Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $2^{x^2-3x}=16=2^4$ nên $x^2-3x=4$, tức $x^2-3x-4=0$. Phương trình có hai nghiệm $x=-1$ và $x=4$. Với $x_1<x_2$ thì $x_1=-1$, $x_2=4$. Do đó $S=x_1+507x_2=-1+507\cdot 4=-1+2028=2027$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (2027).

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần tìm $t$ sao cho $50\cdot 2^t=3200$. Suy ra $2^t=\frac{3200}{50}=64=2^6$, nên $t=6$. Vậy sau 6 giờ số lượng vi khuẩn là 3200 con. Kết quả khớp với đáp án nguồn (Mã đề 0102, Phần III Câu 2: 6).

a) Ta có $e^x=e^6\iff x=6$. (0,25 điểm)
b) Ta có ${\log }_{0,2}x\ge -1\iff 0<x\le 0,2^{-1}\iff 0<x\le 5$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $9^{{\log }_{9}4}=4$ (tính chất $a^{{\log }_{a}b}=b$) và ${\log }_8{8}^7=7$. Vậy $P=4+7=11$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: C (bảng đáp án PHẦN I, Mã đề 0102, Câu 6, trang 5).

(AI giải đề cho tôi)
Ta cần tìm $t$ sao cho $50\cdot 2^t=3200$. Chia hai vế cho 50: $2^t=64=2^6$, suy ra $t=6$. Vậy sau 6 giờ số lượng vi khuẩn là 3200 con, khớp với đáp án nguồn (Mã đề 0101, Phần III Câu 1: 6).

a) Ta có $e^x=e^6\iff x=6$. (0,25 điểm)
b) Ta có ${\log }_{0,2}x\ge -1\iff 0<x\le 0,2^{-1}\iff 0<x\le 5$. (0,25 điểm)

(AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất lũy thừa và logarit: $3^{{\log }_{3}4}=4$ và ${\log }_6{6}^7=7$. Vậy $P=4+7=11$. Kết quả trùng với đáp án nguồn (bảng đáp án PHẦN I, Mã đề 0101, Câu 2: C, trang 5).

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện $x-1>0\iff x>1$. Phương trình ${\log }_4(x-1)=3\iff x-1=4^3=64\iff x=65$ (thỏa điều kiện). Vậy đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $5-10x>0\iff x<\frac{1}{2}$. Phương trình ${\log }_4(5-10x)=2\iff 5-10x=4^2=16\iff -10x=11\iff x=-\frac{11}{10}$. Giá trị này thỏa mãn điều kiện, nên đáp án là C.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $32=2^5$, nên $2^{2x+1}=2^5\Rightarrow 2x+1=5\Rightarrow x=2$. Vậy đáp án D.

(AI giải đề cho tôi)
Vì áp suất suy giảm theo độ cao nên $P=P_0{e}^{ix}$ với $i<0$. Tại $x=1000$: $673=760e^{1000i}\Rightarrow i=\frac{\ln (673/760)}{1000}\approx -0,000121637$. Tại $x=3750$: $P=760e^{3750i}=760{\left(\frac{673}{760}\right)}^{3,75}\approx 760\cdot 0,63375\approx 481,65$. Làm tròn đến hàng đơn vị: $P\approx 482mmHg$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{9}4=\frac{{\log }_{3}4}{{\log }_{3}9}=\frac{{\log }_{3}4}{2}={\log }_{3}2$. Do đó ${\log }_{9}4+{\log }_{3}5={\log }_{3}2+{\log }_{3}5={\log }_{3}10$. Suy ra $P=3^{{\log }_{3}10}=10$. Vậy đáp án đúng là D.

Ta có: $3^x+5^x=2\cdot 4^x\iff {\left(\frac{3}{4}\right)}^x+{\left(\frac{5}{4}\right)}^x=2$ (do $4^x>0$ với mọi $x$)

Xét hàm số $f(x)={\left(\frac{3}{4}\right)}^x+{\left(\frac{5}{4}\right)}^x$, do đây là một hàm số tổng của hai hàm mũ cơ số dương nên f(x) là một hàm lồi. Do f(x) giao với đường thẳng $y=2$, theo tính chất hàm lồi thì chỉ giao với đường thẳng ngang tối đa 2 nghiệm

+ Xét $x=1\iff \frac{3}{4}+\frac{5}{4}=2$ (đúng)

+ Xét $x=0\iff 1+1=2$ (đúng)

Cho nên phương trình có hai nghiệm là $x=0$ và $x=1$

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức $S=A\cdot e^{nr}$ với $A=80902400$, $r=0,0147$, cần $S\ge 93713000$. Ta có $e^{nr}\ge \frac{93713000}{80902400}\approx 1,1580$, nên $nr\ge \ln (1,1580)\approx 0,1467$, suy ra $n\ge \frac{0,1467}{0,0147}\approx 9,98$. Vậy $n$ nguyên nhỏ nhất là $n=10$, tức năm $2005+10=2015$. Kiểm tra: $80902400\cdot e^{10\cdot 0,0147}\approx 80902400\cdot 1,1583\approx 93713000$ người. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2015).

