Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $N^{\prime }(t)=22t-3t^2$, $N(0)=10$, $0\le t\le 10$.

a) $N^{\prime }(1)=22\cdot 1-3\cdot 1^2=19$ triệu tế bào/ml/giờ → đúng.

b) Xét $N^{\prime \prime }(t)=22-6t$. Tốc độ thay đổi $N^{\prime }(t)$ chỉ tăng khi $N^{\prime \prime }(t)>0\iff t<\frac{11}{3}$, không phải trên toàn khoảng $0\le t<\frac{22}{3}$ (với $\frac{11}{3}\le t<\frac{22}{3}$ thì $N^{\prime }$ giảm). Ngoài ra tại $t=0$ thì $N^{\prime }(0)=0$. → sai.

c) Nguyên hàm $\int N^{\prime }(t)dt=\int (22t-3t^2)dt=11t^2-t^3+C$, không phải $11t-t^3$ → sai.

d) $N(10)=N(0)+{\int }_0^{10}(22t-3t^2)dt=10+\left(11t^2-t^3\right){|}_0^{10}=10+1100-1000=110$ triệu tế bào/ml $\ne 100$ → sai.

Khớp với đáp án nguồn mã 1201: ĐSSS.
a) (AI giải đề cho tôi)
$N^{\prime }(1)=22(1)-3(1{)}^2=19$ triệu tế bào/ml/giờ.
b) (AI giải đề cho tôi)
$N^{\prime \prime }(t)=22-6t>0\iff t<\frac{11}{3}$, nên $N^{\prime }(t)$ chỉ tăng khi $t<\frac{11}{3}$, không phải trên cả khoảng $\frac{11}{3}\le t<\frac{22}{3}$; hơn nữa $N^{\prime }(0)=0$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$\int (22t-3t^2)dt=11t^2-t^3+C$, thiếu số mũ ở $11t^2$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$N(10)=10+{\int }_0^{10}(22t-3t^2)dt=10+1100-1000=110\ne 100$ triệu tế bào/ml.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x<1$: $F(x)=x^3+2x+C$. Vì $F(0)=2$ nên $C=2$, do đó $F(x)=x^3+2x+2$ khi $x<1$. Với $x\ge 1$: $F(x)=x^2+3x+C^{\prime }$. Vì $F$ là nguyên hàm trên $\mathbb{R}$ nên $F$ liên tục tại $x=1$: $F(1^{-})=1+2+2=5$ và $F(1^{+})=1+3+C^{\prime }=5$ suy ra $C^{\prime }=1$. Vậy $F(-1)=-1-2+2=-1$; $F(2)=4+6+1=11$. Do đó $F(-1)+2F(2)=-1+22=21$. Chọn D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{2x-3}{x-2}=\frac{2(x-2)+1}{x-2}=2+\frac{1}{x-2}$.

Trên khoảng $(-\infty ;2)$: $f(x)=2x+\ln |x-2|+C_1=2x+\ln (2-x)+C_1$.
Với $f(1)=1$: $2+\ln 1+C_1=1\Rightarrow C_1=-1$.
Suy ra $f(0)=0+\ln 2-1=\ln 2-1$.

Trên khoảng $(2;+\infty )$: $f(x)=2x+\ln (x-2)+C_2$.
Với $f(3)=2$: $6+\ln 1+C_2=2\Rightarrow C_2=-4$.
Suy ra $f(4)=8+\ln 2-4=4+\ln 2$.

Do đó $f(0)+2f(4)=(\ln 2-1)+2(4+\ln 2)=7+3\ln 2$, tức $a=7$, $b=3$, nên $a+b=10$.

(AI giải đề cho tôi)
Phân tích $-x^2+3x-2=-(x-1)(x-2)$. Viết $\frac{x+1}{-(x-1)(x-2)}=\frac{a}{x-1}+\frac{b}{x-2}$, suy ra $x+1=-a(x-2)-b(x-1)$. Thay $x=1$: $2=-a\Rightarrow a=-2$. Thay $x=2$: $3=-b\Rightarrow b=-3$. Vậy $a+b=-5$, chọn C.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x<1$: $F(x)=x^3+4x+C_2$; với $x\ge 1$: $F(x)=x^2+5x+C_1$. Vì $F$ là nguyên hàm trên $\mathbb{R}$ nên $F$ liên tục tại $x=1$: $1+5+C_1=1+4+C_2\Rightarrow C_1=C_2-1$. Từ $F(0)=C_2=2$ suy ra $C_2=2$, $C_1=1$. Khi đó $F(-1)=(-1{)}^3+4(-1)+2=-3$ và $F(2)=2^2+5\cdot 2+1=15$. Vậy $F(-1)+2F(2)=-3+30=27$.

