Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Khảo sát đồ thị (Toán học Lớp 12)

Chọn B.
Từ đồ thị hàm số bậc ba: Nhánh phải đi lên nên $a>0$. Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương nên $d>0$. Hai điểm cực trị có hoành độ $x_1<0<x_2$ với $|x_1|>x_2$, từ đó xác định dấu của $b$ và $c$. Kết luận có 2 số dương trong các số $a,b,c,d$.

Đường cong đã cho là dạng đồ thị hàm số bậc ba với hệ số $a>0$ (nhánh cuối cùng đi lên). Do đó hàm số cần tìm là $y=x^3-3x+1$.
Chọn đáp án C.

Chọn C.
Đường cong là đồ thị hàm số bậc ba với hệ số $a<0$ (nhánh phải đi xuống), có hai điểm cực trị tại $x=0$ và $x=2$.
Xét $y=-x^3+3x^2-1$ có $y^{\prime }=-3x^2+6x=0\iff x=0$ hoặc $x=2$, hoàn toàn phù hợp.

Chọn A.
Đồ thị có tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=1$, đi qua $(2;0)$ và $(0;-2)$ nên là đồ thị của hàm số $y=\frac{x-2}{x+1}$.

Đồ thị là hàm bậc bốn trùng phương có ${\lim }_{x\to \pm \infty }y=+\infty$ nên $a>0$, có 3 điểm cực trị nên $ab<0$, và cắt trục tung tại $(0;2)$ nên hàm số là $y=x^4-3x^2+2$.

Lời giải
Chọn A
Xét đáp án A có y' =

-4

( x - 1)

2

< 0 , \forallx $\in$ D , tiệm cận ngang là đường thẳng y = -1 , tiệm cận

đứng là đường thẳng x = 1 (thỏa đề).
4
Xét đáp án B có y' =
> 0 , \forallx $\in$ D nên loại.
2
( x - 1)
Xét đáp án C có y' =

3

( x - 1)

2

> 0 , \forallx $\in$ D nên loại.

Xét đáp án D có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 1 nên loại.
Chọn A

Lời giải

.

Chọn D
Đồ thị hàm số y = - x 4 + 2 x 2 + 3 đi qua các điểm A ( 0;3) , B (1; 4 ) , C ( -1; 4 ) .
Đồ thị ở các phương án A, B, C không đi qua điểm B nên loại các phương án A, B, C.
Đồ thị ở phương án D đi qua các điểm A, B, C . Chọn D.

Từ đồ thị, căn cứ vào tiệm cận đứng $x=-1$, tiệm cận ngang $y=1$ và giao điểm với trục $Ox(1;0)$, $Oy(0;-1)$, ta thấy hàm số $y=\frac{x-1}{x+1}$ thỏa mãn.
Chọn đáp án A.

Chọn D.
Dựa vào đồ thị hàm số $y=a{x}^4+b{x}^2+c$:
- Nhánh ngoài cùng bên phải đi lên nên $a>0$.
- Hàm số có $3$ điểm cực trị nên $a\cdot b<0⟹b<0$.
- Giao điểm của đồ thị với trục tung nằm phía dưới trục hoành nên $c<0$.
Vậy $a>0,b<0,c<0$.

Chọn C.
Giả sử $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d\Rightarrow y^{\prime }=3a{x}^2+2bx+c$.
Từ bảng biến thiên, hàm số đạt cực trị tại $x=0,x=2$ và $y(0)=-2,y(2)=6$:
Ta có hệ phương trình:
$\{<table><tbody><tr><td>y(0)=-2</td></tr><tr><td>y^{\prime }(0)=0</td></tr><tr><td>y(2)=6</td></tr><tr><td>y^{\prime }(2)=0</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>d=-2</td></tr><tr><td>c=0</td></tr><tr><td>8a+4b+2c+d=6</td></tr><tr><td>12a+4b+c=0</td></tr></tbody></table>\iff \{<table><tbody><tr><td>d=-2</td></tr><tr><td>c=0</td></tr><tr><td>a=-2</td></tr><tr><td>b=6</td></tr></tbody></table>$
Vậy $y=-2x^3+6x^2-2$.

