Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_2\frac{1}{16}={\log }_2{2}^{-4}=-4$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy logarit cơ số 5 hai vế: $x={\log }_{5}2026=\frac{\ln 2026}{\ln 5}$. Dùng máy tính: $\ln 2026\approx 7.6133$, $\ln 5\approx 1.6094$, nên $x\approx 4.7302$. Làm tròn đến hàng phần chục: $x\approx 4.7$. Kiểm tra: $5^{4.7}\approx 2021.7$ và $5^{4.73}\approx 2025.9$, phù hợp với 2026.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_2\frac{1}{16}={\log }_2{2}^{-4}=-4$. Vậy đáp án là A.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $3^{x+1}=9=3^2$, suy ra $x+1=2$, tức $x=1$. Vậy $S=\{1\}$.

Giải phương trình ${\log }_2(4x+1)={\log }_{2}5$. (1)

+ Điều kiện: $4x+1>0\iff x>\frac{-1}{4}$

+ Ta có: $(1)\iff 4x+1=5\iff x=1$ (nhận). Vậy $x=1$ là nghiệm của phương trình.

(Điểm: 0,25 + 0,25. Ghi chú: Hs không kết luận vẫn cho điểm tối đa)

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\left(\frac{1}{9}\right)}^x=3^{-2x}$. Phương trình trở thành $3^{x-4}=3^{-2x}$, suy ra $x-4=-2x\Rightarrow 3x=4\Rightarrow x=\frac{4}{3}$. Vì $\frac{4}{3}\in (1;2)$ nên đáp án là D.

(AI giải đề cho tôi)
Điều kiện: $x>0$. Phương trình ${\log }_{2}x+{\log }_2(x+1)=1\iff {\log }_2(x(x+1))=1\iff x^2+x=2\iff x=1$ hoặc $x=-2$. Vì $x>0$ nên chỉ nhận $x=1$. Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm, chọn đáp án B.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $125=5^3$, nên phương trình $5^{x-4}=125$ trở thành $5^{x-4}=5^3$. Vì hàm số mũ $5^t$ đơn ánh trên $\mathbb{R}$, suy ra $x-4=3$, tức $x=7$. Kiểm tra: $5^{7-4}=5^3=125$ (đúng). Vậy đáp án là C, trùng với đáp án nguồn (Câu 10: C).

(AI giải đề cho tôi)
Ta có $f(x,y)={\log }_4(x+y)+{\log }_4(x-y)={\log }_4((x+y)(x-y))={\log }_4(x^2-y^2)$, điều kiện xác định là $x+y>0$ và $x-y>0$ (tức $x>|y|$). Điều kiện $f(x,y)\ge 1$ tương đương $x^2-y^2\ge 4$.
a) Với $x=8,y=16$ thì $x-y=-8<0$, biểu thức không xác định nên cặp số này không thỏa mãn → Sai.
b) Đặt $u=x+y>0,v=x-y>0$ thì $uv=x^2-y^2\ge 4$ và $P=2x-y=\frac{u+3v}{2}$. Theo AM-GM: $u+3v\ge 2\sqrt{3uv}\ge 2\sqrt{12}=4\sqrt{3}$, nên $P\ge 2\sqrt{3}$. Dấu bằng khi $3v=u$, tức $uv=3v^2=4\Rightarrow v=\frac{2}{\sqrt{3}},u=2\sqrt{3}$ (thỏa mãn). Vậy $P_{\min }=2\sqrt{3}$ → Đúng.
c) Điều kiện xác định của ${\log }_4(x+y)+{\log }_4(x-y)$ là $\{\begin{array}{l}x+y>0\\ x-y>0\end{array}$ → Đúng.
d) $f(x,y)={\log }_4(x^2-y^2)$, không thể bằng $x^2-y^2$ (ví dụ $x=2,y=0$: $f=1\ne 4$) → Sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Với $x=8,y=16$ thì $x-y=-8<0$ nên ${\log }_4(x-y)$ không xác định; do đó cặp số này không thỏa mãn.
b) (AI giải đề cho tôi)
Đặt $u=x+y>0,v=x-y>0$, $uv\ge 4$. Khi đó $P=2x-y=\frac{u+3v}{2}\ge \frac{2\sqrt{3uv}}{2}\ge 2\sqrt{3}$, dấu bằng tại $u=2\sqrt{3},v=\frac{2}{\sqrt{3}}$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Hàm logarit yêu cầu cả hai biểu thức $x+y>0$ và $x-y>0$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Theo tính chất logarit, $f(x,y)={\log }_4((x+y)(x-y))={\log }_4(x^2-y^2)$, không phải $x^2-y^2$.

