Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Mặt phẳng (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng cắt các trục tại $A(3;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;-2)$ nên theo dạng đoạn cắt, phương trình là $\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-2}=1$. Kiểm tra: thay tọa độ $A$, $B$, $C$ đều thỏa mãn. Vậy đáp án $B$.

(AI giải đề cho tôi)
a) $\overrightarrow{AB}=(2-1;7-1;9-4)=(1;6;5)=\vec{i}+6\vec{j}+5\vec{k}$ → đúng.
b) $\overrightarrow{AC}=(-1;8;9)$, $\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{AC}=-1+48+45=92\ne 0$ → sai.
c) Mặt phẳng qua $B(2;7;9)$ có VTCP $\overrightarrow{AC}=(-1;8;9)$: $-(x-2)+8(y-7)+9(z-9)=0\iff x-8y-9z+135=0$. Thay $B$ vào $x-8y-9z+14=0$: $2-56-81+14=-121\ne 0$ → sai.
d) $\overrightarrow{CD}=(1;-1;-3)$; pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{CD}=(-13;8;-7)$. Mặt phẳng qua $A$: $-13(x-1)+8(y-1)-7(z-4)=0\iff 13x-8y+7z-33=0$ (thỏa $B$). Phương trình $8x-7y-13z+50=0$ không chứa $A$ ($8-7-52+50=-1\ne 0$) → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AB}=(1;6;5)=\vec{i}+6\vec{j}+5\vec{k}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\overrightarrow{AC}=(-1;8;9)$, tích vô hướng $=-1+48+45=92\ne 0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Phương trình đúng là $x-8y-9z+135=0$; phương trình đã cho không thỏa điểm $B$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng đúng là $13x-8y+7z-33=0$; phương trình đã cho không thỏa điểm $A$.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình mặt phẳng $(P):2x-y+z-2=0$. Với $Q(1;-2;2)$: $2(1)-(-2)+2-2=4\ne 0$. Với $P(2;-1;-1)$: $2(2)-(-1)+(-1)-2=2\ne 0$. Với $M(1;1;-1)$: $2(1)-1+(-1)-2=-2\ne 0$. Với $N(1;-1;-1)$: $2(1)-(-1)+(-1)-2=0$, thỏa mãn. Vậy điểm $N(1;-1;-1)$ nằm trên mặt phẳng $(P)$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(Oyz)$ có phương trình $x=0$, nên một vecto pháp tuyến của nó có dạng $(a;0;0)$ với $a\ne 0$. Trong các đáp án, chỉ có $\overrightarrow{n_1}=(2;0;0)$ thỏa mãn (các vecto $(1;1;0)$, $(0;3;0)$, $(0;0;-1)$ đều có thành phần khác 0 ngoài tọa độ thứ nhất). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ đi qua $A(1;0;-2)$ với vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;-1;2)$ có phương trình: $1(x-1)-1(y-0)+2(z+2)=0\iff x-y+2z+3=0$. Thử lại: $1-0+2(-2)+3=0$ đúng. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P):2x-y+z+3=0$ có dạng $Ax+By+Cz+D=0$ với $A=2,B=-1,C=1$. Do đó một vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\overrightarrow{n}=(2;-1;1)$, trùng với $\overrightarrow{n_2}$ ở phương án B.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ $A(0,0,0)$, $B(1,0,0)$, $C(1,1,0)$, $D(0,1,0)$, $A^{\prime }(0,0,1)$, $B^{\prime }(1,0,1)$, $C^{\prime }(1,1,1)$, $D^{\prime }(0,1,1)$. Trọng tâm $△A^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$: $G=\left(\frac{1}{3},\frac{2}{3},1\right)$. Hai vectơ chỉ phương: $\overrightarrow{B{D}^{\prime }}=(-1,1,1)$, $\overrightarrow{A^{\prime }D}=(0,1,-1)$, nên vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $\vec{n}=\overrightarrow{B{D}^{\prime }}\times \overrightarrow{A^{\prime }D}=(-2,-1,-1)$. Phương trình $(P)$: $2x+y+z=\frac{7}{3}$. Đường thẳng $C{D}^{\prime }$: $(x,y,z)=(1-t,1,t)$. Thay vào $(P)$: $2(1-t)+1+t=\frac{7}{3}\Rightarrow 3-t=\frac{7}{3}\Rightarrow t=\frac{2}{3}$. Vậy $K$ chia $C{D}^{\prime }$ theo tỉ số $\frac{K{D}^{\prime }}{KC}=\frac{1-t}{t}=\frac{1/3}{2/3}=0,5$, khớp đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Khoảng cách từ $M(1;-2;3)$ đến mặt phẳng $(P):x-2y+2z-3=0$ là $d(M,(P))=\frac{|1-2(-2)+2(3)-3|}{\sqrt{1^2+(-2{)}^2+2^2}}=\frac{|1+4+6-3|}{3}=\frac{8}{3}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
a) Trung điểm OM là I(1/2; 3/2; 1/2), vectơ OM = (1;3;1) vuông góc với mặt phẳng trung trực, nên n = (-1;-3;-1) (cùng phương với OM) là một pháp tuyến → Đúng. b) Thay M(1;3;1) vào (P): 1 - 6 + 1 + 2 = -2 ≠ 0 → M không thuộc (P) → Sai. c) Phương trình tham số của d cho vectơ chỉ phương (2;-1;1) → Đúng. d) Vectơ chỉ phương của d là u = (2;-1;1), pháp tuyến (P) là n_P = (1;-2;1). Mặt phẳng (α) chứa d và vuông góc (P) có pháp tuyến n = u × n_P = (1;-1;-3) (kiểm tra: n·n_P = 1+2-3 = 0). (α) qua điểm (-1;1;0) trên d: (x+1) - (y-1) - 3z = 0 ⇔ x - y - 3z + 2 = 0. Khoảng cách từ M(1;3;1): |1 - 3 - 3 + 2|/√11 = 3/√11 ≠ 2/√11 → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Trung điểm OM là I(1/2; 3/2; 1/2), OM = (1;3;1) nên n = (-1;-3;-1) cùng phương với OM là pháp tuyến của mặt phẳng trung trực.
b) (AI giải đề cho tôi)
Thay M(1;3;1): 1 - 6 + 1 + 2 = -2 ≠ 0 nên M không thuộc (P).
c) (AI giải đề cho tôi)
Từ phương trình tham số x = -1+2t, y = 1-t, z = t, vectơ chỉ phương là (2;-1;1) = u.
d) (AI giải đề cho tôi)
n = u × n_P = (1;-1;-3), (α): x - y - 3z + 2 = 0. d(M,(α)) = |1-3-3+2|/√11 = 3/√11 ≠ 2/√11.

