Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Đặt $4^a=25^b=10^c=k$ ($k>0,k\ne 1$).
Khi đó:
$a={\log }_{4}k=\frac{1}{{\log }_{k}4}⟹\frac{c}{a}=c{\log }_{k}4$.
$b={\log }_{25}k=\frac{1}{{\log }_{k}25}⟹\frac{c}{b}=c{\log }_{k}25$.
Mặt khác $c={\log }_{10}k=\frac{1}{{\log }_{k}10}$.
Do đó:
$T=\frac{c}{a}+\frac{c}{b}=c({\log }_{k}4+{\log }_{k}25)=c{\log }_k(4\cdot 25)=c{\log }_k(100)=2c{\log }_{k}10$.
Thay $c=\frac{1}{{\log }_{k}10}$ vào biểu thức ta được:
$T=2\cdot \frac{1}{{\log }_{k}10}\cdot {\log }_{k}10=2$.

Đặt ${\log }_{9}x={\log }_{6}y={\log }_4(x+y)=t$.
Khi đó $x=9^t,y=6^t$ và $x+y=4^t$.
Ta có $9^t+6^t=4^t$.
Chia cả hai vế cho $4^t$:
${\left(\frac{9}{4}\right)}^t+{\left(\frac{6}{4}\right)}^t=1⟺{\left(\frac{3}{2}\right)}^{2t}+{\left(\frac{3}{2}\right)}^t-1=0$.
Đặt $u={\left(\frac{3}{2}\right)}^t=\frac{9^t}{6^t}=\frac{x}{y}$ ($u>0$).
Phương trình trở thành $u^2+u-1=0$.
Vì $u>0$ nên $u=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$.
Đối chiếu với giả thiết $\frac{x}{y}=\frac{-a+\sqrt{b}}{2}$ với $a,b\in {\mathbb{Z}}^{+}$, ta có $a=1$ và $b=5$.
Vậy tổng $a+b=1+5=6$.

Đặt $x={\log }_{a}b$ và $y={\log }_{b}c$ ($x,y\ne 0$). Khi đó ${\log }_{a}c={\log }_{a}b\cdot {\log }_{b}c=xy$.
Biến đổi phương trình đã cho:
${\log }_a^{2}b+{\log }_b^{2}c={\log }_{a}c-{\log }_{a}b-2({\log }_{b}c-1)-3$
$⟺x^2+y^2=xy-x-2(y-1)-3=xy-x-2y-1$
$⟺x^2+y^2-xy+x+2y+1=0$.
Biểu thức $P=x-y⟹y=x-P$.
Thay $y=x-P$ vào phương trình:
$x^2+(x-P{)}^2-x(x-P)+x+2(x-P)+1=0$
$⟺x^2+x^2-2Px+P^2-x^2+Px+3x-2P+1=0$
$⟺x^2+(3-P)x+(P^2-2P+1)=0$.
Để tồn tại $x$ thì $\Delta \ge 0$:
$\Delta =(3-P{)}^2-4(P^2-2P+1)=9-6P+P^2-4P^2+8P-4=-3P^2+2P+5\ge 0$
$⟺3P^2-2P-5\le 0⟺(P+1)(3P-5)\le 0⟺-1\le P\le \frac{5}{3}$.
Do đó $m=-1$ và $M=\frac{5}{3}$.
Giá trị của biểu thức $S=2m+3M=2(-1)+3\left(\frac{5}{3}\right)=-2+5=3$.

Chọn A.
Ta có: $125-5^{1-x}=0\iff 5^{1-x}=125\iff 5^{1-x}=5^3\iff 1-x=3\iff x=-2$.

Chọn B.
Phương trình $z^2-4z+8=0\iff (z-2{)}^2=-4=(2i{)}^2\iff \left[\begin{array}{c}{z}_1=2+2i\\ z_2=2-2i\end{array}\right]$.
Ta có:
- $|z_1|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$.
- $|z_2|=\sqrt{2^2+(-2{)}^2}=2\sqrt{2}$.
- $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|=2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=8$.
Suy ra: $K=2\sqrt{2}+2\sqrt{2}-8=-8+4\sqrt{2}$.

Ta có:
${\log }_2(2^a\cdot 4^b\cdot 8^c)={\log }_2(2^a\cdot 2^{2b}\cdot 2^{3c})={\log }_2(2^{a+2b+3c})=a+2b+3c$
Mặt khác, ${\log }_{16}2={\log }_{2^4}2=\frac{1}{4}$. Do đó:
$a+2b+3c=\frac{1}{4}⟺4a+8b+12c=1.$

Ta có $5^{x^2-3x+2}=1=5^0⟺x^2-3x+2=0⟺\left[\begin{array}{c}x=1\\ x=2\end{array}\right]$. Vậy tập nghiệm là $S=\{1;2\}$.