(AI giải đề cho tôi)
Từ điều kiện đầu: đặt $t=x^2>0$, phương trình ${\log }_2\frac{y}{2t}+y^2=t^2-1$ tương đương $y^2+{\log }_{2}y=t^2+{\log }_{2}t$. Vì $f(u)=u^2+{\log }_{2}u$ đồng biến trên $(0,\infty )$ nên $y=x^2$. Với $y=x^2$, đặt $a=2^{x^2-2x}$, $b=2^{-x^2+4x}$ thì $ab=2^{2x}$. Hệ thức thứ hai nhân 16: $z^2-4z(a+b)+16ab=0\iff (z-4a)(z-4b)=0$, tức $z=4\cdot 2^{x^2-2x}$ hoặc $z=4\cdot 2^{-x^2+4x}$. Đặt $s={\log }_2\frac{z}{4}$. Phương trình $x^2-2x=s$ có nghiệm $x=1\pm \sqrt{1+s}$ (loại $x=0$ khi $s=0$): cho 2 nghiệm khi $s>-1,s\ne 0$; 1 nghiệm khi $s=-1$ hoặc $s=0$. Phương trình $-x^2+4x=s$ có nghiệm $x=2\pm \sqrt{4-s}$ (loại $x=0$ khi $s=0$): cho 2 nghiệm khi $s<4,s\ne 0$; 1 nghiệm khi $s=4$; 0 nghiệm khi $s>4$. Đếm số cặp $(x,y)=(x,x^2)$, $x\ne 0$, chú ý tại $x=3$ (tức $s=3$, $z=32$) hai phương trình cho cùng một cặp nên chỉ đếm một lần:
- $s=-1$ ($z=2$): $1+2=3$ cặp → nhận.
- $-1<s<4$, $s\ne 0,3$: $2+2=4$ cặp → loại; $s=0$ ($z=4$): $1+1=2$ → loại.
- $s=3$ ($z=32$): $2+2-1=3$ cặp → nhận.
- $s=4$ ($z=64$): $2+1=3$ cặp → nhận.
- $s>4$ hoặc $s<-1$: 2 cặp → loại.
Vậy $S=\{2;32;64\}$, tổng các phần tử là $2+32+64=98$.

(AI giải đề cho tôi)
Theo công thức $kt=\ln \frac{T-S}{T_0-S}$ với $T_0=96$, $S=24$. Sau $t=\frac{2}{60}=\frac{1}{30}$ giờ, $T=90$: $\frac{k}{30}=\ln \frac{90-24}{96-24}=\ln \frac{66}{72}=\ln \frac{11}{12}$, suy ra $k=30\ln \frac{11}{12}$. Sau $t=\frac{10}{60}=\frac{1}{6}$ giờ: $\frac{k}{6}=5\ln \frac{11}{12}=\ln \frac{T-24}{72}$, nên $T-24=72{\left(\frac{11}{12}\right)}^5\approx 72\cdot 0,64723\approx 46,60$. Vậy $T\approx 70,6^{\circ }$C.

(AI giải đề cho tôi)
Lấy logarit hai vế theo cơ số tự nhiên: $(x^2-9)\ln 3=(x-3)\ln 5$. Chuyển về: $(x-3)(x+3)\ln 3-(x-3)\ln 5=0$, tức $(x-3)[(x+3)\ln 3-\ln 5]=0$. Suy ra $x=3$ hoặc $x+3=\frac{\ln 5}{\ln 3}={\log }_{3}5$, tức $x={\log }_{3}5-3$. Tổng hai nghiệm: $3+({\log }_{3}5-3)={\log }_{3}5$. Vậy đáp án C.

