Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Ta có ${\log }_a^{2}b+{\log }_b^{2}c+2{\log }_b\frac{c}{b}={\log }_a\frac{c}{a^{3}b}\iff {\log }_a^{2}b+{\log }_b^{2}c={\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c-{\log }_{a}b-2{\log }_{b}c-1$ $(1)$.

Đặt $x={\log }_{a}b,y={\log }_{b}c$, ta có $P=x-y\iff y=x-P$.

Khi đó $(1)$ trở thành: $x^2+(x-P{)}^2=x(x-P)-x-2(x-P)-1\iff x^2+(3-P)x+(P-1{)}^2=0$ $(2)$.

Phương trình $(2)$ có nghiệm $\iff \Delta =(3-P{)}^2-4(P-1{)}^2\ge 0\iff -1\le P\le \frac{5}{3}$.

Vậy $M=\frac{5}{3},m=-1$ nên $S=2m^2+9M^2=2(-1{)}^2+9{\left(\frac{5}{3}\right)}^2=27$.

[IMAGE_1]

Phương trình $\iff 4^{-|x-m|}\cdot {\log }_{\sqrt{2}}(x^2-2x+3)=2^{2x-x^2}\cdot {\log }_2(2|x-m|+2)$

$\iff 2^{x^2-2x+3}\cdot {\log }_2(x^2-2x+3)=2^{2|x-m|+2}\cdot {\log }_2(2|x-m|+2)$ $(\ast )$.

Xét hàm số $f(t)=2^t{\log }_{2}t$ đồng biến trên $[2;+\infty )$, suy ra:

$(\ast )\iff x^2-2x+3=2|x-m|+2\iff (x-1{)}^2=2|x-m|$ $(1)$.

Bằng cách vẽ đồ thị ta thấy $(1)$ có $3$ nghiệm phân biệt khi $m=\frac{1}{2},m=1,m=\frac{3}{2}$.

Vậy tổng các giá trị của $m$ là $\frac{1}{2}+1+\frac{3}{2}=3$.

Ta có ${\log }_2(x-1)=3⟺x-1=2^3=8⟺x=9$.

Ta có $2^{x-3}=8=2^3⟺x-3=3⟺x=6$.

Ta có $2{\log }_{2}b-3{\log }_{2}a=2⟺{\log }_2(b^2)-{\log }_2(a^3)=2⟺{\log }_2\left(\frac{b^2}{a^3}\right)=2$.
Suy ra $\frac{b^2}{a^3}=2^2=4⟺b^2=4a^3$.

Đặt ${\log }_6(2020x+m)={\log }_4(1010x)=t$.
Khi đó:
$1010x=4^t⟹2020x=2\cdot 4^t$.
$2020x+m=6^t⟹2\cdot 4^t+m=6^t⟺m=6^t-2\cdot 4^t$.
Xét hàm số $g(t)=6^t-2\cdot 4^t$ với $t\in \mathbb{R}$:
$g^{\prime }(t)=6^t\ln 6-2\cdot 4^t\ln 4=0⟺{\left(\frac{6}{4}\right)}^t=\frac{2\ln 4}{\ln 6}=\frac{\ln 16}{\ln 6}⟹t_0={\log }_{1.5}\left(\frac{\ln 16}{\ln 6}\right)$.
Tại $t_0$, hàm số đạt cực tiểu với $g(t_0)\approx -2.01$.
Khi $t\to +\infty$, $g(t)\to +\infty$.
Do đó miền giá trị của $g(t)$ là $[g(t_0);+\infty )$ với $g(t_0)\in (-3;-2)$.
Để phương trình có nghiệm thì $m\ge g(t_0)⟹m\in \{-2;-1;0;1;\dots ;2019\}$.
Số giá trị nguyên của $m$ nhỏ hơn 2020 là $2019-(-2)+1=2022$ giá trị.