(AI giải đề cho tôi)
a) F'(x)=[(2ax+b)(2x+3)+(ax²+bx+c)]/√(2x+3)=[5ax²+(6a+2b)x+(3b+c)]/√(2x+3). Suy ra 5a=20→a=4; 6a+2b=30→b=3; 3b+c=11→c=2. T=4+3+2=9≠10 → sai.
b) ∫₂⁵ (xf(x)+x²−1)/x dx = ∫₂⁵ f(x)dx + ∫₂⁵ (x−1/x)dx = 2 + [x²/2 − ln x]₂⁵ = 2 + 21/2 + ln(2/5) = 25/2 + ln(2/5) → a=25 → đúng.
c) Lợi nhuận biên P'(t)=R'(t)−C'(t)=602−15t². P'(t)=0 khi t=√(602/15)≈6,34 năm. Lợi nhuận bắt đầu giảm sau thời điểm này, nên tuổi thọ hữu ích ≈6,34 năm ≠ 8 → sai.
d) f(x)=5^x ln5 − 2x + 1/x − 1/(x+1). Tổng = ln5·5(5^2025−1)/4 − 2·(2025·2026/2) + (1−1/2025) = (5/4)ln5(5^2025−1) − 2025·2026 + 2024/2025. Vậy a=2025, b=2026, a+b=4051 → đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
So sánh tử số: 5a=20, 6a+2b=30, 3b+c=11 cho a=4, b=3, c=2, T=9≠10.
b) (AI giải đề cho tôi)
Tích phân bằng 2 + 21/2 + ln(2/5) = 25/2 + ln(2/5), suy ra a=25.
c) (AI giải đề cho tôi)
P'(t)=602−15t²=0 tại t≈6,34 năm, không phải 8 năm.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tổng các f(k) cho a=2025, b=2026 nên a+b=4051.