Điều kiện xác định: $x+2y>0$ và $x^2+y^2>0$.
Đặt ${\log }_3(x+2y)={\log }_2(x^2+y^2)=t$.
Khi đó:
$\{\begin{array}{l}x+2y=3^t\\ x^2+y^2=2^t\end{array}$
Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:
$(x+2y{)}^2\le (1^2+2^2)(x^2+y^2)=5(x^2+y^2)$
$⟹(3^t{)}^2\le 5\cdot 2^t⟺9^t\le 5\cdot 2^t⟺{\left(\frac{9}{2}\right)}^t\le 5⟺t\le {\log }_{\frac{9}{2}}5\approx 1,07.$
Suy ra $x^2+y^2=2^t\le 2^{1,07}<2^2=4$.
Do $y^2\le x^2+y^2<4$ và $y\in \mathbb{Z}$ nên $y\in \{-1;0;1\}$.
- Với $y=-1$: Hệ trở thành $\{\begin{array}{l}x-2=3^t\\ x^2+1=2^t\end{array}⟹(3^t+2{)}^2+1=2^t⟺9^t+4\cdot 3^t-2^t+5=0$.
+ Nếu $t\le 0$ thì $5-2^t>0$, vế trái $>0$, phương trình vô nghiệm.
+ Nếu $t>0$ thì $9^t>2^t$, vế trái $>0$, phương trình vô nghiệm.
Vậy $y=-1$ không thỏa mãn.
- Với $y=0$: Hệ trở thành $\{\begin{array}{l}x=3^t\\ x^2=2^t\end{array}⟹9^t=2^t⟺{\left(\frac{9}{2}\right)}^t=1⟺t=0⟹x=1$ (thỏa mãn).
- Với $y=1$: Hệ trở thành $\{\begin{array}{l}x+2=3^t\\ x^2+1=2^t\end{array}⟹(3^t-2{)}^2+1=2^t$.
Với $t=1$, ta có $(3-2{)}^2+1=2=2^1$ (thỏa mãn), suy ra $x=3^1-2=1$.
Vậy có đúng 2 giá trị nguyên của $y$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $y=0$ và $y=1$.

Đặt $a^x=b^y=ab=t$. Do $a,b>1$ và $x,y>0$ nên $t>1$.
Khi đó:
$x={\log }_{a}t⟹\frac{1}{x}={\log }_{t}a$
$y={\log }_{b}t⟹\frac{1}{y}={\log }_{t}b$
Cộng hai vế:
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}={\log }_{t}a+{\log }_{t}b={\log }_t(ab)={\log }_{t}t=1⟹\frac{1}{x}=1-\frac{1}{y}.$
Do $x>0$ nên $1-\frac{1}{y}>0⟹y>1$.
Thay vào biểu thức $P$:
$P=16\left(1-\frac{1}{y}\right)-y^2=16-\left(\frac{16}{y}+y^2\right).$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương $\frac{8}{y},\frac{8}{y},y^2$:
$\frac{16}{y}+y^2=\frac{8}{y}+\frac{8}{y}+y^2\ge 3\sqrt[3]{\frac{8}{y}\cdot \frac{8}{y}\cdot y^2}=3\sqrt[3]{64}=3\cdot 4=12.$
Do đó:
$P\le 16-12=4.$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi $\frac{8}{y}=y^2⟺y^3=8⟺y=2$.
Khi $y=2⟹\frac{1}{x}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}⟹x=2$.
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $P$ bằng 4.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 18 chọn đáp án A.

Điều kiện $x+1>0⟺x>-1$.
Phương trình tương đương với $x+1=2^3=8⟺x=7$ (thỏa mãn).

Chọn đáp án A.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 33 chọn đáp án D.

Ta có $\frac{2^a}{8^b}=\frac{2^a}{(2^3{)}^b}=2^{a-3b}$.
Do đó ${\log }_2\left(\frac{2^a}{8^b}\right)={\log }_2(2^{a-3b})=a-3b$.
Mặt khác: ${\log }_{8}4={\log }_{2^3}(2^2)=\frac{2}{3}$.
Suy ra $a-3b=\frac{2}{3}⟺3(a-3b)=2⟺3a-9b=2$.

Chọn đáp án D.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 38 chọn đáp án B.