(AI giải đề cho tôi)
Tuấn đứng tại gốc $O$, Minh đứng trên trục $Oy$, mặt đất là mặt phẳng $Oxy$. Quả bóng rơi tại $M$ lệch sang phải của Tuấn (theo phương $Ox)0,5$m so với Minh và cách Tuấn $3,5$m.

Gọi $M=(x;y;0)$. Vì $M$ lệch sang phải của Tuấn $0,5$m nên $x=0,5$. Vì $OM=3,5$ nên:
$$x^2+y^2=3,5^2\Rightarrow y=\sqrt{12,25-0,25}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}.$$
Vậy $M=(0,5;2\sqrt{3};0)$ (Minh đứng tại $(0;2\sqrt{3};0)$, khoảng cách $M$ tới Minh đúng bằng $0,5$m).

Quỹ đạo nằm trong mặt phẳng $(\alpha ):ax-y+cz=0$ đi qua $O$ và vuông góc với mặt đất, đồng thời đi qua $M$. Thay tọa độ $M$:
$$a\cdot 0,5-2\sqrt{3}+c\cdot 0=0\Rightarrow a=\frac{2\sqrt{3}}{0,5}=4\sqrt{3}\approx 6,9282.$$
Mặt phẳng vuông góc mặt đất và chứa phương thẳng đứng nên $c=0$ (thực tế từ phương trình trên đã cho $c$ tự do, chuẩn hóa theo hệ số của $y$ bằng $-1$ ta được $c=0$).

