Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ qua $H(1;2;-1)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}(3;-2;4)$ có phương trình $3(x-1)-2(y-2)+4(z+1)=0$, tức $3x-2y+4z+5=0$. Thử lại: thay $H$ vào $3(1)-2(2)+4(-1)+5=0$ đúng. Khớp đáp án A (theo bảng đáp án mã đề 1201, câu 12 là A).

(AI giải đề cho tôi)
a) Vectơ pháp tuyến của (P): x-2y+z+1=0 là (1;-2;1), và (-1;2;-1) = -(1;-2;1) cũng là một vectơ pháp tuyến → Đúng.
b) Mặt phẳng (Q) song song với (P) có dạng x-2y+z+c=0; qua B(2;1;1): 2-2+1+c=0 ⇒ c=-1, vậy (Q): x-2y+z-1=0 ≠ x-2y+z+3=0 → Sai.
c) d(A,(P)) = |1-2(-1)+2+1|/√(1+4+1) = |1+2+2+1|/√6 = 6/√6 = √6 → Đúng.
d) Mặt phẳng (R) phải chứa A(1;-1;2). Thay A vào 3x+y-z-2=0: 3-1-2-2=-2≠0, nên (R) không đi qua A → Sai. (Thực tế: AB=(1;2;-1), n_R ⊥ AB và n_R ⊥ n_P=(1;-2;1) nên n_R = AB×n_P = (0;-2;-4) ∝ (0;1;2), (R): y+2z-3=0.) Kết quả khớp đáp án nguồn: Đ-S-Đ-S.
a) (AI giải đề cho tôi)
(-1;2;-1) = -(1;-2;1) cùng phương với vectơ pháp tuyến (1;-2;1) của (P), nên là một vectơ pháp tuyến của (P).
b) (AI giải đề cho tôi)
(Q) song song (P) có dạng x-2y+z+c=0; qua B(2;1;1) suy ra c=-1, vậy (Q): x-2y+z-1=0, không phải x-2y+z+3=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
d(A,(P)) = |1+2+2+1|/√6 = 6/√6 = √6.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay A(1;-1;2) vào 3x+y-z-2=0 được -2≠0 nên mặt phẳng này không chứa A. Mặt phẳng đúng là y+2z-3=0 (n_R ⊥ AB=(1;2;-1) và ⊥ n_P).

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $C(1;1;0)$ (hình bình hành), $S(0;0;1)$, $M$ trung điểm $BC$ nên $M(1;\frac{1}{2};0)$.

Véctor chỉ phương của $SD$ là $\overrightarrow{SD}=(0;1;-1)$, véctor $\overrightarrow{AM}=(1;\frac{1}{2};0)$. Véctor pháp tuyến của $(\alpha )$:
$$\vec{n}=\overrightarrow{AM}\times \overrightarrow{SD}=\left(-\frac{1}{2};1;1\right).$$
Vì $(\alpha )$ qua $A(0;0;0)$ nên phương trình: $-\frac{1}{2}x+y+z=0$.

Điểm trên $SB$: $S(0;0;1)$, $B(1;0;0)$ nên điểm dạng $(t;0;1-t)$. Thay vào phương trình mặt phẳng:
$$-\frac{1}{2}t+0+(1-t)=0\Rightarrow \frac{3}{2}t=1\Rightarrow t=\frac{2}{3}.$$
Vậy $N$ với $SN=\frac{2}{3}SB$, $BN=\frac{1}{3}SB$, do đó $\frac{SN}{BN}=2$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: từ phương trình $(\alpha ):x+2y+2z-6=0$ ta có ngay $\vec{n}=(1;2;2)$ là vectơ pháp tuyến.

b) Sai: $(\beta )$ song song $(\alpha )$ nên có dạng $x+2y+2z+d=0$; qua $A(1;2;5)$: $1+4+10+d=0\Rightarrow d=-15$. Vậy $(\beta ):x+2y+2z-15=0$, không phải $x+2y+2z+15=0$.

c) Sai: $(\gamma )$ qua $O$ và $A$ nên chứa $\vec{u}=\overrightarrow{OA}=(1;2;5)$, vuông góc $(\alpha )$ nên chứa $\vec{n}=(1;2;2)$. Vectơ pháp tuyến ${\vec{n}}_{\gamma }=\overrightarrow{OA}\times \vec{n}=(2\cdot 2-5\cdot 2;5\cdot 1-1\cdot 2;1\cdot 2-2\cdot 1)=(-4;3;0)$. Vậy $(\gamma ):-4x+3y=0$ tức $4x-3y=0$, không phải $2x-y=0$.