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức $S=A\cdot e^{nr}$ với $A=80902400$, $r=0,0147$, cần tìm $n$ sao cho $80902400\cdot e^{0,0147n}\ge 93713000$. Suy ra $e^{0,0147n}\ge \frac{93713000}{80902400}\approx 1,15833$, nên $n\ge \frac{\ln (1,15833)}{0,0147}\approx \frac{0,14697}{0,0147}\approx 9,998$. Vậy $n$ nguyên nhỏ nhất là $n=10$, tức tối thiểu đến năm $2005+10=2015$ số dân đạt khoảng $93713000$ người. Kết quả khớp với đáp án nguồn (2015).

(AI giải đề cho tôi)
Đưa về cùng cơ số 3: $27^{2x-3}=3^{6x-9}$ và ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x^2+2}=3^{-x^2-2}$. Phương trình trở thành $6x-9=-x^2-2\iff x^2+6x-7=0\iff x=1$ hoặc $x=-7$.
- a) Thay $x=1$: VT $=27^{-1}=3^{-3}$, VP $=3^{-3}$, đúng nên $x=1$ là nghiệm. ĐÚNG.
- b) VP phải là $3^{-x^2-2}$ chứ không phải $3^{-x^2+2}$ (vì ${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x^2+2}=3^{-(x^2+2)}$). SAI.
- c) Tổng các nghiệm $1+(-7)=-6\ne 6$. SAI.
- d) Thay $x=0$: VT $=27^{-3}=3^{-9}$, VP $=3^{-2}$, không bằng nhau nên $x=0$ không là nghiệm. ĐÚNG.
a) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=1$: $27^{-1}=3^{-3}={\left(\frac{1}{3}\right)}^3$, thỏa mãn nên $x=1$ là nghiệm.
b) (AI giải đề cho tôi)
${\left(\frac{1}{3}\right)}^{x^2+2}=3^{-x^2-2}$, nên phương trình tương đương $3^{3(2x-3)}=3^{-x^2-2}$, không phải $3^{-x^2+2}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giải $x^2+6x-7=0$ được $x=1$ và $x=-7$, tổng bằng $-6\ne 6$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Thay $x=0$: $27^{-3}=3^{-9}\ne 3^{-2}={\left(\frac{1}{3}\right)}^2$, nên $x=0$ không là nghiệm.

(AI giải đề cho tôi)
Từ điều kiện: ln(x−y)+½ln(xy)=ln(x+y) ⟺ (x−y)xy=(x+y)². Đặt t=x/y>1, x=ty. Khi đó y³t(t−1)=y²(t+1)² ⟹ y=(t+1)²/[t(t−1)]. Suy ra M=x+y=y(t+1)=(t+1)³/[t(t−1)], với t>1. Xét f(t)=(t+1)³/(t²−t); đạo hàm logarit: 3/(t+1)−1/t−1/(t−1)=0 ⟺ 3t(t−1)=(t+1)(2t−1) ⟺ t²−4t+1=0 ⟹ t=2+√3 (nhận, t>1). f giảm trên (1;2+√3) và tăng trên (2+√3;+∞) nên giá trị nhỏ nhất tại t=2+√3: f=(3+√3)³/[(2+√3)(1+√3)]=(54+30√3)/(5+3√3)=6√3. Vậy min M=6√3≈10,39.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: x>1. Phương trình tương đương (x-1)(x+3)=7x-9 ⟺ x²+2x-3=7x-9 ⟺ x²-5x+6=0 ⟺ x=2 hoặc x=3. Cả hai nghiệm đều thỏa điều kiện x>1, nên phương trình có 2 nghiệm. Đáp án C.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy logarit hai vế: $x={\log }_{5}2026=\frac{\ln 2026}{\ln 5}$. Dùng máy tính: $\ln 2026\approx 7.6133$, $\ln 5\approx 1.6094$, nên $x\approx 4.7302$. Làm tròn đến hàng phần chục: $x\approx 4.7$. Kiểm tra: $5^{4.7}\approx 2022.9\approx 2026$ (sai lệch nhỏ do làm tròn), thỏa mãn.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $3^{x+1}=9=3^2$, suy ra $x+1=2$, tức $x=1$. Vậy $S=\{1\}$. Đáp án D.