Do đó $a+c=4\sqrt{3}\approx 6,93$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng vuông góc với $Ox$ có vectơ pháp tuyến $\vec{n}=(1;0;0)$. Đi qua $A(4;9;1)$ nên phương trình: $1(x-4)+0(y-9)+0(z-1)=0$, tức $x-4=0$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
a) Khoảng cách từ M(1;-3;4) đến (P): x-2y+2z-3=0 là d=|1-2(-3)+2·4-3|/√(1+4+4)=|1+6+8-3|/3=12/3=4 (m). Đúng.
b) Đường bay: x=2+2t, y=-1+4t, z=4. Thử M(1;-3;4): 2+2t=1⇒t=-1/2, khi đó y=-1+4(-1/2)=-3, z=4 ⇒ M thuộc đường thẳng bay nên mũi tên (theo đường bay) xuyên qua trái táo. Đúng.
c) Đầu mũi tên cắm vào tường là giao điểm đường bay với (P): 2+2t-2(-1+4t)+8-3=9-6t=0⇒t=3/2, điểm (5;5;4). Kiểm tra: 5-10+8-3=0, thuộc (P). Đúng.
d) Mũi tên dài ℓ=√39/10 (m), vector chỉ phương u=(2;4;0), |u|=2√5. Vector mũi tên v=ℓ·u/|u|=(√39/(10√5);√39/(5√5);0). Phép chiếu thẳng đứng xuống (Q): y+z-2=0 theo pháp tuyến n=(0;1;2), |n|²=5, v·n=2√39/(10√5). Bóng = v−(v·n/5)n=(c;8c/5;−4c/5) với c=√39/(10√5). Độ dài bóng = c·√(1+64/25+16/25)=c√105/5=√819/50≈0,572 m≈57 cm ≠ 50 cm. (Ngoài ra đề ghi đơn vị cm cho mũi tên nhưng tọa độ tính theo m, mâu thuẫn đơn vị.) Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
d(M,(P))=|1+6+8-3|/3=4 m.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đường thẳng x=2+2t, y=-1+4t, z=4 đi qua M(1;-3;4) tại t=-1/2, nên đường bay xuyên qua trái táo.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao đường bay với (P): 9-6t=0, t=3/2, điểm (5;5;4) thỏa mãn phương trình (P).
d) (AI giải đề cho tôi)
Chiếu thẳng đứng mũi tên xuống (Q) theo n=(0;1;2) được bóng dài √819/50≈0,572 m≈57 cm, không phải 50 cm; ngoài ra đề còn mâu thuẫn đơn vị (cm/m).

Gọi mặt phẳng trung trực của $AB$ là: $(P)$

Có: $\overrightarrow{AB}=(2;-2;2)\Rightarrow$ mặt phẳng $(P)$ có 1 vecto pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}=(1;-1;1)$

Mà $(P)$ đi qua điểm $A(1;2;2)\Rightarrow (P):x-y+z-1=0$

Đáp án: Đ S Đ S

a) $A(8;0;0),C(0;6;0)$. Vậy a) đúng

b) $O^{\prime }(0;0;3)$. Phương trình mặt phẳng $(AC{O}^{\prime })$ là: $\frac{x}{8}+\frac{y}{6}+\frac{z}{3}=1\Rightarrow 3x+4y+8z=24$. Vậy b) sai

c) $d\left(B,(Oyz)\right)=BC=OA=8$. Vậy c) đúng

d) Trải phẳng hình ta được:



Ta có: $AM+MN+NC$ min khi $A,M,N,C$ thẳng hàng

Khi đó: $AM+MN+NC=AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{(3+6+3{)}^2+8^2}=4\sqrt{13}$. Vậy d) sai
a) $A(8;0;0),C(0;6;0)$. Vậy a) đúng
b) $O^{\prime }(0;0;3)$. Phương trình mặt phẳng $(AC{O}^{\prime })$ là: $\frac{x}{8}+\frac{y}{6}+\frac{z}{3}=1\Rightarrow 3x+4y+8z=24$. Vậy b) sai
c) $d\left(B,(Oyz)\right)=BC=OA=8$. Vậy c) đúng
d) Trải phẳng hình ta được:



Ta có: $AM+MN+NC$ min khi $A,M,N,C$ thẳng hàng

Khi đó: $AM+MN+NC=AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{(3+6+3{)}^2+8^2}=4\sqrt{13}$. Vậy d) sai

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(5;0;0)$, $D(0;5;0)$, $A^{\prime }(0;0;5)$. Khi đó $M(2,5;0;0)$, $N(0;2,5;5)$, $\overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}=(5;5;0)$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $MN$ (vectors chỉ phương $\overrightarrow{MN}=(-2,5;2,5;5)$) và song song với $A^{\prime }{C}^{\prime }$ nên vectơ pháp tuyến $\vec{n}=\overrightarrow{MN}\times \overrightarrow{A^{\prime }{C}^{\prime }}\propto (1;-1;1)$. Phương trình $(P)$: $x-y+z=2,5$ (thỏa mãn với $M$ và $N$). Đường thẳng $BC$: $x=5,z=0$, thay vào $(P)$: $5-y=2,5\Rightarrow y=2,5$. Vậy $Q(5;2,5;0)$ và $BQ=2,5$. Kết quả khớp với đáp án nguồn 2,5.