Đồ thị hàm số có tiệm cận đứng $x=-1$ và tiệm cận ngang $y=-2$. Do đó tâm đối xứng của đồ thị là $I(-1;-2)$.

x2 = 1
Phương trình hoành độ giao điểm: x 4 + x 2 - 2 = 0 \iff 2 \iff x = $\pm$ 1 .
x = -2
Số nghiệm của phương trình hoành độ bằng số giao điểm của đồ thị và trục hoành nên số giao điểm
là 2 .

* Dựa vào đồ thị ta thấy, đồ thị hàm số không đi qua điểm O 0;0 nên loại đáp án A, B .
* Xét hàm số y x3 x2 1 có :
x 0
2
- y' 0 3x 2x 0 2
x
3
2
Khi đó hàm số có hai cực trị là x 0; x .
3
2
Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy hàm số có 2 cực trị x 0; x .
3
Vậy đồ thị hàm số trên là đồ thị của hàm số y x3 x2 1.

Đặt t = - x , ta có f ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d \iff f ( -t ) = -at 3 + bt 2 - ct + d .


Dựa vào đồ thị hàm số y = f ( - x ) , suy ra các hệ số của các số hạng trong biểu thức của hàm số
f ( -t ) như sau:
* -a > 0 \iff a < 0 ;
* hàm số có hai điểm cực trị trái dấu và điểm cực trị dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn giá trị tuyệt
ab > 0
b < 0
đối của điểm cực trị âm \implies c ; kết hợp với a < 0 \implies
3a < 0 c > 0

* f ( 0) = d > 0 .
Vậy trong các số a, b, c, d có 2 số dương là c, d .

Chọn C.
Đồ thị có nhánh cuối đi lên nên $a>0$. Trong 4 phương án chỉ có phương án C có hệ số $a=1>0$. Hơn nữa đồ thị đi qua điểm $(0;-3)$ và các điểm cực trị $(\pm 1;-4)$, hoàn toàn khớp với $y=x^4-2x^2-3$.

Đồ thị cắt trục $Oy$ tại $(0;-1)\Rightarrow \frac{2}{d}=-1\Rightarrow d=-2$. Tiệm cận đứng $x=-\frac{d}{c}=2\Rightarrow c=1$. Tiệm cận ngang $y=\frac{a}{c}=1\Rightarrow a=1$.

Cho $x=0⟹y=\frac{3(0)+2}{0+1}=2$. Do đó đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 2.

Đường cong là đồ thị hàm số bậc ba $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ có $a>0$.
Đồ thị cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt $x=-1,x=1,x=2$ nên $y=a(x^2-1)(x-2)$.
Đồ thị cắt trục tung tại điểm $(0;2)⟹2=a(-1)(-2)⟹a=1$.
Vậy hàm số là $y=(x^2-1)(x-2)$.

Từ bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số có tiệm cận ngang $y=3$ và tiệm cận đứng $x=-1$.
Suy ra:
$\{\begin{array}{l}\frac{a}{c}=3\\ -\frac{d}{c}=-1\end{array}⟹\{\begin{array}{l}a=3c\\ d=c\end{array}$
Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi:
$y^{\prime }=\frac{ad+2c}{(cx+d{)}^2}>0⟹3c^2+2c>0⟹c(3c+2)>0⟹c\in \left(-\infty ;-\frac{2}{3}\right)\cup (0;+\infty ).$
Vậy giá trị nguyên âm lớn nhất mà $c$ có thể nhận là $c=-1$.

Từ đồ thị hàm số trùng phương:
- Nhánh cuối của đồ thị hướng xuống dưới khi $x\to \pm \infty$, suy ra hệ số $a<0$.
- Đồ thị có 3 điểm cực trị nên $ab<0$, kết hợp $a<0$ suy ra $b>0$.
- Đồ thị cắt trục tung tại điểm có tung độ dương, suy ra $c>0$.
Vậy $a<0;b>0;c>0$.

Chọn đáp án D.