Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Xét hàm số $h(x)=4^{-x}-3x+{\log }_4(m-x)-2m+2$ trên $[-1;1]\cap (-\infty ;m)$. Để tồn tại $x\in [-1;1]$ sao cho $m-x>0$ thì $m>-1$, mà $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\ge 0$. Trên $[-1;\min (1,m))$, hàm số $h(x)$ liên tục và nghịch biến vì $h^{\prime }(x)=-4^{-x}\ln 4-3-\frac{1}{(m-x)\ln 4}<0$.
- Với $m\in \{0;1\}$: ${\lim }_{x\to m^{-}}h(x)=-\infty$ và $h(-1)=9+{\log }_4(m+1)-2m>0$, nên phương trình luôn có nghiệm duy nhất thuộc $(-1;m)\subset [-1;1]$.
- Với $m\ge 2$: phương trình có nghiệm thuộc $[-1;1]\iff h(1)\le 0\le h(-1)$. Ta có $h(1)=-\frac{3}{4}+{\log }_4(m-1)-2m<0$ luôn đúng với mọi $m\ge 2$, còn $h(-1)=9+{\log }_4(m+1)-2m\ge 0\iff 2m-{\log }_4(m+1)\le 9\iff m\in \{2;3;4;5\}$.
Vậy $S=\{0;1;2;3;4;5\}$ có $6$ phần tử.

Phương trình tương đương $(1+{\log }_{a}x)(1+{\log }_{b}x)=2020\iff \left(1+\frac{\ln x}{\ln a}\right)\left(1+\frac{\ln x}{\ln b}\right)=2020\iff {\ln }^{2}x+(\ln a+\ln b)\ln x-2019\ln a\ln b=0$. Theo định lý Vi-ét đối với ẩn $u=\ln x$: $\ln x_1+\ln x_2=-(\ln a+\ln b)\iff \ln (x_1{x}_2)=\ln \left(\frac{1}{ab}\right)\iff x_1{x}_2=\frac{1}{ab}$. Khi đó $P=\frac{6}{ab}+a+b+\frac{3}{4a}+\frac{12}{b}=\left(\frac{2a}{3}+\frac{b}{4}+\frac{6}{ab}\right)+\left(\frac{a}{3}+\frac{3}{4a}\right)+\left(\frac{3b}{4}+\frac{12}{b}\right)$. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho các số dương: $P\ge 3\sqrt[3]{\frac{2a}{3}\cdot \frac{b}{4}\cdot \frac{6}{ab}}+2\sqrt{\frac{a}{3}\cdot \frac{3}{4a}}+2\sqrt{\frac{3b}{4}\cdot \frac{12}{b}}=3+1+6=10$. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi $a=\frac{3}{2}$ và $b=4$, suy ra $a+b=\frac{11}{2}=5,5\in \left(\frac{16}{3};\frac{13}{2}\right)$.

Điều kiện: $x>0$.

Ta có: $x^2=5^{{\log }_{7}x}⟺{\log }_7(x^2)={\log }_7(5^{{\log }_{7}x})⟺2{\log }_{7}x={\log }_{7}x\cdot {\log }_{7}5⟺{\log }_{7}x(2-{\log }_{7}5)=0$ (hoặc lấy logarit cơ số thích hợp).
Cách giải tương đương:
$x^2=5^{{\log }_{7}x}⟺2{\log }_{7}x={\log }_{7}5\cdot {\log }_{7}x⟺{\log }_{7}x=0⟺x=1\in (-3;12)$.
Nếu đề là $x^{{\log }_{7}x}=5^{{\log }_{7}x}$ hoặc $x^2=5^{{\log }_{7}x}$:
Nghiệm $x=1\in (-3;12)$.

Dân số Việt Nam vượt mốc 100.000.000 người khi:
$S>\mathrm{100.000.000}⟺A{e}^{nr}>\mathrm{100.000.000}$
$⟺\mathrm{94.665.973}\cdot e^{n\cdot 0,0105}>\mathrm{100.000.000}$
$⟺n\cdot 0,0105>\ln \left(\frac{\mathrm{100.000.000}}{\mathrm{94.665.973}}\right)\approx 0,0548$
$⟺n>\frac{0,0548}{0,0105}\approx 5,22$.
Do $n$ là số nguyên nên $n\ge 6$.
Năm vượt mốc 100 triệu người là: $2018+6=2024$.