(AI giải đề cho tôi)
Với $x<0$: $f(x)=2{\cos }^2\frac{x}{2}=1+\cos x$, nên $F(x)=x+\sin x+C_1$. Từ $F\left(-\frac{\pi }{3}\right)=\pi$: $-\frac{\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}+C_1=\pi \Rightarrow C_1=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$. Vậy với $x<0$: $F(x)=\sin x+x+\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ (khẳng định b đúng). Do $F$ liên tục tại $0$: $F(0)=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$. Với $x\ge 0$: $F(x)=-\cos x+2x+C_2$, $F(0)=-1+C_2=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow C_2=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}+2}{2}$, nên khẳng định c đúng. a) Sai vì $\int (\sin x+2)dx=-\cos x+2x+C$. d) Tính: $F\left(-\frac{2\pi }{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2\pi }{3}+\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{2\pi }{3}$; $F\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{2\pi }{3}-\frac{1}{2}+\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}+2}{2}=2\pi +\frac{\sqrt{3}}{2}$; $F\left(\frac{\pi }{2}\right)=\pi -0+\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}+2}{2}=\frac{7\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}+1$. Tổng: $\frac{2\pi }{3}+2\pi +\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{7\pi }{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}-1=\frac{\pi }{3}-1\ne 5\pi$ → sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$\int (\sin x+2)dx=-\cos x+2x+C$, không phải $\cos x+2x+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Với $x<0$, $f(x)=1+\cos x$ nên $F(x)=x+\sin x+C_1$; từ $F(-\pi /3)=\pi$ suy ra $C_1=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$, đúng như khẳng định.
c) (AI giải đề cho tôi)
Do tính liên tục tại $0$, $F(0)=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}$; với $x\ge 0$, $F(x)=-\cos x+2x+C_2$ với $C_2=\frac{4\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}+2}{2}$, đúng như khẳng định.
d) (AI giải đề cho tôi)
$F(-2\pi /3)=\frac{2\pi }{3}$, $F(\pi /3)=2\pi +\frac{\sqrt{3}}{2}$, $F(\pi /2)=\frac{7\pi }{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}+1$; tổng bằng $\frac{\pi }{3}-1\ne 5\pi$.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: ∫h'(t)dt = at³ + b·t²/2 + C nên a) đúng. Vì ban đầu bể không có nước nên h(0)=0 ⇒ C=0, do đó h(t)=at³+b·t²/2, khẳng định b) (với hằng số +1) sai. Từ h(5)=150: 125a+12,5b=150 ⇔ 10a+b=12; từ h(10)=1100: 1000a+50b=1100 ⇔ 20a+b=22. Trừ hai phương trình: 10a=10 ⇒ a=1, b=2 ⇒ a·b=2, c) đúng. h(20)=8000+2·(400/2)=8000+400=8400 m³ ≠ 8040 m³, d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
∫(3at²+bt)dt = at³ + b·t²/2 + C, đúng.
b) (AI giải đề cho tôi)
Vì h(0)=0 nên C=0, h(t)=at³+b·t²/2, không có hằng số +1.
c) (AI giải đề cho tôi)
h(5)=125a+12,5b=150 và h(10)=1000a+50b=1100 cho hệ 10a+b=12, 20a+b=22 ⇒ a=1, b=2 ⇒ a·b=2.
d) (AI giải đề cho tôi)
h(20)=1·8000+2·(400/2)=8400 m³, không phải 8040 m³.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(t)=t^2-8t$ trên đoạn $[3;10]$ và $f(3)=50$. Nguyên hàm tổng quát: $f(t)=\int (t^2-8t)dt=\frac{t^3}{3}-4t^2+C$. Thay $f(3)=9-36+C=50\Rightarrow C=77$, vậy $f(t)=\frac{t^3}{3}-4t^2+77$ trên $[3;10]$.
a) Sai: $\int (t^2-8t)dt=\frac{t^3}{3}-4t^2+C$, không phải $\frac{t^3}{3}-8t^2+C$.
b) Sai: $f^{\prime }(t)=t(t-8)<0$ với $t\in (3;8)$ và $f^{\prime }(t)>0$ với $t\in (8;10)$, nên số lượng giảm trên $(3;8)$ rồi mới tăng trên $(8;10)$, không tăng liên tục từ 3 đến 10 giờ.
c) Đúng: từ kết quả câu b, $f$ giảm trên $[3;8]$ và tăng trên $[8;10]$, nên $f$ đạt giá trị nhỏ nhất tại $t=8$ (tức sau 8 giờ từ lúc bắt đầu thí nghiệm).
d) Đúng: $f(6)=\frac{216}{3}-4\cdot 36+77=72-144+77=5$ con.
a) (AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm của $f^{\prime }(t)=t^2-8t$ là $\frac{t^3}{3}-4t^2+C$, không phải $\frac{t^3}{3}-8t^2+C$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$f^{\prime }(t)=t(t-8)$ âm trên $(3;8)$ và dương trên $(8;10)$, nên số lượng giảm rồi tăng, không tăng liên tục.
c) (AI giải đề cho tôi)
$f$ giảm trên $[3;8]$ và tăng trên $[8;10]$ nên đạt nhỏ nhất tại $t=8$ giờ.
d) (AI giải đề cho tôi)
Với $f(t)=\frac{t^3}{3}-4t^2+77$ (do $f(3)=50$), ta có $f(6)=72-144+77=5$ con.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $\sin x\cos 2x=\sin x(2{\cos }^{2}x-1)$. Đặt $u=\cos x$, $du=-\sin xdx$ thì họ nguyên hàm là $F(x)=\cos x-\frac{2}{3}{\cos }^{3}x+C$.

Tại $x=\frac{\pi }{6}$: $\cos \frac{\pi }{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$, nên $F\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{2}{3}\cdot \frac{3\sqrt{3}}{8}+C=\frac{\sqrt{3}}{4}+C=\frac{\sqrt{3}}{2}\Rightarrow C=\frac{\sqrt{3}}{4}$.

