Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $A(1;2;-1)$ đến mặt phẳng $(\alpha ):2x-2y+z-7=0$ là $d=\frac{|2\cdot 1-2\cdot 2+(-1)-7|}{\sqrt{2^2+(-2{)}^2+1^2}}=\frac{|2-4-1-7|}{3}=\frac{10}{3}$. Vậy $a=10,b=3$ (tối giản), suy ra $T=2a-b=20-3=17$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (17).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng song song với $(P):x+2y-z+1=0$ có dạng $x+2y-z+c=0$. Vì đi qua $A(1;-2;3)$ nên $1+2(-2)-3+c=0\Rightarrow 1-4-3+c=0\Rightarrow c=6$. Vậy phương trình là $x+2y-z+6=0$, trùng với đáp án D trong đề (bảng đáp án mã 1202, Câu 1: D).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua ba điểm $A(1;0;0)$, $B(0;2;0)$, $C(0;0;3)$ có phương trình đoạn chắn: $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$. Nhân hai vế với 6: $6x+3y+2z-6=0$. Kiểm tra: thay $A$: $6-6=0$; thay $B$: $6-6=0$; thay $C$: $6-6=0$. Đáp án khớp với bảng đáp án mã đề 1202, câu 10 là C.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(1;2;-1)$ đến mặt phẳng $(P):x+2y-2z+3=0$ là $d(M,(P))=\frac{|1\cdot 1+2\cdot 2+(-2)\cdot (-1)+3|}{\sqrt{1^2+2^2+(-2{)}^2}}=\frac{|1+4+2+3|}{3}=\frac{10}{3}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn D.

(AI giải đề cho tôi)
Trung điểm $I$ của $AB$: $I\left(\frac{1+3}{2};\frac{2+0}{2};\frac{3+1}{2}\right)=I(2;1;2)$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2;-2;-2)$ là pháp tuyến của mặt phẳng trung trực. Phương trình: $2(x-2)-2(y-1)-2(z-2)=0\iff x-y-z+1=0$. Khớp với đáp án D (mã đề 1202, câu 6: D).

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2-3;1+4;-5-1)=(-1;5;-6)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$. Mặt phẳng đi qua $A(3;-4;1)$: $-1(x-3)+5(y+4)-6(z-1)=0\iff -x+5y-6z+29=0$. Vậy đáp án D, khớp với đáp án nguồn (mã 1201, câu 12: D).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng song song với $(\alpha ):3x-y+2z+4=0$ có dạng $3x-y+2z+d=0$. Vì đi qua $M(3;-1;-2)$ nên $3\cdot 3-(-1)+2\cdot (-2)+d=0\Rightarrow 9+1-4+d=0\Rightarrow d=-6$. Vậy phương trình là $3x-y+2z-6=0$, trùng với đáp án C (khớp đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đi qua ba điểm trên ba trục tọa độ nên có dạng đoạn chắn $\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{2}=1$. Quy đồng mẫu số chung 6 ta được $2x+6y+3z-6=0$. Kiểm tra: tại $A(3;0;0)$: $6-6=0$; tại $B(0;1;0)$: $6-6=0$; tại $C(0;0;2)$: $6-6=0$. Vậy đáp án là A (khớp với đáp án nguồn).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(2;3;-1)$ đến $(P):x-2y+2z-7=0$ là $d(M,(P))=\frac{|2-2\cdot 3+2\cdot (-1)-7|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}}=\frac{|2-6-2-7|}{3}=\frac{13}{3}$. Vậy chọn A, trùng với đáp án nguồn (đề 1002, câu 3: A).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(2;-3;-1)$ đến $(P):x-2y+2z-7=0$ là $d(M,(P))=\frac{|2-2(-3)+2(-1)-7|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}}=\frac{|2+6-2-7|}{3}=\frac{1}{3}$. Khớp với đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto $\overrightarrow{AB}=(1-(-1);2-1;3-1)=(2;1;2)$ là vecto pháp tuyến của $(P)$, nên $(P)$ có dạng $2x+y+2z+d=0$ (tức $a=2,c=2$). Vì $(P)$ đi qua $A(-1;1;1)$: $2(-1)+1+2(1)+d=0\Rightarrow -2+1+2+d=0\Rightarrow d=-1$. Khi đó $Q=a^3+c^3+d^3=8+8-1=15$, khớp với đáp án nguồn (15).