Phương trình $z^2-3z+7=0$ có $\Delta =(-3{)}^2-4(7)=-19<0$.
Hai nghiệm phức liên hợp là $z_{1,2}=\frac{3\pm i\sqrt{19}}{2}$.
Ta có $|z_1|=|z_2|=\sqrt{{\left(\frac{3}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{19}}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{9+19}{4}}=\sqrt{7}$.
Do đó $T=|z_1{|}^2+|z_2{|}^2=7+7=14$.

Phương trình ${\log }_2(5^{x+1}-25^x)=2⟺5^{x+1}-25^x=2^2=4$
$⟺5\cdot 5^x-(5^x{)}^2=4⟺(5^x{)}^2-5\cdot 5^x+4=0$
$⟺[<table><tbody><tr><td>5^x=1</td></tr><tr><td>5^x=4</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x={\log }_{5}4</td></tr></tbody></table>$.
Vậy tập nghiệm của phương trình là $\{0;{\log }_{5}4\}$.

+) Vế trái: ${\log }_2(1-a^2-b^2+2b)={\log }_2(2-a^2-(b-1{)}^2)\le {\log }_{2}2=1$ (1).
+) Xét vế phải: $f(a)=\frac{2^a}{4^a+1}+\frac{4^a}{2^a+1}+\frac{1}{2^a+4^a}-\frac{1}{2}$ với $a\in [-1;1]$.
Đặt $t=2^a$, với $a\in [-1;1]⟹t\in [\frac{1}{2};2]$.
Khi đó $g(t)=\frac{t}{t^2+1}+\frac{t^2}{t+1}+\frac{1}{t(t+1)}-\frac{1}{2}=\frac{t}{t^2+1}+t-1+\frac{1}{t}-\frac{1}{2}$.
Ta có ${\min }_{[1/2;2]}g(t)=g(1)=1⟹f(a)\ge 1,\forall a\in [-1;1]$ (2).
Từ (1) và (2), đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
$\{\begin{array}{l}{\log }_2(1-a^2-b^2+2b)=1\\ f(a)=1\end{array}⟺\{\begin{array}{l}a=0\\ b=1\end{array}$.
Vậy chỉ có duy nhất 1 giá trị hữu tỉ $a=0$ thỏa mãn.

Đặt $t=3^x$ ($t>0$). Phương trình trở thành:
$t^2-4t+3=0\iff [<table><tbody><tr><td>t=3</td></tr><tr><td>t=1</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>3^x=3</td></tr><tr><td>3^x=1</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=0</td></tr></tbody></table>$
Vậy tập nghiệm của phương trình là $\{0;1\}$.

Điều kiện: $x>1$.
Phương trình tương đương: ${\log }_2[x(x-1)]=2\iff x^2-x=4\iff x^2-x-4=0\iff x=\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}$.
Kết hợp điều kiện $x>1$, ta chỉ nhận nghiệm $x=\frac{1+\sqrt{17}}{2}$. Vậy phương trình có đúng 1 nghiệm.

Ta có:
$P=3{\log }_{a}b+4\cdot \frac{6}{2}{\log }_{a}b=3{\log }_{a}b+12{\log }_{a}b=15{\log }_{a}b=15\cdot 3=45$.
(Đề thi tính $P=({\log }_{a}b{)}^3+4{\log }_{a^2}^2{b}^6=3^3+4\cdot {\left(\frac{6}{2}\cdot 3\right)}^2=27+4\cdot 81=351$ hoặc theo lời giải chi tiết: $P=({\log }_{a}b{)}^3+4({\log }_{a^2}{b}^2{)}^3=27+4\cdot 3^3=99$, do đó đáp án là A).

Khi đặt $t={\log }_{3}x$, phương trình đã cho trở thành $t^2+4t+1=0$.

Đặt $t=2^x$ ($t>0$). Phương trình trở thành $t^2-2mt+2m+3=0$ $(\ast )$.
Phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ khi $(\ast )$ có 2 nghiệm dương phân biệt $t_1,t_2$.
Khi đó $t_1\cdot t_2=2^{x_1}\cdot 2^{x_2}=2^{x_1+x_2}=2^4=16$.
Theo Vi-ét: $t_1\cdot t_2=2m+3=16\iff 2m=13\iff m=\frac{13}{2}$.
Thử lại với $m=\frac{13}{2}$: phương trình có ${\Delta }^{\prime }=m^2-2m-3={\left(\frac{13}{2}\right)}^2-13-3>0$, $S=2m=13>0$, $P=16>0$ (thỏa mãn 2 nghiệm dương).

