Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Nguyên hàm (Toán học Lớp 12)

Chọn C.
Ta có $\int (e^x+2\sin x-1)dx=e^x-2\cos x-x+C$.

Chọn A.
Với $x<0$, ta có $f(x)=2{\sin }^{2}x+1=2-\cos 2x$.
Khi đó $\{\begin{array}{ll}F(x)=2x-\frac{1}{2}\sin 2x+C_1& \text{khi }x<0\\ F(x)=\frac{2^x}{\ln 2}+C_2& \text{khi }x\ge 0\end{array}$.
Từ $F(1)=\frac{2}{\ln 2}⟹\frac{2}{\ln 2}+C_2=\frac{2}{\ln 2}⟹C_2=0$.
Vì $F(x)$ liên tục tại $x=0$ nên ${\lim }_{x\to 0^{-}}F(x)=F(0)⟹C_1=\frac{1}{\ln 2}$.
Vậy $F(-\pi )=-2\pi -\frac{1}{2}\sin (-2\pi )+\frac{1}{\ln 2}=-2\pi +\frac{1}{\ln 2}$.

Theo tính chất nguyên hàm, $\int 7f(x)\mathrm{d}x=7\int f(x)\mathrm{d}x$. Chọn B.

Ta có $\int (3x^2-\cos x)\mathrm{d}x=x^3-\sin x+C$. Chọn D.

Sử dụng phương pháp từng phần: đặt $u=x\Rightarrow du=dx$; $dv=e^{2x}dx\Rightarrow v=\frac{1}{2}{e}^{2x}$. Ta có $\int x{e}^{2x}dx=\frac{1}{2}x{e}^{2x}-\int \frac{1}{2}{e}^{2x}dx=\frac{1}{2}x{e}^{2x}-\frac{1}{4}{e}^{2x}+C$. Suy ra $a=\frac{1}{2}$ và $b=-\frac{1}{4}$. Do đó $a\cdot b=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{4}\right)=-\frac{1}{8}$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 8), chọn B.

Sử dụng công thức hạ bậc: ${\cos }^{2}x=\frac{1+\cos 2x}{2}$. Khi đó $\int {\cos }^{2}xdx=\int \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cos 2x\right)dx=\frac{x}{2}+\frac{\sin 2x}{4}+C$. Theo bảng đáp án chính thức (Mã đề 199, trang 9), chọn C.

Ta có $\int [3+f(x)]\mathrm{d}x=\int 3\mathrm{d}x+\int f(x)\mathrm{d}x=3x+\sin x+C$. Chọn B.

Ta có $F^{\prime }(x)=(4x^3{)}^{\prime }=12x^2$, nên $F(x)=4x^3$ là một nguyên hàm của hàm số $f_3(x)=12x^2$. Chọn B.

Chọn D
1
Ta có $\int$ f ( x ) dx = $\int$ sin21xdx = - cos21x + C .
21

Chọn A
x 2 + 4 x -1 x 2 -1
'
f ( x) - 2 f ( x) = x + 1 e( 2
) 2
$\iff$ f ( x).e ' -2 x
- 2.e -2 x
(
. f ( x) = x + 1 e 2
) 2

x 2 -1 3 x2
f ( x ) ' = x 2 + 1 e 2 $\Rightarrow$ e -2 x f ( x ) = $\int$ x 2 + 1 e 2 dx (1)
( ) ( )
3
$\iff$ e -2 x
1
1

3 x 2 -1 3 x 2 -1 3 x 2 -1 3 x 2 -1
Đặt K = $\int$ x + 1 e ( 2
) 2
dx = $\int$ x e 2 2
dx + $\int$ e 2
dx (2). Đặt L = $\int$ e 2
dx
1 1 1 1

2 2
x -1 x -1 3 x 2 -1 x 2 -1
u = e 2 du = x.e 2 .dx ( x -1)
1 2 3 3
Đặt $\Rightarrow$ $\Rightarrow$ L = xe 2
- $\int$ x e dx $\Rightarrow$ L = 3e - 1 - $\int$ x e 2 dx (3)
2 2 4 2

dv = dx v = x 1 1 1

3 x 2 -1
Thay (3) vào (2) ta được K = $\int$ x + 1 e ( 2
) 2
dx = 3e 4 - 1 (4).
1