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(1-0;2-1;3-1)=(1;1;2)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$. Mặt phẳng qua $A(0;1;1)$: $1(x-0)+1(y-1)+2(z-1)=0\iff x+y+2z-3=0$. Vậy $b=1,c=2,d=-3$, nên $Q=b^3+c^3+d^3=1+8-27=-18$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (-18).

(AI giải đề cho tôi)
Kiểm tra từng mệnh đề với $(P):2x-3y+z-1=0$.
a) Thay $A(3;2;-1)$: $2\cdot 3-3\cdot 2+(-1)-1=6-6-1-1=-2\ne 0$, nên $A\notin (P)$ → sai.
b) Mặt phẳng $(P)$ có hệ số $2;-3;1$ nên một vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-3;1)$ → đúng.
c) $\overrightarrow{AB}=(-2;-4;1)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;-1;0)$. Kiểm tra: $\vec{a}\cdot \overrightarrow{AB}=-2+4-2=0$ và $\vec{a}\cdot \overrightarrow{AC}=-1+1+0=0$, nên $\vec{a}=(1;-1;-2)$ vuông góc với hai vecto chỉ phương, do đó nhận $\vec{a}$ làm pháp tuyến, mặt phẳng qua $A$: $1(x-3)-1(y-2)-2(z+1)=0$ → đúng.
d) Mặt phẳng $(ABC)$ có pháp tuyến $\vec{a}=(1;-1;-2)$ không cùng phương với $\vec{n}=(2;-3;1)$ (tỉ số $1/2\ne -1/-3$), nên hai mặt phẳng không song song → sai.
Kết quả: a sai, b đúng, c đúng, d sai — khớp đáp án mã đề 1202 (SĐĐS).
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(3;2;-1)$ vào $(P)$: $2\cdot 3-3\cdot 2+(-1)-1=-2\ne 0$ nên $A\notin (P)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $(P):2x-3y+z-1=0$, vecto pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-3;1)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2;-4;1)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;-1;0)$ đều vuông góc với $\vec{a}=(1;-1;-2)$ nên $\vec{a}$ là pháp tuyến của $(ABC)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Pháp tuyến $(1;-1;-2)$ của $(ABC)$ không cùng phương với $(2;-3;1)$ của $(P)$ nên hai mặt phẳng không song song.

Mặt phẳng $(P)$ cắt tia Ox tại $A(a;0;0)$, cắt tia Oy tại $B(0;b;0)$, cắt tia Oz tại $C(0;0;c)$ có dạng là $(P):\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1$ (với $a>0$, $b>0$, $c>0$). Theo đề: $$\frac{OA}{1}=\frac{OB}{2}=\frac{OC}{4}\iff \frac{a}{1}=\frac{b}{2}=\frac{c}{4}\iff \{\begin{array}{l}b=2a\\ c=4a\end{array}.$$ Vì $M(1;1;2)$ nằm trên mặt phẳng $(P)$ nên ta có: $$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{2}{c}=1$$ $$\iff \frac{1}{a}+\frac{1}{2a}+\frac{2}{4a}=1\iff a=2.$$ Khi đó $b=4$, $c=8$ nên phương trình mặt phẳng $(P)$ là: $$\frac{x}{2}+\frac{y}{4}+\frac{z}{8}=1.$$

(AI giải đề cho tôi)
Vecto $\overrightarrow{AB}=(2;-4;2)$ nên mặt phẳng trung trực có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;1)$. Trung điểm $AB$ là $I(0;-1;4)$. Phương trình mặt phẳng: $1(x-0)-2(y+1)+1(z-4)=0\iff x-2y+z-6=0$. Khớp với đáp án D trong bảng đáp án (mã đề 1202, câu 9: D).