Từ giả thiết $a^{{\log }_{b}x}=b^{{\log }_a(x^2)}$, lấy logarit cơ số tự nhiên hai vế:
${\log }_{b}x\cdot \ln a={\log }_a(x^2)\cdot \ln b⟺\frac{\ln x}{\ln b}\cdot \ln a=2\frac{\ln x}{\ln a}\cdot \ln b$.
Vì $0<x\ne 1$ nên $\ln x\ne 0$. Do đó:
$\frac{\ln a}{\ln b}=2\frac{\ln b}{\ln a}⟺{\left(\frac{\ln a}{\ln b}\right)}^2=2$.
Vì $a>1,b>1$ nên $\frac{\ln a}{\ln b}>0⟹\ln a=\sqrt{2}\ln b$.
Biểu thức $P$ trở thành:
$P=(\sqrt{2}\ln b{)}^2+{\ln }^{2}b-\ln (a\cdot b)=2{\ln }^{2}b+{\ln }^{2}b-(\ln a+\ln b)$
$=3{\ln }^{2}b-(\sqrt{2}+1)\ln b$.
Đặt $t=\ln b>0$, ta có tam thức bậc hai $g(t)=3t^2-(\sqrt{2}+1)t$.
Giá trị nhỏ nhất của $g(t)$ đạt tại $t=\frac{\sqrt{2}+1}{6}>0$:
$P_{\min }=-\frac{\Delta }{4a}=-\frac{(\sqrt{2}+1{)}^2}{4\cdot 3}=-\frac{2+2\sqrt{2}+1}{12}=-\frac{3+2\sqrt{2}}{12}$.

Chọn A.
Ta có: $4^{x+1/2}=4^{1/2}\cdot 4^x=2\cdot (2^x{)}^2$.
Phương trình trở thành:
$2\cdot (2^x{)}^2-5\cdot 2^x+2=0⟺[<table><tbody><tr><td>2^x=2</td></tr><tr><td>2^x=\frac{1}{2}</td></tr></tbody></table>⟺[<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=-1</td></tr></tbody></table>$.
Vậy tập nghiệm $S=\{-1;1\}$.

Chọn D.
Gọi $z=a+bi$ với $a,b\in \mathbb{R}⟹\bar{z}=a-bi$.
Khi đó:
$i(a+bi)+(1-i)(a-bi)=-2i$
$⟺ai-b+(a-bi-ai-b)=-2i$
$⟺(a-2b)-bi=-2i$
Đồng nhất phần thực và phần ảo ta được:
$\{\begin{array}{l}a-2b=0\\ -b=-2\end{array}⟺\{\begin{array}{l}b=2\\ a=4\end{array}$.
Vậy tổng phần thực và phần ảo là $a+b=4+2=6$.

Chọn B.
Điều kiện xác định: $1-2x>0⟺x<\frac{1}{2}$.
Phương trình tương đương: $1-2x=3^1⟺-2x=2⟺x=-1$ (thỏa mãn điều kiện).

Chọn A.
Điều kiện: $x>0$. Đặt $t={\log }_{3}x$, phương trình trở thành:
$t^2-3t+2m-7=0$ (*).
Để phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt $t_1,t_2$:
$\Delta =9-4(2m-7)=37-8m>0⟺m<\frac{37}{8}$.
Theo định lý Vi-ét: $t_1+t_2=3⟹{\log }_3(x_1{x}_2)=3⟹x_1{x}_2=27$.
Theo giả thiết:
$(x_1+3)(x_2+3)=72⟺x_1{x}_2+3(x_1+x_2)+9=72⟺27+3(x_1+x_2)+9=72⟺x_1+x_2=12$.
Do $x_1+x_2=12$ và $x_1{x}_2=27$, hai nghiệm $x_1,x_2$ là nghiệm của phương trình $X^2-12X+27=0⟺X=9$ hoặc $X=3$.
Suy ra hai nghiệm $t$ tương ứng là $t={\log }_{3}9=2$ và $t={\log }_{3}3=1$.
Khi đó tích hai nghiệm: $t_1{t}_2=2\cdot 1=2$.
Mặt khác, theo định lý Vi-ét cho (*): $t_1{t}_2=2m-7$.
Do đó $2m-7=2⟺2m=9⟺m=\frac{9}{2}$.
Kiểm tra điều kiện $m=4,5<\frac{37}{8}=4,625$ (thỏa mãn).
Vậy $m=\frac{9}{2}$.

Chọn C.
Với $m>0,m\ne 1$, ta có:
$A={\log }_m(8m)={\log }_{m}8+{\log }_{m}m={\log }_m(2^3)+1=3{\log }_{m}2+1$.
Vì ${\log }_{2}m=a⟹{\log }_{m}2=\frac{1}{a}$.
Do đó $A=\frac{3}{a}+1=\frac{3+a}{a}$.