d) Đúng: $A,O,M$ thẳng hàng nên $M=tA=(t;2t;5t)$. Thay vào $(\alpha )$: $t+4t+10t-6=0\Rightarrow t=\frac{2}{5}$. Suy ra $M\left(\frac{2}{5};\frac{4}{5};2\right)$.
a) (AI giải đề cho tôi)
Hệ số của phương trình $(\alpha ):x+2y+2z-6=0$ cho vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;2;2)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(\beta )$ có dạng $x+2y+2z+d=0$; qua $A(1;2;5)$: $15+d=0\Rightarrow d=-15$, nên $(\beta ):x+2y+2z-15=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{n}}_{\gamma }=\overrightarrow{OA}\times {\vec{n}}_{\alpha }=(1;2;5)\times (1;2;2)=(-4;3;0)$, nên $(\gamma ):4x-3y=0$, không phải $2x-y=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$M=tA=(t;2t;5t)$, thay vào $(\alpha )$: $15t-6=0\Rightarrow t=\frac{2}{5}$, nên $M\left(\frac{2}{5};\frac{4}{5};2\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
a) AB=(-3;-1;2), AC=(1;-3;0), n=AB×AC=(6;2;10)∝(3;1;5). MP(ABC): 3(x-1)+(y-2)+5(z-1)=0 ⇔ 3x+y+5z-10=0. Thử B: -6+1+15-10=0 ✓. Đúng.
b) Thay D(0;3;1): 0+3+5-10=-2≠0 nên D∉(ABC), bốn điểm không đồng phẳng, tạo thành tứ diện. Đúng.
c) CD=(-2;4;0). n=AB×CD=((-1)(0)-2·4; 2·(-2)-(-3)(0); (-3)(4)-(-1)(-2))=(-8;-4;-14)∝(4;2;7). Vectơ (4;-2;7) không cùng phương với (4;2;7). Sai.
d) M(1;2;1) chính là điểm A. Các mặt phẳng qua A,B sao cho d(C)=d(D): hoặc song song với CD (CD=(-2;4;0) không song song AB), hoặc đi qua trung điểm I của CD là I(1;1;1) (I không thuộc AB vì AI=(0;-1;0) không cùng phương AB). Vậy có đúng 2 mặt phẳng, và cả hai đều chứa A=M(1;2;1). Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
AB=(-3;-1;2), AC=(1;-3;0) nên n=AB×AC=(6;2;10)∝(3;1;5). Phương trình: 3(x-1)+(y-2)+5(z-1)=0 ⇔ 3x+y+5z-10=0, thỏa cả A, B, C.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay D vào 3x+y+5z-10=0 được -2≠0 nên D không thuộc (ABC); bốn điểm không đồng phẳng nên tạo thành tứ diện.
c) (AI giải đề cho tôi)
CD=(-2;4;0), n=AB×CD=(-8;-4;-14)∝(4;2;7), không cùng phương với (4;-2;7).
d) (AI giải đề cho tôi)
M(1;2;1)=A. Hai mặt phẳng qua đường thẳng AB thỏa mãn: một mặt song song với CD (CD không song song AB) và một mặt đi qua trung điểm I(1;1;1) của CD (I∉AB). Vậy có đúng 2 mặt phẳng và cả hai đều đi qua A=M(1;2;1).

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(-2;2;0)$, $\overrightarrow{AC}=(-2;0;3)$. VTPT $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(6;6;4)=2(3;3;2)$. Vậy $(3;3;2)$ là một VTPT của $(ABC)$ → đúng.

b) Mặt phẳng qua $C(0;0;3)$ vuông góc với $AB$ có VTPT $\overrightarrow{AB}=(-2;2;0)$, phương trình: $-2x+2y=0\iff x-y=0$ → đúng.

c) Mặt phẳng chứa $AB$ và vuông góc với $(ABC)$ có VTPT $\vec{u}=\overrightarrow{AB}\times \vec{n}=(-2;2;0)\times (3;3;2)=(4;4;-12)\propto (1;1;-3)$. Qua $A(2;0;0)$: $1(x-2)+y-3z=0\iff x+y-3z-2=0$. Đề bài đưa $x+y-3z+2=0$ → sai (dấu sai).