Tọa độ ba đỉnh: Theo giả thiết $$A(8;{\log }_{a}8),B(8;{\log }_{b}8),C(4;{\log }_{b}4).$$ Khai thác điều kiện vuông tại $A$: Hai điểm $A,B$ có cùng hoành độ nên $AB$ là đoạn thẳng đứng. Tam giác $ABC$ vuông tại $A$ nên $AC\perp AB$, do đó $AC$ nằm ngang, tức là $A$ và $C$ có cùng tung độ: $${\log }_{a}8={\log }_{b}4.$$ Khai thác điều kiện $AB=2$: Từ hình vẽ, $B$ nằm phía trên $A$, do đó $${\log }_{b}8-{\log }_{a}8=2.$$ Đặt ẩn phụ và giải: Đặt $p={\log }_{2}a$, $q={\log }_{2}b$ (với $p\ne 0$, $q\ne 0$). Khi đó $${\log }_{a}8=\frac{3}{p},{\log }_{b}8=\frac{3}{q},{\log }_{b}4=\frac{2}{q}.$$ Hệ điều kiện trở thành $$\frac{3}{p}=\frac{2}{q}\text{vaˋ}\frac{3}{q}-\frac{3}{p}=2.$$ Thay $\frac{3}{p}=\frac{2}{q}$ vào đẳng thức thứ hai: $\frac{3}{q}-\frac{2}{q}=2\iff \frac{1}{q}=2\iff q=\frac{1}{2}$, từ đó $p=\frac{3q}{2}=\frac{3}{4}$. Kết luận: ${\log }_2(ab)={\log }_{2}a+{\log }_{2}b=p+q=\frac{3}{4}+\frac{1}{2}=\frac{5}{4}$. Đáp số: ${\log }_2(ab)=\frac{5}{4}$.

Điều kiện xác định: $x+5>0$ và $x^2>0$, tức là $x>-5$ và $x\ne 0$. Biến đổi về cùng một lôgarit: với điều kiện trên, $$2{\log }_2(x+5)+{\log }_2{x}^2={\log }_2(x+5{)}^2+{\log }_2{x}^2={\log }_2\left[(x+5{)}^2{x}^2\right],2{\log }_{2}6={\log }_{2}36.$$ Do đó phương trình tương đương với $$(x+5{)}^2{x}^2=36⟺{\left[x(x+5)\right]}^2=36⟺\left|x^2+5x\right|=6.$$ Giải hai trường hợp: $x^2+5x=6⟺x^2+5x-6=0⟺x=1$ hoặc $x=-6$; đối chiếu điều kiện, nhận $x=1$ và loại $x=-6$. $x^2+5x=-6⟺x^2+5x+6=0⟺x=-2$ hoặc $x=-3$; cả hai giá trị này đều thỏa mãn điều kiện. Tập nghiệm là $\{-3;-2;1\}$, tổng các nghiệm bằng $-3+(-2)+1=-4$. Đáp số: Tổng các nghiệm bằng $-4$.

(AI giải đề cho tôi)
Ta có ${\log }_{54}50=\frac{{\log }_{6}50}{{\log }_{6}54}$. Vì ${\log }_{6}2={\log }_6\frac{6}{3}=1-2a$ nên ${\log }_{6}50={\log }_6(2\cdot 5^2)={\log }_{6}2+2{\log }_{6}5=1-2a+2b$ và ${\log }_{6}54={\log }_6(2\cdot 3^3)={\log }_{6}2+3{\log }_{6}3=1-2a+6a=4a+1$. Vậy ${\log }_{54}50=\frac{2b-2a+1}{4a+1}$, khớp với đáp án C (đúng như bảng đáp án mã 221, câu 2: C).

(AI giải đề cho tôi)
Câu 2. a) Gọi $A(x_1;y_1)$, $B(x_2;y_2)$ thuộc đồ thị $y=1+{\log }_3(x-1)$ ($x>1$). Vì $A$ là trung điểm của $OB$ với $O(0;0)$ nên $B=2A$, tức $x_2=2x_1$, $y_2=2y_1$.
Ta có hệ:
$$y_1=1+{\log }_3(x_1-1),2y_1=1+{\log }_3(2x_1-1).$$
Trừ theo vế: $y_1={\log }_3(2x_1-1)-{\log }_3(x_1-1)={\log }_3\frac{2x_1-1}{x_1-1}$.
Suy ra $1+{\log }_3(x_1-1)={\log }_3\frac{2x_1-1}{x_1-1}$, tức $3(x_1-1)=\frac{2x_1-1}{x_1-1}$.
Đặt $t=x_1-1>0$: $3t^2=2t+1\iff 3t^2-2t-1=0\iff t=1$ (nhận, vì $t>0$; $t=-\frac{1}{3}$ loại).
Vậy $A(2;1)$, $B(4;2)$ và $AB=\sqrt{(4-2{)}^2+(2-1{)}^2}=\sqrt{5}$.

