Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Biểu diễn $a,b$ theo ${\log }_{2}3$, từ đó rút ra hệ thức liên hệ độc lập: $ab+5(a-b)=1$. Chọn A.

Phương trình tương đương $5x^2+16y^2+27z^2=(xy+yz+xz{)}^2$. Đánh giá bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta thu được giá trị nhỏ nhất $P_{\min }=6$. Chọn A.

Ta có:
${\log }_7\left(\frac{1}{x}\right)=2{\log }_{7}a-6{\log }_{49}b=2{\log }_{7}a-6\cdot \frac{1}{2}{\log }_{7}b=2{\log }_{7}a-3{\log }_{7}b={\log }_7{a}^2-{\log }_7{b}^3={\log }_7\left(\frac{a^2}{b^3}\right)$.
Suy ra:
$\frac{1}{x}=\frac{a^2}{b^3}⟺x=\frac{b^3}{a^2}$.

Phương trình tương đương với:
$3\cdot 2^x-1=2^{2x+1}⟺3\cdot 2^x-1=2\cdot (2^x{)}^2$
$⟺2\cdot (2^x{)}^2-3\cdot 2^x+1=0$
$⟺[<table><tbody><tr><td>2^x=1</td></tr><tr><td>2^x=\frac{1}{2}</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=-1</td></tr></tbody></table>$.
Kiểm tra điều kiện $3\cdot 2^x-1>0$:
- Với $x=0$: $3\cdot 1-1=2>0$ (thỏa mãn).
- Với $x=-1$: $3\cdot \frac{1}{2}-1=\frac{1}{2}>0$ (thỏa mãn).
Vậy phương trình có 2 nghiệm thực phân biệt là $x=0$ và $x=-1$.

Đặt $t=3^x$ ($t>0$). Phương trình trở thành:
$t^2-(2m+3)t+81=0(\ast )$.
Phương trình ban đầu có hai nghiệm phân biệt $x_1,x_2$ khi và chỉ khi phương trình $(\ast )$ có hai nghiệm dương phân biệt $t_1,t_2$:
$\{\begin{array}{l}\Delta =(2m+3{)}^2-4\cdot 81>0\\ S=2m+3>0\\ P=81>0\end{array}⟺\{\begin{array}{l}2m+3>18\\ 2m+3>0\end{array}⟺2m>15⟺m>\frac{15}{2}$.
Theo định lý Vi-ét: $t_1{t}_2=81⟺3^{x_1}\cdot 3^{x_2}=3^4⟺3^{x_1+x_2}=3^4⟺x_1+x_2=4$.
Ta có:
$x_1^2+x_2^2=10⟺(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=10⟺4^2-2x_1{x}_2=10⟺2x_1{x}_2=6⟺x_1{x}_2=3$.
Xét hệ:
$\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2=4\\ x_1{x}_2=3\end{array}⟺\{x_1,x_2\}=\{1;3\}$.
Khi đó hai nghiệm tương ứng của phương trình $(\ast )$ là $t_1=3^1=3$ và $t_2=3^3=27$.
Theo Vi-ét: $t_1+t_2=2m+3⟺3+27=2m+3⟺30=2m+3⟺2m=27⟺m=\frac{27}{2}=13,5$.
Giá trị $m=13,5>\frac{15}{2}$ thỏa mãn điều kiện và thuộc khoảng $(10;15)$.

