Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phép toán biến cố (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Theo luật De Morgan: $\overline{A_1}\cup \overline{A_2}\cup \overline{A_3}=\overline{A_1\cap A_2\cap A_3}$, tức là phần bù của biến cố 'cả 3 lần gieo đều được mặt sắp'. Vậy biến cố này là 'mặt sắp không xuất hiện ở cả 3 lần', tức 'có ít nhất một lần gieo được mặt ngửa' — mặt ngửa xuất hiện ít nhất một lần. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu có 36 kết quả đồng khả năng. $A$: hai lần đều chẵn (mỗi lần 3 cách) nên $n(A)=9$, $P(A)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$. $B$: một chẵn một lẻ nên $n(B)=2\cdot 3\cdot 3=18$, $P(B)=\frac{18}{36}=\frac{1}{2}$. $C$: tích hai số chẵn khi và chỉ khi có ít nhất một số chẵn, tức $C=A\cup B$; $n(C)=36-9=27$, $P(C)=\frac{27}{36}=\frac{3}{4}$. a) Đúng: tích chẵn $⟺$ ít nhất một lần ra chẵn $⟺$ hoặc cả hai chẵn ($A$) hoặc một chẵn một lẻ ($B$), vậy $C=A\cup B$. b) Đúng: $A$ và $B$ xung khắc (không thể vừa cả hai chẵn vừa có số lẻ) nên $P(C)=P(A\cup B)=P(A)+P(B)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$. c) Sai: $P(A)=\frac{1}{4}$ chứ không phải $\frac{1}{6}$. d) Đúng: $A\cap B=\varnothing$ nên $P(AB)=0$.
a) Tích hai số chẵn $⟺$ có ít nhất một số chẵn $⟺$ $C=A\cup B$.
b) $A$, $B$ xung khắc nên $P(C)=P(A)+P(B)=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}=P(C)$.
c) $P(A)=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}\ne \frac{1}{6}$.
d) $A$ và $B$ xung khắc nên $P(AB)=0$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa xác suất có điều kiện: $P(A\mid B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$ và $P(B\mid A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$. Điều kiện $P(A\mid B)=4P(B\mid A)$ cho $\frac{P(AB)}{P(B)}=4\cdot \frac{P(AB)}{P(A)}$. Vì $P(AB)>0$ (các xác suất có điều kiện xác định), rút gọn $P(AB)$ ta được $\frac{1}{P(B)}=\frac{4}{P(A)}$, suy ra $\frac{P(A)}{P(B)}=4$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức xác suất có điều kiện: $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0,4}{0,8}=\frac{1}{2}$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)$, suy ra $P(AB)=0,85-0,58=0,27$. Sau đó $P(\overline{A}B)=P(B)-P(AB)=0,7-0,27=0,43$. Vậy chọn đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Từ công thức xác suất có điều kiện: $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ nên $P(A\cap B)=P(A|B)\cdot P(B)=0,25\cdot 0,3=0,075$. Sau đó $P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}=\frac{0,075}{0,4}=0,1875$. Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Biến cố $AB$ là giao của $A$ (tổng bằng 4) và $B$ (tích bằng 4). Các kết quả có tổng bằng 4: $(1;3),(2;2),(3;1)$. Trong đó chỉ có $(2;2)$ có tích $2\cdot 2=4$ (các cặp còn lại có tích 3). Vậy $AB=\{(2;2)\}$, chọn đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Các kết quả có tổng bằng 5 là $\{(1;4),(2;3),(3;2),(4;1)\}$. Biến cố $C$ yêu cầu ít nhất một con xúc xắc ra mặt 1, nên $AC=\{(1;4),(4;1)\}$. Vậy chọn A.

(AI giải đề cho tôi)
Hộp có 5 bi đỏ và 6 bi xanh (tổng 11 bi). Hưng lấy 1 bi không trả lại, sau đó An lấy 1 bi.