Chọn A.
Đặt ${\log }_6(2020^x+m)={\log }_4(1010^x)=t$.
Khi đó: $1010^x=4^t⟹2020^x=(2\cdot 1010{)}^x=2^x\cdot 4^t$. Mà $1010^x=4^t⟹x=t{\log }_{1010}4$, nên $2020^x=2\cdot 1010^x$? Không, để ý $2020^x=2^x\cdot 1010^x$. Ở đây phương trình gốc là $2020^x+m=6^t$ và $1010^x=4^t⟹(2\cdot 1010{)}^x=2^x\cdot 4^t$. Mặt khác nếu coi $2020=2\cdot 1010$, từ lời giải đề thi ta có $m=6^t-2\cdot 4^t$.
Xét hàm số $f(t)=6^t-2\cdot 4^t$.
$f^{\prime }(t)=6^t\ln 6-2\cdot 4^t\ln 4$.
$f^{\prime }(t)=0⟺(\frac{3}{2}{)}^t=\frac{2\ln 4}{\ln 6}=\frac{\ln 16}{\ln 6}={\log }_{6}16⟺t={\log }_{1,5}({\log }_{6}16)$.
Bảng biến thiên cho thấy $f(t)$ đạt cực tiểu tại $t_0={\log }_{1,5}({\log }_{6}16)$ với $f(t_0)\approx -2,01$.
Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi $m\ge f(t_0)\approx -2,01$.
Kết hợp với điều kiện $m$ nguyên và $m<2020$, ta có $-2\le m\le 2019,m\in \mathbb{Z}$.
Số giá trị nguyên thỏa mãn là: $2019-(-2)+1=2022$.

Chọn D.
Từ giả thiết, ta có:
$\{\begin{array}{l}x+y=10^z\\ x^2+y^2=10^{z+1}=10\cdot 10^z\end{array}$.
Ta có $2xy=(x+y{)}^2-(x^2+y^2)=(10^z{)}^2-10\cdot 10^z=10^{2z}-10\cdot 10^z⟹xy=\frac{1}{2}\cdot 10^{2z}-5\cdot 10^z$.
Khi đó:
$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)=(x+y)(x^2+y^2-xy)$
$=10^z\cdot \left[10\cdot 10^z-\left(\frac{1}{2}\cdot 10^{2z}-5\cdot 10^z\right)\right]$
$=10^z\cdot \left[15\cdot 10^z-\frac{1}{2}\cdot 10^{2z}\right]=-\frac{1}{2}\cdot 10^{3z}+15\cdot 10^{2z}$.
Đồng nhất với biểu thức $x^3+y^3=a\cdot 10^{3z}+b\cdot 10^{2z}$, ta được:
$a=-\frac{1}{2}$ và $b=15$.
Vậy $a+b=-\frac{1}{2}+15=\frac{29}{2}$.

Chọn B.
Ta có: ${\log }_{\sqrt{a}}3={\log }_{a^{1/2}}3=2{\log }_{a}3={\log }_a(3^2)={\log }_{a}9$.
Do đó $P=a^{{\log }_{a}9}=9$.

Điều kiện: $x+1>0\iff x>-1$.

Ta có:
${\log }_9(x+1)=\frac{1}{2}\iff x+1=9^{\frac{1}{2}}=3\iff x=2\text{ (thỏa ma˜n)}.$

Ta có hệ phương trình:
$\{\begin{array}{l}{\log }_{4}a+2{\log }_{4}b=5\\ 2{\log }_{4}a+{\log }_{4}b=7\end{array}$
Cộng hai phương trình vế theo vế:
$3{\log }_{4}a+3{\log }_{4}b=12⟺3({\log }_{4}a+{\log }_{4}b)=12⟺{\log }_4(ab)=4$.
Do đó $ab=4^4=(2^2{)}^4=2^8$.

Ta có ${\log }_{5}x=4{\log }_{5}a+3{\log }_{5}b={\log }_5(a^4)+{\log }_5(b^3)={\log }_5(a^4{b}^3)$.
Suy ra $x=a^4{b}^3$.

Sau 3 phút, số lượng vi khuẩn là $S_3=S_0\cdot 2^3=625$ (nghìn con) $⟹S_0=\frac{625}{8}$ (nghìn con).
Khi số lượng vi khuẩn đạt 10 triệu con ($10000$ nghìn con):
$S_t=\frac{625}{8}\cdot 2^t=10000⟺2^t=\frac{10000\cdot 8}{625}=16\cdot 8=128=2^7$.
Suy ra $t=7$ (phút).

Phương trình $3^{x^2-1}=9^x⟺3^{x^2-1}=3^{2x}⟺x^2-1=2x⟺x^2-2x-1=0$.
Theo định lý Vi-ét, ta có $x_1+x_2=2$ và $x_1{x}_2=-1$.
Khi đó $P=x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=2^2-2(-1)=4+2=6$.