Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

Chọn D
ex -1  2  1
Ta có: $\int$ x dx = $\int$ 1 - x  dx = $\int$ 1dx - 2 $\int$ x dx
e +1  e +1  e +1
1
Đặt: e x + 1 = u $\Rightarrow$ e x dx = du $\iff$ dx = du
u -1

Nên:
1 1  1 1 u -1 ex
$\int$ e x + 1 $\int$ u ( u - 1)
dx = du = $\int$  u - 1 u 
- du = ln + C1 = ln + C1 = x - ln ( e x + 1) + C1
u e +1
x

ex -1
Vậy: $\int$
e +1
x ( )
dx = x - 2 x - ln ( e x + 1) + C1 = 2 ln ( e x + 1) - x + C .

Ta có $\int (x^2+3)\mathrm{d}x=\frac{x^3}{3}+3x+C$.

Ta có $F(x)=\int (e^x-1)\mathrm{d}x=e^x-x+C$. Vì $F(0)=2\Rightarrow 1+C=2\iff C=1$. Vậy $F(x)=e^x-x+1$.

Ta có $F(x)=\{\begin{array}{ll}{x}^2+3x+C_1& \text{khi }x\ge 1\\ x^3+2x+C_2& \text{khi }x<1\end{array}$. Do $F(0)=2\Rightarrow C_2=2$. Vì $F(x)$ liên tục tại $x=1$ nên $4+C_1=3+C_2=5\Rightarrow C_1=1$. Khi đó $F(-2)=(-2{)}^3+2(-2)+2=-10$ và $F(3)=3^2+3(3)+1=19$, suy ra $F(-2)+2F(3)=-10+38=28$.

Ta có $\int (3x^2+\cos x)\mathrm{d}x=x^3+\sin x+C$. Chọn B.

Ta có:
$\int f(x)\mathrm{d}x=\int (\cos x+1)\mathrm{d}x=\sin x+x+C.$

Chọn đáp án B.

Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản $\int x^n\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (với $n\ne -1$):
$\int f(x)\mathrm{d}x=\int x^3\mathrm{d}x=\frac{x^4}{4}+C.$

Chọn đáp án B.

Tìm hàm số $f(x)$:
$f(x)=\int f^{\prime }(x)\mathrm{d}x=\int ({\mathrm{e}}^{2x}+1)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2x}+x+C_1.$
Vì $f(0)=\frac{3}{2}\iff \frac{1}{2}{\mathrm{e}}^0+0+C_1=\frac{3}{2}\iff \frac{1}{2}+C_1=\frac{3}{2}\iff C_1=1$.
Do đó $f(x)=\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2x}+x+1$.

Tìm nguyên hàm $F(x)$ của $f(x)$:
$F(x)=\int f(x)\mathrm{d}x=\int \left(\frac{1}{2}{\mathrm{e}}^{2x}+x+1\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{4}{\mathrm{e}}^{2x}+\frac{x^2}{2}+x+C_2.$
Vì $F(0)=\frac{5}{4}\iff \frac{1}{4}{\mathrm{e}}^0+0+0+C_2=\frac{5}{4}\iff \frac{1}{4}+C_2=\frac{5}{4}\iff C_2=1$.
Suy ra $F(x)=\frac{1}{4}{\mathrm{e}}^{2x}+\frac{x^2}{2}+x+1$.

Tính $F(1)$:
$F(1)=\frac{1}{4}{\mathrm{e}}^2+\frac{1}{2}+1+1=\frac{{\mathrm{e}}^2}{4}+\frac{5}{2}=\frac{{\mathrm{e}}^2+10}{4}.$

Chọn đáp án C.

Ta có:
$\int -\sqrt[3]{x}dx=\int -x^{\frac{1}{3}}dx=-\frac{x^{\frac{1}{3}+1}}{\frac{1}{3}+1}+C=-\frac{3}{4}{x}^{\frac{4}{3}}+C.$

Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản:
$\int (3x^2+\sin x)dx=x^3-\cos x+C.$

Trên khoảng $(1;+\infty )$ ta có:
$f(x)=\int \left(\frac{1}{x-1}+6x\right)dx=\ln (x-1)+3x^2+C$
Vì $f(2)=12⟺\ln 1+3(2^2)+C=12⟺12+C=12⟺C=0$.
Do đó $f(x)=\ln (x-1)+3x^2$.

Tìm nguyên hàm $F(x)$:
$F(x)=\int [\ln (x-1)+3x^2]dx=(x-1)\ln (x-1)-(x-1)+x^3+C_1$
Vì $F(2)=6⟺0-1+8+C_1=6⟺7+C_1=6⟺C_1=-1$.
Suy ra $F(x)=(x-1)\ln (x-1)+x^3-x$.

Tính các giá trị:
$F(5)=4\ln 4+5^3-5=8\ln 2+120$
$F(3)=2\ln 2+3^3-3=2\ln 2+24$
Vậy $P=F(5)-4F(3)=(8\ln 2+120)-4(2\ln 2+24)=120-96=24$.

Ta có: $\int (x+\cos x)dx=\frac{x^2}{2}+\sin x+C$.
Chọn đáp án C.

Ta có: $\int (2x+2^x)dx=x^2+\frac{2^x}{\ln 2}+C$.
Chọn đáp án C.

Ta có $\int (e^x+2x)\mathrm{d}x=e^x+x^2+C$. Chọn D.

Ta có $\int 2\sin xdx=-2\cos x+C$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn C.

Công thức nguyên hàm cơ bản: $\int \frac{1}{ax+b}dx=\frac{1}{a}\ln |ax+b|+C$. Với $a=3,b=2$ ta có $\int \frac{1}{3x+2}dx=\frac{1}{3}\ln |3x+2|+C$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 170, trang 7), chọn B.

Vì $\int \sin x\mathrm{d}x=-\cos x+C$ nên phương án B sai.

Ta có $\int f(x)\mathrm{d}x=\int \frac{\cos x}{1-{\cos }^{2}x}\mathrm{d}x=\int \frac{\cos x}{{\sin }^{2}x}\mathrm{d}x=\int \frac{1}{{\sin }^{2}x}\mathrm{d}(\sin x)=-\frac{1}{\sin x}+C$.

Vậy $F(x)=-\frac{1}{\sin x}+C$.

Ta có $f(x)=\int (e^x-x)dx=e^x-\frac{x^2}{2}+C$. Vì $f(0)=1$ nên $e^0-0+C=1\iff 1+C=1\iff C=0$. Vậy $f(x)=e^x-\frac{x^2}{2}$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn D.

Theo công thức nguyên hàm cơ bản: $\int x^{4}dx=\frac{x^5}{5}+C=\frac{1}{5}{x}^5+C$. Theo đáp án chính thức (Mã đề 731, trang 13), chọn B.