Tính: $P(A)=\frac{5}{11}$ (Hoa lấy được bi đỏ).

$P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|\bar{A})P(\bar{A})=\frac{6}{10}\cdot \frac{5}{11}+\frac{5}{10}\cdot \frac{6}{11}=\frac{3}{11}+\frac{3}{11}=\frac{6}{11}$.

$P(A\cap B)=\frac{5}{11}\cdot \frac{6}{10}=\frac{3}{11}$.

Kiểm tra: $P(A)\cdot P(B)=\frac{5}{11}\cdot \frac{6}{11}=\frac{30}{121}$, còn $P(A\cap B)=\frac{3}{11}=\frac{33}{121}$.

Vì $P(A\cap B)\ne P(A)\cdot P(B)$, hai biến cố A và B không độc lập (việc Hưng lấy bi không trả lại làm thay đổi thành phần hộp, ảnh hưởng đến xác suất của An). Đáp án: C.

(AI giải đề cho tôi)
Biến cố H: học sinh là nữ, gồm {Giang, Thanh, Thảo, Anh}. Biến cố K: học sinh có tên bắt đầu bằng chữ T, gồm {Thanh, Thảo, Tùng, Tiến}. Biến cố hợp $H\cup K$ là 'Học sinh được chọn là bạn nữ hoặc có tên bắt đầu bằng chữ T', gồm các phần tử thuộc H hoặc K: {Giang, Thanh, Thảo, Anh, Tùng, Tiến}. Vậy đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Xác suất của $A$ với điều kiện $B$ là $P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{0,5}{0,8}=\frac{5}{8}=0,625$. Kiểm tra các phương án: A tính $P(B|A)=\frac{0,5}{0,6}=\frac{5}{6}\ne \frac{5}{8}$ (sai); B cho $\frac{2}{3}$ (sai); C: $P(A\overline{B})=P(A)-P(AB)=0,6-0,5=0,1\ne 0,512$ (sai); D đúng vì $0,625=\frac{5}{8}$.

(AI giải đề cho tôi)
Không gian mẫu: $C_5^2=10$ kết quả. $A$: 2 bi trắng: $C_3^2=3$; $B$: 2 bi đỏ: $C_2^2=1$; $C$: hai bi cùng màu $=A\cup B$ có 4 kết quả; $D$: hai bi khác màu có 6 kết quả. Hai biến cố đối nhau khi chúng xung khắc và hợp của chúng là biến cố chắc chắn. Ta thấy $C\cup D=\Omega$ và $C\cap D=\varnothing$, nên $C$ và $D$ là biến cố đối. Các cặp khác không thỏa: $A\cup B\ne \Omega$ (thiếu trường hợp khác màu), $A\cup D=\Omega$ nhưng $A\cap D=\varnothing$ — thực ra $A$ và $D$ cũng xung khắc và hợp là $\Omega$? Kiểm tra: $A$ (cùng trắng) và $D$ (khác màu) xung khắc, hợp gồm trắng-trắng và khác màu, thiếu đỏ-đỏ, nên $A\cup D\ne \Omega$. Tương tự $B\cup D$ thiếu trắng-trắng. Vậy chỉ có $C$ và $D$ đối nhau, chọn đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức xác suất có điều kiện: $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0,2}{0,6}=\frac{1}{3}$. Vậy đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $P(\overline{A}|B)=1-P(A|B)=1-\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=1-\frac{0,2}{0,5}=1-0,4=0,6$. Vậy đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
$B=\{2,4,6\}$ nên $P(B)=\frac{1}{2}$. $A\cap B=\{2\}$ nên $P(A\cap B)=\frac{1}{6}$. Do đó $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{1/6}{1/2}=\frac{1}{3}$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo định nghĩa xác suất có điều kiện: $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{0,2}{0,8}=0,25$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 12, ý 2): A, B độc lập với $P(A)=0,4$, $P(B)=0,3$ nên $P(A.B)=P(A)P(B)=0,4\cdot 0,3=0,12$ và $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A.B)=0,4+0,3-0,12=0,58$.
Sự kiện cả A và B cùng không xảy ra là $\overline{A}.\overline{B}$, do đó $P(\overline{A}.\overline{B})=1-P(A\cup B)=1-0,58=0,42$.
Vậy đáp án C. (Ghi chú: bản in ký hiệu gạch trên cả cụm $AB$; nếu hiểu chặt là $P(\overline{A.B})$ thì giá trị là $0,88$, không có trong các phương án, nên ý định của đề là $P(\overline{A}.\overline{B})=0,42$.)