Tại $x=\frac{\pi }{3}$: $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2}$, nên $F\left(\frac{\pi }{3}\right)=\frac{1}{2}-\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{8}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{5}{12}+\frac{\sqrt{3}}{4}=\frac{5+3\sqrt{3}}{12}$.

Vậy $a=3,b=3,c=12$ và $T=a+b+c=3+3+12=18$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f^{\prime }(x)=\frac{3}{x+1}$ nên trên mỗi khoảng liên tục, $f(x)=3\ln |x+1|+C$.

Trên khoảng $(-1;+\infty )$: $f(x)=3\ln (x+1)+C_1$. Vì $f(0)=1$ nên $C_1=1$, do đó $f(1)=3\ln 2+1$.

Trên khoảng $(-\infty ;-1)$: $f(x)=3\ln (-(x+1))+C_2=3\ln (-x-1)+C_2$. Khi đó $f(-2)=3\ln 1+C_2=C_2$.

Điều kiện $f(1)+f(-2)=2$ cho: $(3\ln 2+1)+C_2=2\Rightarrow C_2=1-3\ln 2$.

Vậy $f(-3)=3\ln 2+C_2=3\ln 2+1-3\ln 2=1$.

Đáp án: C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $F^{\prime }(x)=(2ax+b)\sqrt{2x-4}+\frac{a{x}^2+bx+c}{\sqrt{2x-4}}=\frac{(2ax+b)(2x-4)+a{x}^2+bx+c}{\sqrt{2x-4}}=\frac{5a{x}^2+(4b-8a)x+(c-4b)}{\sqrt{2x-4}}$. Đồng nhất với $f(x)=\frac{10x^2-13x-252}{\sqrt{2x-4}}$: $5a=10\Rightarrow a=2$; $4b-8a=-13\Rightarrow 4b=3\Rightarrow b=\frac{3}{4}$; $c-4b=-252\Rightarrow c=-255$. Vậy $T=abc=2\cdot \frac{3}{4}\cdot (-255)=-\frac{765}{2}=-382,5$.

(AI giải đề cho tôi)
Xét f(x)=2x+3, nguyên hàm F(x)=x^2+3x+C.
a) F(1)=1+3+C=2 ⟹ C=−2, nên F(x)=x^2+3x−2, không phải x^2+3x+2 ⟹ Sai.
b) ∫₀²f=[x²+3x]₀²=10; ∫₅²f=−∫₂⁵f=−(35−10)=−30; ∫₋₁⁰f=0−(1−3)=2. Tổng: 10−(−30)+2=42 ⟹ Đúng.
c) f(x)=0 tại x=−3/2. Trên [−2,−3/2] f<0, trên [−3/2,1] f>0. ∫₋₂^{−3/2}f=−9/4+2=−1/4; ∫_{−3/2}^1 f=4+9/4=25/4. Diện tích = 1/4+25/4=13/2=6,5 ≠ 6 ⟹ Sai.
d) Giao điểm: 2x+3=x²−2x+6 ⟺ x²−4x+3=0 ⟹ x=1, x=3; trên [1;3] đường thẳng nằm trên parabol. V=π∫₁³[(2x+3)²−(x²−2x+6)²]dx=π∫₁³(−x⁴+4x³−12x²+36x−27)dx=π[(−x⁵/5+x⁴−4x³+18x²−27x)]₁³=π(27/5+61/5)=88π/5 ≠ 1556π/15 ⟹ Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
F(x)=x²+3x+C, F(1)=2 ⟹ C=−2 nên F(x)=x²+3x−2, không phải x²+3x+2.
b) (AI giải đề cho tôi)
∫₀²f=10, ∫₅²f=−30, ∫₋₁⁰f=2, tổng 10−(−30)+2=42.
c) (AI giải đề cho tôi)
f đổi dấu tại x=−3/2; diện tích = 1/4+25/4=13/2=6,5 ≠ 6.
d) (AI giải đề cho tôi)
Giao tại x=1,3; V=π∫₁³[(2x+3)²−(x²−2x+6)²]dx=88π/5 ≠ 1556π/15.