d) $M(a;b;c)\in (Oyz)\Rightarrow a=0$. $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=(2-3a;2-3b;3-3c)=(2;2-3b;3-3c)$. Biểu thức đạt nhỏ nhất khi $b=\frac{2}{3},c=1$. Khi đó $3(a+b)+c=3\cdot \frac{2}{3}+1=3\ne 5$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(6;6;4)\propto (3;3;2)$, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
VTPT là $\overrightarrow{AB}=(-2;2;0)$, qua $C(0;0;3)$: $-2x+2y=0\iff x-y=0$, đúng.
c) (AI giải đề cho tôi)
VTPT $(1;1;-3)$, qua $A(2;0;0)$ cho $x+y-3z-2=0$, không phải $x+y-3z+2=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $a=0$, tổng vectơ $(2;2-3b;3-3c)$ nhỏ nhất khi $b=2/3,c=1$, khi đó $3(a+b)+c=3\ne 5$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(\alpha )$ qua $A(1;2;0)$, $B(4;1;2)$ và cách đều $C(-2;1;-1)$, $D(0;-3;1)$.

Trường hợp 1: $(\alpha )$ song song $CD$. Vectơ $\overrightarrow{AB}=(3;-1;2)$, $\overrightarrow{CD}=(2;-4;2)$. Vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}=(3;-1;-5)$. Mặt phẳng qua $A$: $3(x-1)-(y-2)-5z=0\iff 3x-y-5z-1=0$. Kiểm tra $B$: $12-1-10-1=0$ ✓.

Trường hợp 2: $(\alpha )$ qua trung điểm $M(-1;-1;0)$ của $CD$ cho mặt phẳng $6x-4y-11z+2=0$, khi đưa về dạng hệ số tự do bằng $1$ ta được $a=3>0$, loại do điều kiện $a<0$.

Vậy chọn trường hợp 1, nhân $-1$: $-3x+y+5z+1=0$, tức $a=-3<0$, $b=1$, $c=5$. Kiểm tra khoảng cách: $d(C)=\frac{|6+1-5+1|}{\sqrt{35}}=\frac{3}{\sqrt{35}}$, $d(D)=\frac{|0-3+5+1|}{\sqrt{35}}=\frac{3}{\sqrt{35}}$ ✓.

Do đó $P=a+b+c=-3+1+5=3$.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $A(a;0;0),B(0;b;0),C(0;0;c)$ với $a,b,c\ne 0$. Vì $H$ là trực tâm nên $AH\perp BC$, $BH\perp AC$, $CH\perp AB$.
- $\overrightarrow{AH}=(1-a;2;3)$, $\overrightarrow{BC}=(0;-b;c)$, tích có hướng bằng 0: $-2b+3c=0\Rightarrow 3c=2b$.
- $\overrightarrow{BH}=(1;2-b;3)$, $\overrightarrow{AC}=(-a;0;c)$: $-a+3c=0\Rightarrow a=3c$.
- $\overrightarrow{CH}=(1;2;3-c)$, $\overrightarrow{AB}=(-a;b;0)$: $-a+2b=0\Rightarrow a=2b$.

Suy ra $a=2b=3c$, tức $b=\frac{a}{2},c=\frac{a}{3}$. Mặt phẳng (ABC): $\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1\iff x+2y+3z=a$. So với $mx+ny+pz-14=0$ ta có $a=14$, do đó $m=1,n=2,p=3$ và $m+n+p=6$.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2;-1;3)$, pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n_P}=(1;-2;3)$. Mặt phẳng cần tìm chứa $AB$ và vuông góc $(P)$ nên pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{n_P}=(3;-3;-3)\parallel (1;-1;-1)$. Mặt phẳng: $x-y-z+c=0$; qua $A(-1;2;0)$: $-1-2+c=0\Rightarrow c=3$. Vậy mặt phẳng là $x-y-z+3=0$, nhân đôi: $2x-2y-2z+6=0$, suy ra $a=2,b=2,c=6$. Do đó $a+2b+3c=2+4+18=24$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(P)$ vuông góc với $(Oxz)$ nên vectơ pháp tuyến của $(P)$ có dạng $\vec{n}=(a;0;c)$, tức $(P):ax+cz+d=0$.

Vì $(P)$ đi qua $A(1;-2;-2)$ nên $a-2c+d=0$, suy ra $d=-a+2c$.