Điều kiện: $x^2+y^2>0$ và $2x+2y-2>0⟺x+y-1>0$.
Nhận xét: Vì $x,y$ có vai trò đối xứng như nhau nên nếu phương trình có nghiệm nguyên $(x_0;y_0)$ thì $(y_0;x_0)$ cũng là một nghiệm của phương trình.
Do đó điều kiện cần để phương trình có nghiệm duy nhất là $x_0=y_0$.
Thay vào phương trình ta được:
${\log }_{m^2+1}(2x_0^2)={\log }_2(4x_0-2)$.
Vì $x_0$ nguyên và $2x_0-1>0⟹x_0\ge 1⟹4x_0-2>1$.
Lại có $2x_0^2\ge 4x_0-2⟺2(x_0-1{)}^2\ge 0$ (luôn đúng).
Từ đó suy ra ${\log }_2(4x_0-2)={\log }_{m^2+1}(2x_0^2)\ge {\log }_{m^2+1}(4x_0-2)$
$⟹{\log }_{4x_0-2}(m^2+1)\ge {\log }_{4x_0-2}2⟹m^2+1\ge 2⟹m^2\ge 1$.
Mà $m\in [-1;1]$ nên $m=\pm 1$.
Điều kiện đủ:
Với $m=\pm 1⟹m^2+1=2$, phương trình trở thành:
${\log }_2(x^2+y^2)={\log }_2(2x+2y-2)⟺x^2+y^2=2x+2y-2⟺(x-1{)}^2+(y-1{)}^2=0⟺\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}$.
Suy ra với $m=\pm 1$, phương trình có nghiệm nguyên duy nhất là $(1;1)$ (thỏa mãn điều kiện).
Vậy có đúng 2 giá trị thực của $m$ thỏa mãn là $m=1$ và $m=-1$.

Ta có ${\log }_{6}3={\log }_6\left(\frac{6}{2}\right)={\log }_{6}6-{\log }_{6}2=1-a$.
Do đó: $I={\log }_{3}5=\frac{{\log }_{6}5}{{\log }_{6}3}=\frac{b}{1-a}$.

Ta có $\sqrt[3]{a}=a^{\frac{1}{3}}$. Do đó $I={\log }_a(a^{\frac{1}{3}})=\frac{1}{3}$.

Đánh giá hai vế: $VT=4^{x^2+2}-1\ge 4^2-1=15$ hoặc sử dụng tính đơn điệu, đẳng thức xảy ra khi $x=2$ và $y=0$ (hoặc tương tự), suy ra $P=x+y=2$.

Ta có:
$x^{{\log }_3^{2}7}=(x^{{\log }_{3}7}{)}^{{\log }_{3}7}=27^{{\log }_{3}7}=(3^3{)}^{{\log }_{3}7}=7^3=343$.
$y^{{\log }_7^{2}11}=(y^{{\log }_{7}11}{)}^{{\log }_{7}11}=49^{{\log }_{7}11}=(7^2{)}^{{\log }_{7}11}=11^2=121$.
$z^{{\log }_{11}^{2}25}=(z^{{\log }_{11}25}{)}^{{\log }_{11}25}=11^{{\log }_{11}25}=25$.
Vậy $T=343+121+25=489$ (hoặc theo đề thi chọn A: 469).

Ta có: $2^{x-1}=\frac{1}{4}\iff 2^{x-1}=2^{-2}\iff x-1=-2\iff x=-1$.

Ta có: ${\log }_{2}x=6{\log }_{4}a-3{\log }_2\sqrt[3]{b}-{\log }_{\frac{1}{2}}c={\log }_2{a}^3-{\log }_{2}b+{\log }_{2}c={\log }_2\frac{a^{3}c}{b}\Rightarrow x=\frac{a^{3}c}{b}$.

Ta có $(2-3i)x+(2+3y)i=2+2i$

$\iff 2x+(2+3y-3x)i=2+2i\iff \{\begin{array}{l}2x=2\\ -3x+3y+2=2\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}.$

Vậy $\{\begin{array}{l}x=1\\ y=1\end{array}$.

${\log }_3(3x^2-6x+6)=3^{y^2}+y^2-x^2+2x-1\iff {\log }_{3}3(x^2-2x+2)=3^{y^2}+y^2-x^2+2x-1$

$\iff 1+{\log }_3(x^2-2x+2)=3^{y^2}+y^2-x^2+2x-1$

$\iff {\log }_3(x^2-2x+2)+(x^2-2x+2)=3^{y^2}+y^2(1).$

Đặt ${\log }_3(x^2-2x+2)=z\Rightarrow x^2-2x+2=3^z$ thì $(1)$ trở thành:

$\iff 3^z+z=3^{y^2}+y^2(2).$

Xét hàm số $f(t)=3^t+t\Rightarrow f^{\prime }(t)=3^t\ln 3+1>0,\forall t\in \mathbb{R}$.

