\cdot \sin A=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 3\cdot \sin 60^{\circ }=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ (0,5 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Theo định lí cosin: $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos A=6^2+10^2-2\cdot 6\cdot 10\cdot \cos 60^{\circ }=36+100-60=76$. Suy ra $BC=\sqrt{76}=2\sqrt{19}$. Kết quả khớp với đáp án B trong bảng hướng dẫn chấm.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có a=10, b=8, c=6.
a) Nửa chu vi p=(10+8+6)/2=12 → Đúng.
Với ba cạnh này: b²+c²=64+36=100=a² nên tam giác vuông tại A (cos A=(b²+c²−a²)/(2bc)=0).
b) Diện tích S=(1/2)·b·c=(1/2)·8·6=24, nên h_a=2S/a=48/10=4,8≠4 → Sai.
c) S=24≠48 → Sai.
d) Bán kính đường tròn ngoại tiếp: R=abc/(4S)=10·8·6/(4·24)=480/96=5 (hoặc R=a/2=5 vì tam giác vuông tại A) → Đúng.
Kết quả khớp đáp án chính thức: a) Đúng, b) Sai, c) Sai, d) Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
p=(10+8+6)/2=12.
b) (AI giải đề cho tôi)
S=24 nên h_a=2S/a=48/10=4,8≠4.
c) (AI giải đề cho tôi)
Tam giác vuông tại A nên S=(1/2)·8·6=24≠48.
d) (AI giải đề cho tôi)
R=abc/(4S)=480/96=5.

(AI giải đề cho tôi)
Tam giác ABC có a=10, b=8, c=6. Vì 6²+8²=36+64=100=10² nên tam giác vuông tại A (đối diện cạnh a). a) p=(10+8+6)/2=12 → Đúng. b) Diện tích S=(1/2)·b·c=(1/2)·8·6=24, nên h_a=2S/a=48/10=4,8≠4 → Sai. c) Tam giác vuông nên R=a/2=10/2=5 → Đúng. d) S=24≠48 → Sai. Kết quả khớp đáp án chính thức ĐSDS.
a) (AI giải đề cho tôi)
p=(a+b+c)/2=(10+8+6)/2=12, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
S=(1/2)·8·6=24 nên h_a=2S/a=48/10=4,8≠4, sai.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì 6²+8²=10², tam giác vuông tại A, cạnh huyền a=10 nên R=a/2=5, đúng.
d) (AI giải đề cho tôi)
S=(1/2)·b·c=(1/2)·8·6=24≠48, sai.

Đáp án mã đề 209, câu 13: a) Sai, b) Đúng, c) Đúng, d) Đúng (SĐĐĐ).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin cho tam giác $ABC$: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=10^2+6^2-2\cdot 10\cdot 6\cdot \cos 60^{\circ }=100+36-120\cdot \frac{1}{2}=136-60=76$. Vậy $b=\sqrt{76}$, trùng với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 209, câu 2: D).

(AI giải đề cho tôi)
Áp dụng định lí cosin: $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B=10^2+6^2-2\cdot 10\cdot 6\cdot \cos 60^{\circ }=100+36-120\cdot \frac{1}{2}=136-60=76$. Vậy $b=\sqrt{76}$, khớp với đáp án D của đề (mã đề 132).