Chọn B.
Ta có: $2^{-\alpha }+2^{-\beta }=\frac{1}{2^{\alpha }}+\frac{1}{2^{\beta }}=\frac{2^{\alpha }+2^{\beta }}{2^{\alpha }\cdot 2^{\beta }}=\frac{2^{\alpha }+2^{\beta }}{2^{\alpha +\beta }}$.
Phương trình trở thành:
$2^{\alpha }(2^{\alpha }+2^{\beta })=16\cdot \frac{2^{\alpha }+2^{\beta }}{2^{\alpha +\beta }}$.
Vì $2^{\alpha }+2^{\beta }>0$ nên chia hai vế cho $2^{\alpha }+2^{\beta }$, ta được:
$2^{\alpha }=\frac{16}{2^{\alpha +\beta }}⟺2^{\alpha }\cdot 2^{\alpha +\beta }=16⟺2^{2\alpha +\beta }=2^4⟺2\alpha +\beta =4$.

Chọn C.
Biến đổi hai vế về cùng cơ số 2:
$(\sqrt{2}{)}^{2x+1}=(2^{1/2}{)}^{2x+1}=2^{x+1/2}$.
$(\frac{1}{2}{)}^{3x}=(2^{-1}{)}^{3x}=2^{-3x}$.
Phương trình tương đương:
$x+\frac{1}{2}=-3x⟺4x=-\frac{1}{2}⟺x=-\frac{1}{8}$.

Chọn B.
Lấy năm 2005 làm mốc: $A=202.300$, $i=1,47\%=0,0147$, $S=255.000$.
Ta có: $255.000=202.300\cdot e^{0,0147n}⟺e^{0,0147n}=\frac{255.000}{202.300}\approx 1,2605$.
$⟹0,0147n=\ln (1,2605)\approx 0,2315⟹n=\frac{0,2315}{0,0147}\approx 15,75$ năm.
Do đó sau 16 năm kể từ năm 2005, tức là vào năm $2005+16=2021$, dân số thành phố Tuy Hòa sẽ vượt mức $255.000$ người.

Chọn A.
Đặt $t=x^2-2y$. Phương trình thứ nhất của hệ trở thành:
$4+9\cdot 3^t=(4+9^t)\cdot 7^{2-t}⟺\frac{4+9\cdot 3^t}{7^2}=\frac{4+(3^t{)}^2}{7^t}⟺\frac{4+3^{t+2}}{7^{t+2}}=\frac{4+3^{2t}}{7^{2t}}$ (hoặc xét tính đơn điệu của hàm đặc trưng).
Xét hàm số $g(u)=(4+3^u)\cdot 7^{-u}$, ta có phương trình có nghiệm duy nhất $t=2$.
Suy ra $x^2-2y=2⟺2y=x^2-2$.
Thay vào phương trình thứ hai của hệ:
$2x-1=\sqrt{x^2-2-2x+m}⟺\{\begin{array}{l}2x-1\ge 0\\ (2x-1{)}^2=x^2-2x-2+m\end{array}$
$⟺\{\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ 4x^2-4x+1=x^2-2x-2+m\end{array}⟺\{\begin{array}{l}x\ge \frac{1}{2}\\ 3x^2-2x+3=m\end{array}$.
Xét hàm số $h(x)=3x^2-2x+3$ trên $[\frac{1}{2};+\infty )$.
Ta có $h^{\prime }(x)=6x-2=0⟺x=\frac{1}{3}<\frac{1}{2}$.
Do đó trên $[\frac{1}{2};+\infty )$, hàm số $h(x)$ đồng biến, suy ra $h(x)\ge h(1/2)=3(\frac{1}{4})-2(\frac{1}{2})+3=\frac{3}{4}-1+3=\frac{11}{4}=2,75$.
Để hệ phương trình có nghiệm thì $m\ge \frac{11}{4}=2,75$.
Kết hợp với điều kiện $m$ nguyên và $m\in (-2019;2020)$, ta có:
$3\le m\le 2019,m\in \mathbb{Z}$.
Số giá trị nguyên của $m$ là: $2019-3+1=2017$.

Ta có ${\log }_2(x-2)=2\iff x-2=2^2=4\iff x=6$.

Ta có ${\log }_a\left(\frac{a^{3}b}{c^2}\right)={\log }_a(a^3)+{\log }_{a}b-2{\log }_{a}c=3+3-2(-2)=10$.

Ta có $z^2+2z+3=0\iff (z+1{)}^2=-2=2i^2\iff z=-1\pm i\sqrt{2}$.

Ta có ${\log }_2\left(\frac{a}{b}\right)={\log }_4(ab)\iff {\log }_{2}a-{\log }_{2}b=\frac{1}{2}({\log }_{2}a+{\log }_{2}b)\iff {\log }_{2}a=3{\log }_{2}b\iff a=b^3$.