(AI giải đề cho tôi)
Nguyên hàm: $F(x)=\frac{x^2}{2}-4\ln x+C$. Với $F(1)=\frac{3}{2}$: $\frac{1}{2}+C=\frac{3}{2}\Rightarrow C=1$, nên $F(x)=\frac{x^2}{2}-4\ln x+1$. Trên $[1;3]$: $F^{\prime }(x)=x-\frac{4}{x}=0\Rightarrow x=2$. So sánh: $F(1)=\frac{3}{2}=1,5$; $F(2)=2-4\ln 2+1=3-4\ln 2\approx 0,227$; $F(3)=\frac{9}{2}-4\ln 3+1=\frac{11}{2}-4\ln 3\approx 1,109$. Vậy GTLN của $F(x)$ trên $[1;3]$ là $F(1)=\frac{3}{2}\approx 1,5$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: H'(x)=(xe^x+C)'=e^x+xe^x=e^x(1+x)≠e^x, nên H(x) không phải họ nguyên hàm của f(x)=e^x (họ nguyên hàm đúng là e^x+C). b) Sai: H(0)=0·e^0+C=C=1, suy ra C=1 chứ không phải C=0. c) Đúng: ∫_{2024}^{2025} e^x dx=e^{2025}-e^{2024}=e^b-e^a với b=2025, a=2024, khi đó a-b=2024-2025=-1. d) Sai: V=π∫_0^{ln2} e^{2x}dx=π·(e^{2x}/2)|_0^{ln2}=π/2·(4-1)=3π/2 ≠ 3π/4.
a) (AI giải đề cho tôi)
H'(x)=e^x(1+x)≠e^x, nên H(x) không phải họ nguyên hàm của f(x)=e^x.
b) (AI giải đề cho tôi)
H(0)=C=1, suy ra C=1 chứ không phải C=0.
c) (AI giải đề cho tôi)
∫_{2024}^{2025} e^x dx=e^{2025}-e^{2024}=e^b-e^a với a=2024, b=2025, nên a-b=-1.
d) (AI giải đề cho tôi)
V=π∫_0^{ln2} e^{2x}dx=π/2(e^{2ln2}-1)=3π/2 ≠ 3π/4.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+5x-7}{x}=x+5-\frac{7}{x}$ với $x\ne 0$.

a) Đề phát biểu $f(x)=x+5x-\frac{7}{x}=6x-\frac{7}{x}$, sai vì phải là $x+5-\frac{7}{x}$ (hạng tử $5$ là hằng số, không phải $5x$).

b) $\int f(x)dx=\int \left(x+5-\frac{7}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$. Đúng.

c) $F(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$; $F(1)=\frac{1}{2}+5+C=5\Rightarrow C=\frac{1}{2}$. Vậy $F(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+\frac{1}{2}$. Đúng.

d) Trên $(0;+\infty )$: $G(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln x+C_1$; $G(1)=\frac{1}{2}+5+C_1=4\Rightarrow C_1=-\frac{3}{2}$, nên $G(3)=\frac{9}{2}+15-7\ln 3-\frac{3}{2}=18-7\ln 3$.

Trên $(-\infty ;0)$: $G(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C_2$, nên $G(-9)=\frac{81}{2}-45-14\ln 3+C_2=-\frac{9}{2}-14\ln 3+C_2$.

Điều kiện $G(3)+G(-9)=20$ cho $\frac{27}{2}-21\ln 3+C_2=20\Rightarrow C_2=\frac{13}{2}+21\ln 3$.

Do đó $G(-6)=18-30-7\ln 6+C_2=-12-7\ln 2-7\ln 3+\frac{13}{2}+21\ln 3=-\frac{11}{2}-7\ln 2+14\ln 3$, tức $a=-7,b=14,c=-\frac{11}{2}\Rightarrow a+b+c=-\frac{1}{2}\ne \frac{2}{3}$. (Nếu dùng chung một hằng số cho cả miền xác định thì $G(3)+G(-9)=\frac{27}{2}-21\ln 3\approx 2,93\ne 20$, dữ kiện mâu thuẫn; trong cả hai cách hiểu, khẳng định $a+b+c=\frac{2}{3}$ đều sai.) Vậy ý d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$f(x)=\frac{x^2+5x-7}{x}=x+5-\frac{7}{x}$, không phải $x+5x-\frac{7}{x}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$\int \left(x+5-\frac{7}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
$F(1)=\frac{1}{2}+5+C=5\Rightarrow C=\frac{1}{2}$, nên $F(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+\frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
(AI giải đề cho tôi)
Trên $(0;+\infty )$: $G(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln x+C_1$; $G(1)=\frac{1}{2}+5+C_1=4\Rightarrow C_1=-\frac{3}{2}$, nên $G(3)=\frac{9}{2}+15-7\ln 3-\frac{3}{2}=18-7\ln 3$.