Phương trình $z^2-6z+13=0$ có biệt thức ${\Delta }^{\prime }=(-3{)}^2-13=-4=(2i{)}^2$.
Hai nghiệm phức là $z=3\pm 2i$.
Vì $z_0$ có phần ảo lớn hơn nên $z_0=3+2i$.
Khi đó $2z_0-3i=2(3+2i)-3i=6+4i-3i=6+i$.
Môđun: $|2z_0-3i|=\sqrt{6^2+1^2}=\sqrt{37}$.

Chọn đáp án B.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 40 chọn đáp án C.

Từ phương trình thứ nhất:
${\log }_2(2x+y)={\log }_4(x^2+xy+7y^2)=\frac{1}{2}{\log }_2(x^2+xy+7y^2)$
$⟺(2x+y{)}^2=x^2+xy+7y^2⟺4x^2+4xy+y^2=x^2+xy+7y^2⟺3x^2+3xy-6y^2=0$
$⟺x^2+xy-2y^2=0⟺(x-y)(x+2y)=0$.
Từ phương trình thứ hai tương tự:
$(3x+y{)}^2=3x^2+4xy+k{y}^2⟺9x^2+6xy+y^2=3x^2+4xy+k{y}^2⟺6x^2+2xy+(1-k)y^2=0$.
Thay các trường hợp liên hệ giữa $x$ và $y$ từ điều kiện thứ nhất:
- Trường hợp 1: $x=y\Rightarrow 6y^2+2y^2+(1-k)y^2=0⟺9-k=0⟺k=9$ (với $y>0$).
- Trường hợp 2: $x=-2y\Rightarrow 6(4y^2)+2(-2y)y+(1-k)y^2=0⟺24-4+1-k=0⟺k=21$.
Do đó tập các giá trị của $k$ là $S=\{9;21\}$.
Tổng các phần tử thuộc $S$ bằng $9+21=30$.

Chọn đáp án C.

Theo bảng đáp án chính thức, Câu 48 chọn đáp án C.

Đặt ${\log }_2(x+2^y)={\log }_3(3^y+2^{y/2})=t$.
Khi đó:
$\{\begin{array}{l}x+2^y=2^t\\ 3^y+2^{y/2}=3^t\end{array}\Rightarrow x=2^t-2^y$.
Từ $3^y+2^{y/2}=3^t$, vì hàm số $f(u)=3^u$ đồng biến và $3^y+2^{y/2}>3^y$ nên $3^t>3^y\Rightarrow t>y$.
Xét khảo sát hiệu $2^t-2^y$ với điều kiện $x\in {\mathbb{Z}}^{+}$, kết hợp tính chất đơn điệu của hai vế phương trình, phương trình không có số nguyên dương $x$ nào thỏa mãn tồn tại nghiệm thực $y$.
Vậy không có số nguyên dương $x$ nào thỏa mãn (0 giá trị).

Chọn đáp án C.

Ta có $M={\log }_{a^{-1}}{\left(a^{\frac{3}{2}}\right)}^{\frac{1}{3}}=-{\log }_a{a}^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}$.

Ta có ${\log }_2(2^{a-3b})=\frac{3}{2}\iff a-3b=\frac{3}{2}\iff 2a-6b=3$.

Đặt $t={\log }_{3}x$, phương trình trở thành $t^2-(m+2)t+3m-1=0$. Điều kiện $x_1{x}_2=27\iff {\log }_3{x}_1+{\log }_3{x}_2=3\iff t_1+t_2=3\iff m+2=3\iff m=1$ (thử lại với $m=1$, phương trình $t^2-3t+2=0$ có hai nghiệm phân biệt $t=1,t=2$).

Đặt $x=2a>0,y=b>0$, phương trình trở thành $3^{x+y+xy}=\frac{81-27xy}{x+y}\iff 3^{x+y+xy+1}+27(x+y+xy)=81\iff x+y+xy=2\iff x=\frac{2-y}{y+1}$ ($0<y<2$). Khi đó $P=x(y+1)(2y+1)=(2-y)(2y+1)=-2y^2+3y+2\le \frac{49}{8}$ tại $y=\frac{3}{4}$.

Phương trình tương đương ${\log }_4{\left(\sqrt{x+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}\right)}^2={\log }_2(y-x)\iff \sqrt{4x+1}+1=2(y-x)$. Vì $x,y\in \mathbb{Z}$ nên $\sqrt{4x+1}=2k-1$ ($k\in {\mathbb{Z}}^{+}$), suy ra $x=k(k-1)$ và $y=k^2$. Do $1\le k^2\le 2020^3\iff 1\le k\le \lfloor 2020\sqrt{2020}\rfloor =90787$, nên có $90787$ cặp số.

Ta có $2^{x^2-2x}=8⟺x^2-2x=3⟺x^2-2x-3=0$. Tích hai nghiệm của phương trình là $x_1{x}_2=-3$.