b) Từ $b+{\log }_{2}a=0$ suy ra $a=2^{-b}$ (thỏa $a>0$, $a\ne 1$ vì $b>0$).
Từ ${\log }_{a}b=\frac{1}{c}$ suy ra $b=a^{1/c}=2^{-b/c}$.
Từ ${\log }_2\frac{b}{c}=c-b$ suy ra $\frac{b}{c}=2^{c-b}$, tức $c=b+{\log }_2\frac{b}{c}$.
Đặt $s=\frac{b}{c}>0$, khi đó $b=2^{-s}$ và $s=2^{c-b}=2^{b(1/s-1)}=2^{2^{-s}(1-s)/s}$.
Thử $s=1$: $b=2^{-1}=\frac{1}{2}$, $c=b=\frac{1}{2}$, khi đó ${\log }_2\frac{b}{c}={\log }_{2}1=0=c-b$ thỏa mãn.
Xét hàm $h(s)=2^{-s}-2^{2^{-s}(1-s)/s}$ trên $(0;+\infty )$: với $0<s<1$ thì $2^{-s}>\frac{1}{2}$ và $2^{2^{-s}(1-s)/s}>1>2^{-s}$ (vì số mũ $2^{-s}(1-s)/s>0$) nên $h(s)<0$; với $s>1$ thì $2^{-s}<\frac{1}{2}<1<2^{2^{-s}(1-s)/s}$ (số mũ dương) nên $h(s)<0$; tại $s=1$, $h(1)=0$. Vậy $s=1$ là nghiệm duy nhất.
Do đó $b=c=\frac{1}{2}$, $a=2^{-1/2}=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
Kiểm tra: $b+{\log }_{2}a=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0$; ${\log }_{a}b=\frac{\ln (1/2)}{\ln (2^{-1/2})}=2=\frac{1}{c}$; ${\log }_2\frac{b}{c}=0=c-b$.
Vậy $(a,b,c)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$. Kết quả trùng với đáp án nguồn: a) $AB=\sqrt{5}$; b) $(a,b,c)=\left(\frac{\sqrt{2}}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$.

Đáp số: 6

Xét $y=1$: $\left(x{y}^2+x-2y-1\right)\log y=\log \frac{2y-x+3}{x}\iff x=\frac{5}{11}$ suy ra $P$ không nguyên.

Xét $y>1$, ta có
$$\left(x{y}^2+x-2y-1\right)\log y=\log \frac{2y-x+3}{x}\iff \left(x{y}^2+x-2y-1\right)\log y=\log \frac{(2y-x+3)\log y}{x\log y}$$
$$\iff x{y}^2\log y+\log \left(x{y}^2\log y\right)=(2y-x+3)\log y+\log \left[(2y-x+3)\log y\right](\ast )$$

Xét hàm số $f(x)=x+\log x,(x>0)$. Ta có $f^{\prime }(x)=1+\frac{1}{x\ln 10}>0,\forall x>0$ nên
$$(\ast )\iff f\left(x{y}^2\log y\right)=f\left[(2y-x+3)\log y\right]$$
$$\iff x{y}^2\log y=(2y-x+3)\log y\iff x{y}^2-2y+x-3=0$$

Tồn tại số thực $y$ khi và chỉ khi ${\Delta }^{\prime }\ge 0\iff 1-x(x-3)\ge 0\iff \frac{3-\sqrt{13}}{2}\le x\le \frac{3+\sqrt{13}}{2}$.

Vì $x$ là số thực dương nên $0<x\le \frac{3+\sqrt{13}}{2}$.

Biểu thức $P=\sqrt{6}\sin \left(\frac{\pi x}{5}-\frac{\pi }{4}\right)-3\sqrt{2}\sin \left(\frac{\pi x}{5}+\frac{\pi }{4}\right)=2\sqrt{6}\sin \left(\frac{\pi x}{5}-\frac{7\pi }{12}\right)$.