(AI giải đề cho tôi)
Tập $A$ gồm các số chẵn lớn hơn 9: $\{10;12;14;16;18;20\}$ nên $n(A)=6$. Tập $B$ gồm các số từ 8 đến 15: $\{8;9;10;11;12;13;14;15\}$ nên $n(B)=8$. Phần giao $A\cap B=\{10;12;14\}$ nên $n(A\cap B)=3$. Suy ra $n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=6+8-3=11$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Bài 1 (Phần III): Hai vận động viên bắn độc lập, M: “A bắn trúng vòng 10”, N: “B bắn trúng vòng 10”. Biểu diễn các biến cố theo M và N như sau:

- $C$: “Có ít nhất một vận động viên bắn trúng vòng 10” xảy ra khi A trúng hoặc B trúng (hoặc cả hai), nên $C=M\cup N$.

- $D$: “Cả hai vận động viên bắn trúng vòng 10” xảy ra khi A trúng và B trúng, nên $D=M\cap N$ (viết $MN$).

- $E$: “Cả hai vận động viên đều không bắn trúng vòng 10” xảy ra khi A không trúng và B không trúng, nên $E=\overline{M}\cap \overline{N}=\overline{M\cup N}$ (phần bù của C).

- $F$: “A bắn trúng và B không bắn trúng vòng 10” xảy ra khi A trúng và B không trúng, nên $F=M\cap \overline{N}=M\overline{N}$.

- $G$: “Chỉ có duy nhất một vận động viên bắn trúng vòng 10” xảy ra khi (A trúng và B không trúng) hoặc (A không trúng và B trúng), nên $G=M\overline{N}\cup \overline{M}N=(M\cup N)\setminus (M\cap N)$, tức là $G=C\setminus D$.

Kiểm tra tính hợp lý: $C=D\cup G$ (ít nhất một trúng = cả hai trúng hoặc đúng một người trúng), $E$ và $C$ đối nhau, $F\subset G$. Tất cả các biểu diễn đều nhất quán với định nghĩa các biến cố.

(AI giải đề cho tôi)
Lớp có 40 học sinh; $n(A)=18$, $n(B)=10$, $n(A\cap B)=6$. a) Vì có 6 học sinh tham gia cả hai môn nên $A\cap B\ne \varnothing$, do đó $A,B$ không xung khắc → Sai. b) $P(B)=\frac{10}{40}=\frac{1}{4}$ → Đúng. c) Xác suất tham gia ít nhất một môn: $P(A\cup B)=\frac{18+10-6}{40}=\frac{22}{40}=\frac{11}{20}\ne \frac{13}{20}$ → Sai. d) Xác suất không tham gia môn nào: $1-\frac{11}{20}=\frac{9}{20}\ne \frac{3}{20}$ → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Có 6 học sinh tham gia cả hai môn nên $A\cap B\ne \varnothing$, hai biến cố không xung khắc.
b) (AI giải đề cho tôi)
$P(B)=\frac{10}{40}=\frac{1}{4}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P(A\cup B)=\frac{18+10-6}{40}=\frac{11}{20}\ne \frac{13}{20}$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Xác suất không tham gia môn nào là $1-\frac{11}{20}=\frac{9}{20}\ne \frac{3}{20}$.