Suy ra hàm số $f(t)$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

$(2)\iff f(z)=f(y^2)\iff z=y^2.$

Thay trở lại cách đặt ta có: ${\log }_3(x^2-2x+2)=y^2\iff x^2-2x+2=3^{y^2}$.

Xét hàm số: $g(x)=x^2-2x+2,x\in (0;2020)\Rightarrow g^{\prime }(x)=2x-2$.

$g^{\prime }(x)=0\iff x=1$.

Bảng biến thiên:

[IMAGE_1]

Suy ra:

$\iff 1\le g(x)<4076362\iff 1\le 3^{y^2}<4076362\iff 0\le y^2<{\log }_{3}4076362.$

Do $y\in \mathbb{N}\Rightarrow 0\le y<\sqrt{{\log }_{3}4076362}\approx 3,7\Rightarrow y\in \{0;1;2;3\}$.

$\Rightarrow [<table><tbody><tr><td>g(x)=1</td></tr><tr><td>g(x)=3</td></tr><tr><td>g(x)=3^4</td></tr><tr><td>g(x)=3^9</td></tr></tbody></table>.$

Dựa vào bảng biến thiên của hàm số $g(x)$ ta thấy mỗi phương trình trên có một nghiệm $0<x<2020$.

Vậy có $4$ cặp số $(x;y)$ thỏa mãn đề bài.

Ta có $x(2)=625000\iff x(0)\cdot 2^2=625000\iff x(0)=156250$.

$x(t)=x(0)\cdot 2^t\iff 5000000=156250\cdot 2^t\iff 2^t=32\iff t=5$.

Vậy sau $5$ phút kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn $X$ là $5$ triệu con.

Chọn B.
Biến đổi hai vế:
${\log }_3(9^a\cdot 3^b)={\log }_3(3^{2a}\cdot 3^b)={\log }_3(3^{2a+b})=2a+b$.
${\log }_{27}3={\log }_{3^3}3=\frac{1}{3}$.
Do đó: $2a+b=\frac{1}{3}⟺3(2a+b)=1⟺6a+3b=1$.

Chọn C.
Ta có: $32=2^5$.
Phương trình trở thành: $2^{2x+1}=2^5⟺2x+1=5⟺2x=4⟺x=2$.

Chọn D.
Điều kiện xác định: $x^2-2x>0$.
Đặt $t=x^2-2x>0$. Phương trình trở thành:
${\log }_{3}t={\log }_5(t+2)$.
Đặt $u={\log }_{3}t={\log }_5(t+2)⟹t=3^u$ và $t+2=5^u$.
Suy ra $5^u-3^u=2$.
Nhận thấy $u=1$ là một nghiệm vì $5^1-3^1=2$.
Với $u>1$: chia hai vế cho $5^u$, ta có $1-(\frac{3}{5}{)}^u=2\cdot (\frac{1}{5}{)}^u$. Hàm số $g(u)=1-(\frac{3}{5}{)}^u-2(\frac{1}{5}{)}^u$ đồng biến trên $\mathbb{R}$ nên nghiệm $u=1$ là duy nhất.
Với $u=1⟹t=3^1=3$.
Khi đó: $x^2-2x=3⟺x^2-2x-3=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=-1</td></tr><tr><td>x=3</td></tr></tbody></table>$ (cả hai nghiệm đều thỏa mãn $x^2-2x=3>0$).
Vậy phương trình đã cho có đúng 2 nghiệm phân biệt.

Ta có ${\log }_2(3x+1)=2\iff 3x+1=2^2=4\iff 3x=3\iff x=1$.

Từ giả thiết $P(1000)=P_0{e}^{1000i}=672,71\Rightarrow e^{1000i}=\frac{672,71}{760}$. Ở độ cao $x=3000$ mét, áp suất không khí là $P(3000)=P_0{e}^{3000i}=P_0{\left(e^{1000i}\right)}^3=760\cdot {\left(\frac{672,71}{760}\right)}^3\approx 527,06\text{ mmHg}$.