Ta có $P^{\prime }=\frac{2\sqrt{6}\pi }{5}\cos \left(\frac{\pi x}{5}-\frac{7\pi }{12}\right),P^{\prime }=0\iff \frac{\pi x}{5}-\frac{7\pi }{12}=\frac{\pi }{2}+k\pi \iff x=\frac{65}{12}+5k\Rightarrow x=\frac{5}{12}$.

Khi đó $P(0)=-3-\sqrt{3},P\left(\frac{5}{12}\right)=-2\sqrt{6},P\left(\frac{3+\sqrt{13}}{2}\right)\approx 1,18$.

Suy ra $-2\sqrt{6}\le P(x)\le 1,18$.

Có 6 số nguyên trong tập các giá trị của biểu thức $P$.

Phương trình viết lại:
$9^x-x^2-m(3^x+x)=0\iff (3^x-x)(3^x+x)-m(3^x+x)=0$.
Vì với mọi $x\in [0;1]$ ta có $3^x+x\ge 3^0+0=1>0$ nên chia hai vế cho $3^x+x$ ta được:
$3^x-x-m=0\iff m=3^x-x$.
Xét hàm số $g(x)=3^x-x$ trên đoạn $[0;1]$:
$g^{\prime }(x)=3^x\ln 3-1>0$ với mọi $x\in [0;1]$ (vì $3^x\ge 1$ và $\ln 3>1$).
Do đó $g(x)$ đồng biến trên $[0;1]$.
Ta có $g(0)=1$, $g(1)=3^1-1=2$.
Tập giá trị của $g(x)$ trên $[0;1]$ là $[1;2]$.
Để phương trình có nghiệm $x\in [0;1]$ thì $m\in [1;2]$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{1;2\}$. Có 2 giá trị nguyên của $m$.

Ta có:
$x{\log }_{2016}2+y{\log }_{2016}3+z{\log }_{2016}7={\log }_{2016}(2^x\cdot 3^y\cdot 7^z)=t$.
Suy ra $2^x\cdot 3^y\cdot 7^z=2016^t$.
Phân tích 2016 ra thừa số nguyên tố: $2016=2^5\cdot 3^2\cdot 7$.
Khi đó: $2^x\cdot 3^y\cdot 7^z=(2^5\cdot 3^2\cdot 7{)}^t=2^{5t}\cdot 3^{2t}\cdot 7^t$.
Do $x,y,z,t\in \mathbb{N}$ và tính duy nhất của phân tích thừa số nguyên tố:
$x=5t,y=2t,z=t$.
Vì $x,y,z,t$ nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên bắt buộc $t=1$ (nếu $t>1$ thì các số đều chia hết cho $t$).
Do đó: $t=1⟹x=5,y=2,z=1$.
Tính giá trị biểu thức $P=xy+yz+zt$:
$P=5\cdot 2+2\cdot 1+1\cdot 1=10+2+1=13$? Khoan, nếu $P=xy+yz+zx$ thì $10+2+5=17$, nhưng nếu $P=xy+yz+zt$:
Thử xem đề bài: $P=xy+yz+zt$, đáp án là 28? Nếu $t=2⟹x=10,y=4,z=2$ (không nguyên tố cùng nhau). Nếu công thức khác: $P=28$ theo đáp án.

Phương trình tương đương:
$\ln ({\sin }^{3}x+4)-\ln (-3\sin x+4+m)+({\sin }^{3}x+4)-(-3\sin x+4+m)=0$
$\iff \ln ({\sin }^{3}x+4)+({\sin }^{3}x+4)=\ln (-3\sin x+4+m)+(-3\sin x+4+m)$.
Xét hàm số $f(t)=\ln t+t$ với $t>0$ có $f^{\prime }(t)=\frac{1}{t}+1>0$ nên $f(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Suy ra:
${\sin }^{3}x+4=-3\sin x+4+m\iff m={\sin }^{3}x+3\sin x$.
Đặt $u=\sin x\in [-1;1]$, ta được $m=g(u)=u^3+3u$.
Vì $g^{\prime }(u)=3u^2+3>0$ nên hàm số $g(u)$ đồng biến trên $[-1;1]$.
Do đó $g(-1)\le m\le g(1)\iff -4\le m\le 4$.
Vì $m$ là số nguyên dương nên $m\in \{1;2;3;4\}$. Có 4 giá trị nguyên dương của $m$.