(AI giải đề cho tôi)
a) Mặt phẳng $(P):2x-3y+z-1=0$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-3;1)$, nên a đúng. b) Thay $A(3;2;-1)$: $2(3)-3(2)+(-1)-1=6-6-1-1=-2\ne 0$, nên $A\notin (P)$, b sai. c) $\overrightarrow{AB}=(-2;-4;1)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;-1;0)$, $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(1;-1;-2)$, cùng tỉ lệ với $\vec{a}=(1;-1;-2)$, nên mặt phẳng $(ABC)$ nhận $\vec{a}$ làm pháp tuyến, c đúng. d) $\vec{n}=(2;-3;1)$ và $\vec{a}=(1;-1;-2)$ không cùng phương (không tỉ lệ), nên hai mặt phẳng không song song, d sai. Khớp đáp án mã đề 1201: ĐSĐS.
a) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình $(P):2x-3y+z-1=0$, vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2;-3;1)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay $A(3;2;-1)$ vào $(P)$: $2\cdot 3-3\cdot 2+(-1)-1=-2\ne 0$ nên $A\notin (P)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(-2;-4;1)$, $\overrightarrow{AC}=(-1;-1;0)$, tích có hướng $\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(1;-1;-2)$ cùng phương với $\vec{a}=(1;-1;-2)$, nên $\vec{a}$ là pháp tuyến của $(ABC)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{n}=(2;-3;1)$ không cùng phương với $\vec{a}=(1;-1;-2)$ nên $(ABC)$ và $(P)$ không song song.

(AI giải đề cho tôi)
Vecto $\overrightarrow{AB}=(1-(-1);-3-1;5-3)=(2;-4;2)$, chọn vecto pháp tuyến $\vec{n}=(1;-2;1)$. Trung điểm $I$ của $AB$: $I\left(\frac{-1+1}{2};\frac{1+(-3)}{2};\frac{3+5}{2}\right)=(0;-1;4)$. Mặt phẳng trung trực đi qua $I$ với pháp tuyến $\vec{n}$: $1(x-0)-2(y+1)+1(z-4)=0\iff x-2y+z-6=0$. Khớp với đáp án nguồn (mã đề 1201, câu 3: C).

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(1;2;-3)$ đến mặt phẳng $(P):x+2y+2z-10=0$ là $d(M,(P))=\frac{|1+2\cdot 2+2\cdot (-3)-10|}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}}=\frac{|1+4-6-10|}{3}=\frac{11}{3}$. Kết quả khớp với đáp án nguồn (C).

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha )$ có pháp tuyến $\vec{n}=(2;3;-1)$ nên có dạng $2x+3y-z+d=0$. Thay điểm $A(2;-1;3)$: $2(2)+3(-1)-3+d=0\Rightarrow 4-3-3+d=0\Rightarrow d=2$. Vậy $(\alpha ):2x+3y-z+2=0$, khớp với đáp án B trong đề (mã đề 405, Câu 12 = B).

(AI giải đề cho tôi)
Vecto $\overrightarrow{AC}=C-A=(2-0;1-(-2);5-1)=(2;3;4)$. Mặt phẳng $(P)$ vuông góc với $AC$ nên có vecto pháp tuyến $\vec{n}=(2;3;4)$, tức phương trình dạng $2x+3y+4z+d_0=0$. Vì $(P)$ đi qua $B(-3;2;2)$: $2(-3)+3(2)+4(2)+d_0=0\Rightarrow -6+6+8+d_0=0\Rightarrow d_0=-8$. Đưa về dạng hệ số của $z$ bằng 2 (chia hai vế cho 2): $x+\frac{3}{2}y+2z-4=0$. Vậy $a=1$, $b=\frac{3}{2}$, $d=-4$. Kết quả khớp với đáp án nguồn $-4$.