Trên $(-\infty ;0)$: $G(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C_2$, nên $G(-9)=\frac{81}{2}-45-14\ln 3+C_2=-\frac{9}{2}-14\ln 3+C_2$.

$G(3)+G(-9)=\frac{27}{2}-21\ln 3+C_2=20\Rightarrow C_2=\frac{13}{2}+21\ln 3$.

Khi đó $G(-6)=18-30-7\ln 6+C_2=-12-7\ln 2-7\ln 3+\frac{13}{2}+21\ln 3=-\frac{11}{2}-7\ln 2+14\ln 3$.

Vậy $a=-7,b=14,c=-\frac{11}{2}\Rightarrow a+b+c=-\frac{1}{2}\ne \frac{2}{3}$: ý d) sai.

(Nếu yêu cầu một hằng số duy nhất cho cả miền xác định thì $G(3)+G(-9)=\frac{27}{2}-21\ln 3\approx 2,93\ne 20$, dữ kiện mâu thuẫn; trong cả hai cách hiểu, khẳng định $a+b+c=\frac{2}{3}$ đều sai.)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x)=\frac{x^2+5x-7}{x}=x+5-\frac{7}{x}$ với $x\ne 0$.

a) Đề phát biểu $f(x)=x+5x-\frac{7}{x}$ (tức $6x-\frac{7}{x}$), sai vì phải là $x+5-\frac{7}{x}$.

b) $\int f(x)dx=\int \left(x+5-\frac{7}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$. Đúng.

c) $F(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$; $F(1)=\frac{1}{2}+5-0+C=5\Rightarrow C=\frac{1}{2}$. Vậy $F(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+\frac{1}{2}$. Đúng.

d) Nguyên hàm trên từng khoảng: $G(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$. Từ $G(1)=4$: $\frac{1}{2}+5+C=4\Rightarrow C=-\frac{3}{2}$ (trên khoảng chứa $x=1$, tức $x>0$). Khi đó $G(3)=\frac{9}{2}+15-7\ln 3-\frac{3}{2}=18-7\ln 3$. Trên khoảng $x<0$, $G(-9)=\frac{81}{2}-45-7\ln 9+C^{\prime }=-\frac{9}{2}-14\ln 3+C^{\prime }$. Điều kiện $G(3)+G(-9)=20$ cho $\frac{27}{2}-21\ln 3+C^{\prime }=20\Rightarrow C^{\prime }=\frac{13}{2}+21\ln 3$. Suy ra $G(-6)=18-30-7\ln 6+\frac{13}{2}+21\ln 3=-\frac{11}{2}-7\ln 2+14\ln 3$, tức $a=-7,b=14,c=-\frac{11}{2}$, nên $a+b+c=\frac{3}{2}\ne \frac{2}{3}$. (Nếu dùng chung một hằng số thì $G(3)+G(-9)=15-21\ln 3+2C=20$ cho $a+b+c=-13$, cũng khác $\frac{2}{3}$.) Vậy ý d) sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
$f(x)=\frac{x^2+5x-7}{x}=x+5-\frac{7}{x}$, không phải $x+5x-\frac{7}{x}$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$\int \left(x+5-\frac{7}{x}\right)dx=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+C$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$F(1)=\frac{1}{2}+5+C=5\Rightarrow C=\frac{1}{2}$, nên $F(x)=\frac{x^2}{2}+5x-7\ln |x|+\frac{1}{2}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tính được $G(-6)=-\frac{11}{2}-7\ln 2+14\ln 3$ (hoặc với một hằng số chung: $-\frac{19}{2}-7\ln 2+\frac{7}{2}\ln 3$), suy ra $a+b+c=\frac{3}{2}$ (hoặc $-13$), không bằng $\frac{2}{3}$.