Khoảng cách từ $B(3;1;-3)$ đến $(P)$:
$$d(B,(P))=\frac{|3a-3c+d|}{\sqrt{a^2+c^2}}=\frac{|2a-c|}{\sqrt{a^2+c^2}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}.$$

Bình phương hai vế: $5(2a-c{)}^2=9(a^2+c^2)$, suy ra $11a^2-20ac-4c^2=0$. Với $c\ne 0$, đặt $t=\frac{a}{c}$, ta được $11t^2-20t-4=0$ với $\Delta =400+176=576$, nên $t=\frac{20\pm 24}{22}$, tức $t=2$ hoặc $t=-\frac{2}{11}$.

• Với $t=2$: chọn $a=2$, $c=1$, khi đó $d=0$, được $(P):2x+z=0$. Kiểm tra: $(P)$ qua $A$ vì $2(1)+(-2)=0$; $d(B,(P))=\frac{|6-3|}{\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$ đúng.

• Với $t=-\frac{2}{11}$: chọn $a=-2$, $c=11$, khi đó $d=24$, được $(P):-2x+11z+24=0$, tương đương $2x-11z-24=0$. Kiểm tra: $(P)$ qua $A$ vì $-2-22+24=0$; $d(B,(P))=\frac{|-6-33+24|}{\sqrt{125}}=\frac{15}{5\sqrt{5}}=\frac{3\sqrt{5}}{5}$ đúng.

Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn: $(P):2x+z=0$ hoặc $(P):2x-11z-24=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(P)$ cắt đoạn $AB$ tại $I$ nên $d(A;(P))=IA\sin \theta$, $d(B;(P))=IB\sin \theta$ với $\theta$ là góc giữa $AB$ và $(P)$ (không đổi dọc theo đường thẳng $AB$). Do đó $d(B;(P))=2d(A;(P))\iff IB=2IA$, tức $\frac{IA}{IB}=\frac{1}{2}$.

Suy ra $I$ chia đoạn $AB$ theo tỉ số $\overrightarrow{IA}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{IB}$, hay $I=\frac{2A+B}{3}$:
$$x_I=\frac{2\cdot 2+6}{3}=\frac{10}{3},y_I=\frac{2\cdot 3+(-3)}{3}=1,z_I=\frac{2\cdot 4+0}{3}=\frac{8}{3}.$$

Kiểm tra: $I\left(\frac{10}{3};1;\frac{8}{3}\right)$ nằm giữa $A(2;3;4)$ và $B(6;-3;0)$ vì $\overrightarrow{AI}=\left(\frac{4}{3};-2;-\frac{4}{3}\right)=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}$, đúng với $IA:IB=1:2$. Vậy $I\left(\frac{10}{3};1;\frac{8}{3}\right)$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ chứa trục $Oz$ nên có dạng $ax+by=0$ ($a^2+b^2\ne 0$). Khoảng cách từ $M(1;2;3)$ đến $(P)$ là $d=\frac{|a+2b|}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Theo bất đẳng thức Cauchy–Schwarz: $(a+2b{)}^2\le (a^2+b^2)(1^2+2^2)=5(a^2+b^2)$, nên $d\le \sqrt{5}$. Dấu bằng xảy ra khi $(a,b)$ cùng phương với $(1;2)$, tức $a:b=1:2$, khi đó $(P)$: $x+2y=0$. Kiểm tra: $d(M,(P))=\frac{|1+4|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$, đúng giá trị lớn nhất. Vậy $(P):x+2y=0$.

(AI giải đề cho tôi)
d₁ có vecto chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=(2;-2;-1)$ đi qua điểm $A(1;2;-1)$; d₂ có $\overrightarrow{u_2}=(1;0;-1)$.

Mặt phẳng (P) chứa d₁ nên vecto pháp tuyến $\vec{n}=(a;b;c)$ thỏa $\vec{n}\cdot \overrightarrow{u_1}=0\Rightarrow 2a-2b-c=0\Rightarrow c=2a-2b$.

Góc giữa (P) và d₂ bằng 45°:
$$\sin 45^{\circ }=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{u_2}|}{|\vec{n}|\cdot |\overrightarrow{u_2}|}=\frac{|a-c|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}\cdot \sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$
Suy ra $(a-c{)}^2=a^2+b^2+c^2$. Thay $c=2a-2b$: $(2b-a{)}^2=5a^2+5b^2-8ab\iff 4a^2-4ab+b^2=0\iff (2a-b{)}^2=0\Rightarrow b=2a$.