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào phương trình mặt phẳng $(P):x+2y-z+8=0$. A $(0;1;-1)$: $0+2+1+8=11\ne 0$. B $(1;2;-1)$: $1+4+1+8=14\ne 0$. C $(-2;-3;0)$: $-2-6-0+8=0$, thỏa mãn. D $(1;-2;-1)$: $1-4+1+8=6\ne 0$. Vậy điểm $(-2;-3;0)$ thuộc $(P)$, khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: mặt phẳng $(\alpha ):2x-y-3z-1=0$ có véc tơ pháp tuyến $\vec{n}=(2;-1;-3)$, nên $\vec{n}=(-2;1;3)$ cũng là một pháp tuyến (cùng phương).
b) Sai: $d(B,(\alpha ))=\frac{|2\cdot 1-(-2)-3\cdot (-1)-1|}{\sqrt{4+1+9}}=\frac{|2+2+3-1|}{\sqrt{14}}=\frac{6}{\sqrt{14}}\ne \frac{10}{\sqrt{14}}$.
c) Đúng: $(P)$ song song $(\alpha )$ nên có dạng $2x-y-3z+c=0$; qua $A(1;2;3)$: $2-2-9+c=0\Rightarrow c=9$, vậy $2x-y-3z+9=0$.
d) Sai: $\overrightarrow{AB}=(0;-4;-4)$, pháp tuyến $(\alpha )$ là $(2;-1;-3)$, nên ${\vec{n}}_Q=\overrightarrow{AB}\times (2;-1;-3)=(8;-8;8)\parallel (1;-1;1)$. Mặt phẳng qua $A$: $x-y+z-2=0$ (thỏa mãn cả $B$). Phương trình $3x-2y-z+3=0$ không chứa $A$ (thay vào được $-1\ne 0$) và $(3;-2;-1)\cdot (2;-1;-3)=11\ne 0$ nên không vuông góc với $(\alpha )$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$(\alpha ):2x-y-3z-1=0$ có pháp tuyến $(2;-1;-3)$, nên $(-2;1;3)$ cũng là một pháp tuyến.
b) (AI giải đề cho tôi)
$d(B,(\alpha ))=\frac{|2+2+3-1|}{\sqrt{14}}=\frac{6}{\sqrt{14}}\ne \frac{10}{\sqrt{14}}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$2x-y-3z+c=0$ qua $A(1;2;3)$ cho $c=9$, được $2x-y-3z+9=0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
${\vec{n}}_Q=\overrightarrow{AB}\times (2;-1;-3)\parallel (1;-1;1)$, mặt phẳng đúng là $x-y+z-2=0$; phương trình $3x-2y-z+3=0$ không chứa $A$ và không vuông góc với $(\alpha )$.

(AI giải đề cho tôi)
Mặt phẳng $(P)$ qua $M(1;-3;2)$ với vecto pháp tuyến $\vec{n}(1;-2;-4)$ có phương trình: $1(x-1)-2(y+3)-4(z-2)=0$, tức $x-2y-4z-1-6+8=0\iff x-2y-4z+1=0$. Thử lại: thay $M$ vào: $1-2(-3)-4(2)+1=1+6-8+1=0$ đúng. Vậy đáp án B, khớp với đáp án nguồn (mã đề 1202, câu 8: B).

(AI giải đề cho tôi)
Thay tọa độ từng điểm vào $3x+2y-z+4=0$. A: $0+2+1+4=7\ne 0$. B: $3+4+1+4=12\ne 0$. C: $3(1)+2(-2)-3+4=3-4-3+4=0$, thỏa mãn. D: $3-4+1+4=4\ne 0$. Vậy điểm $(1;-2;3)$ thuộc mặt phẳng $(P)$, khớp với đáp án nguồn C.