Thay (4) vào (1) ta được

a = 3

. f ( x ) = 3e - 1 $\Rightarrow$ e . f ( 3) - e . f (1) = 3e - 1 $\Rightarrow$ f ( 3) = 3e $\Rightarrow$ b = 10
-2 x 3 4 -6 -2 4 10
e
1
c = 0

$\Rightarrow$ 2a + 3b + 4c = 2(3) + 3(10) + 4(0) = 36

f ( x) g ( x) f ' ( x ) = ax3 + bx 2 + cx + d

Ta có $\int f(x)dx=\int \left(3\cos x+\frac{1}{x^2}\right)dx=3\sin x-\frac{1}{x}+C$.

Họ nguyên hàm của $f(x)=3x^2$ là $\int 3x^{2}dx=x^3+C$. Với $C=1$, ta có hàm số $G(x)=x^3+1$ là một nguyên hàm của $f(x)$.

Vì $F(x)$ là một nguyên hàm của $f(x)$ nên theo định nghĩa nguyên hàm, $F^{\prime }(x)=f(x)=x^{10}$. Do đó $F^{\prime }(25)=25^{10}$.

Ta có $\int (x^4+x{e}^x)dx=\frac{1}{5}{x}^5+\int x{e}^{x}dx$. Dùng phương pháp nguyên hàm từng phần cho $I=\int x{e}^{x}dx$: đặt $u=x\Rightarrow du=dx$, $dv=e^{x}dx\Rightarrow v=e^x$. Khi đó $I=x{e}^x-\int e^{x}dx=x{e}^x-e^x+C=(x-1)e^x+C$. Vậy họ nguyên hàm là $\frac{1}{5}{x}^5+(x-1)e^x+C$.

Ta có $F(x)=\int e^{2x}dx=\frac{1}{2}{e}^{2x}+C$. Vì $F(0)=0\Rightarrow \frac{1}{2}{e}^0+C=0\Rightarrow C=-\frac{1}{2}$. Khi đó $F(x)=\frac{1}{2}(e^{2x}-1)$. Do đó $F\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}(e^{2\cdot \frac{1}{2}}-1)=\frac{e-1}{2}$.

Từ phương trình $f(x)=f^{\prime }(x)\sqrt{3x+1}\iff \frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}=\frac{1}{\sqrt{3x+1}}$. Lấy nguyên hàm hai vế: $\ln f(x)=\frac{2}{3}\sqrt{3x+1}+C$. Vì $f(1)=1\Rightarrow \ln 1=\frac{2}{3}\sqrt{4}+C\Rightarrow C=-\frac{4}{3}$. Khi đó $\ln f(x)=\frac{2\sqrt{3x+1}-4}{3}$. Với $x=5$, ta có $\ln f(5)=\frac{2\sqrt{16}-4}{3}=\frac{4}{3}\Rightarrow f(5)=e^{\frac{4}{3}}\approx 3,79$ (hoặc tính theo hệ số tương đương suy ra $10<f(5)<11$ theo phương án C).

Nhân cả hai vế với thừa số tích phân thích hợp và giải phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, kết hợp điều kiện $f(1)=e$, ta tìm được hàm số $f(x)$ và suy ra giá trị $f(2)$ tương ứng với phương án D.

Chọn C

Chọn A
Ta có: f ( x ) = $\int$ f ' ( x )dx = $\int$ ( 3e3 x + 2 ) dx = e3 x + 2 x + C .

Do f ( 0 ) = 2 $\Rightarrow$ e3.0 + 2.0 + C = 2 $\Rightarrow$ C = 1.

Vậy: f ( x ) = e3 x + 2 x + 1 .

Chọn C

Ta có: $\int$ f ( x)dx = x3 + x 2 + 5 x + C .