Chọn $a=1$: $\vec{n}=(1;2;-2)$ (kiểm tra: $\vec{n}\cdot \overrightarrow{u_1}=2-4+2=0$; $|a-c|=3=|\vec{n}|$ thỏa mãn).

(P) qua $A(1;2;-1)$: $1(x-1)+2(y-2)-2(z+1)=0\iff x+2y-2z-7=0$.

Vậy $(P):x+2y-2z-7=0$. Đây là mặt phẳng duy nhất thỏa yêu cầu.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(3;-2;0)$, $\overrightarrow{AC}=(3;1;-4)$. Vecto pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}=(8;12;9)$. Mặt phẳng đi qua $A(-1;1;3)$: $8(x+1)+12(y-1)+9(z-3)=0\iff 8x+12y+9z-31=0$. Kiểm tra với $B(2;-1;3)$: $16-12+27-31=0$; với $C(2;2;-1)$: $16+24-9-31=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\overrightarrow{AB}=(-1;2;2)$ và pháp tuyến của $(Q)$ là $\overrightarrow{n_Q}=(1;1;2)$. Vì $(P)\perp (Q)$ nên pháp tuyến của $(P)$: $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{n_Q}=(2\cdot 2-2\cdot 1;2\cdot 1-(-1)\cdot 2;-1\cdot 1-2\cdot 1)=(2;4;-3)$. Mặt phẳng $(P)$ qua $A(2;-1;0)$: $2(x-2)+4(y+1)-3z=0\iff 2x+4y-3z=0$. Kiểm tra $B(1;1;2)$: $2+4-6=0$ đúng. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(P)$ song song với trục $Oy$ nên vectơ pháp tuyến có dạng $\vec{n}=(a;0;c)$. Vì $(P)$ vuông góc với $(Q):x-2y+z-8=0$ có pháp tuyến $\overrightarrow{n_Q}=(1;-2;1)$ nên $\vec{n}\cdot \overrightarrow{n_Q}=0\Rightarrow a+c=0\Rightarrow c=-a$. Chọn $a=1$, ta có $\vec{n}=(1;0;-1)$. Mặt phẳng $(P)$ qua $N(2;1;-2)$: $1(x-2)+0(y-1)-1(z+2)=0\Rightarrow x-z-4=0$. Kiểm tra: $N$: $2-(-2)-4=0$ đúng; vuông góc $(Q)$: $1\cdot 1+0\cdot (-2)+(-1)\cdot 1=0$ đúng. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ $\overrightarrow{AB}=(2-(-1);1-0;0-1)=(3;1;-1)$ là vectơ pháp tuyến của $(P)$. Mặt phẳng đi qua $A(-1;0;1)$ nên có phương trình: $3(x+1)+1(y-0)-1(z-1)=0\iff 3x+y-z+4=0$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $(P)$ song song với $(Q)$: $2x-3z+2025=0$ nên $(P)$ có dạng $2x-3z+c=0$. Đi qua $A(0;1;3)$: $2\cdot 0-3\cdot 3+c=0\Rightarrow c=9$. Vậy $(P)$: $2x-3z+9=0$. Thử lại: $2(0)-3(3)+9=0$ đúng. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Vectơ pháp tuyến của (P) là tích có hướng: $\vec{n}={\vec{n}}_Q\times {\vec{n}}_R=(1;1;3)\times (2;-1;1)=(1\cdot 1-3\cdot (-1);3\cdot 2-1\cdot 1;1\cdot (-1)-1\cdot 2)=(4;5;-3)$. Mặt phẳng qua $B(2;1;-3)$: $4(x-2)+5(y-1)-3(z+3)=0\iff 4x+5y-3z-22=0$. Kiểm tra: $4(2)+5(1)-3(-3)-22=8+5+9-22=0$. Đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng song song với trục $Oz$ nên có dạng $Ax+By+C=0$ (không chứa $z$). Ta có $\overrightarrow{MN}=(1;2;1)$, vectơ chỉ phương của trục $Oz$ là $\vec{k}=(0;0;1)$. Vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{MN}\times \vec{k}=(2;-1;0)$. Vậy mặt phẳng có dạng $2x-y+C=0$. Thay $M(1;-1;1)$: $2+1+C=0\Rightarrow C=-3$. Phương trình: $2x-y-3=0$. Kiểm tra $N(2;1;2)$: $4-1-3=0$ ✓. Đáp án B.