Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Chọn D.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Phương trình tương đương:
$$x^2+x+4=10^1=10⟺x^2+x-6=0⟺(x-2)(x+3)=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=2</td></tr><tr><td>x=-3</td></tr></tbody></table>$$
Vậy tập nghiệm là $S=\{-3;2\}$.

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Ta có $\sqrt{a}=a^{1/2}$. Do đó:
$$I={\log }_a(a^{1/2})=\frac{1}{2}{\log }_{a}a=\frac{1}{2}.$$

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Ta có ${\log }_{7}x={\log }_{7}b-{\log }_7{a}^2={\log }_7\frac{b}{a^2}={\log }_7(b{a}^{-2})$.
Do đó $x=a^{-2}b$.

Chọn A.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Điều kiện: $x>\frac{1}{2}$ và $x\ne 1$.
Phương trình biến đổi tương đương:
$${\log }_3(2x-1)-{\log }_3(x-1{)}^2=3(x-1{)}^2-(2x-1)-1$$
$$⟺{\log }_3\frac{2x-1}{3}+\frac{2x-1}{3}={\log }_3(x-1{)}^2+(x-1{)}^2.$$
Xét hàm đặc trưng $f(t)={\log }_{3}t+t$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra:
$$\frac{2x-1}{3}=(x-1{)}^2⟺3x^2-8x+4=0⟺[<table><tbody><tr><td>x=2</td></tr><tr><td>x=\frac{2}{3}</td></tr></tbody></table>$$
Do đó $a=2$, $\frac{a}{b}=\frac{2}{3}⟹b=3$.
Vậy $b-a=3-2=1$.

Chọn C.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Đặt ${\log }_{3}x={\log }_{4}y={\log }_5(x+y)=t$.
Khi đó $x=3^t$, $y=4^t$ và $x+y=5^t$.
Thay $x,y$ vào ta được phương trình:
$$3^t+4^t=5^t⟺{\left(\frac{3}{5}\right)}^t+{\left(\frac{4}{5}\right)}^t=1.$$
Vì vế trái là hàm nghịch biến trên $\mathbb{R}$, phương trình có nghiệm duy nhất $t=2$.
Suy ra $x=3^2=9$ và $y=4^2=16$.
Vậy $2x+y=2(9)+16=18+16=34$.

Chọn B.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Yên Phong số 2 - Bắc Ninh, Mã đề 101, Trang 7-8)

Phương trình biến đổi tương đương:
$$2^x+{\log }_{2}x-{\log }_2(2-y)=2^{2-y}⟺2^x+{\log }_{2}x=2^{2-y}+{\log }_2(2-y).$$
Xét hàm số đặc trưng $f(t)=2^t+{\log }_{2}t$ trên $(0;+\infty )$ có $f^{\prime }(t)=2^t\ln 2+\frac{1}{t\ln 2}>0,\forall t>0$, hàm số luôn đồng biến trên $(0;+\infty )$.
Do đó phương trình tương đương:
$$x=2-y⟺x+y=2⟺y=2-x.$$
Vì $0\le x\le 2020$, điều kiện $x>0$ và $2-y>0⟺x\in \{1;2;\dots ;2020\}$.
Với mỗi giá trị nguyên của $x\in \{1;2;\dots ;2020\}$, ta xác định được duy nhất một giá trị nguyên của $y=2-x$.
Vậy có tất cả 2020 cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn.

Ta có $P={\log }_{ab}c=\frac{1}{{\log }_c(ab)}=\frac{1}{{\log }_{c}a+{\log }_{c}b}=\frac{1}{\frac{1}{{\log }_{a}c}+\frac{1}{{\log }_{b}c}}$.
Thay ${\log }_{a}c=3$ và ${\log }_{b}c=4$ vào biểu thức:
$P=\frac{1}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{7}{12}}=\frac{12}{7}$.
Chọn D.

Chọn D.
Ta có $5^{2x^2+5x+4}=5^2\iff 2x^2+5x+4=2\iff 2x^2+5x+2=0$.
Theo định lý Vi-ét, tổng các nghiệm là $x_1+x_2=-\frac{5}{2}$.

Chọn D.
Phương trình tương đương $x^2-3x-7=3^2=9\iff x^2-3x-16=0$.
Phương trình có $\Delta =9-4(-16)=73>0$, do đó có hai nghiệm phân biệt.
Tổng các nghiệm theo định lý Vi-ét là $x_1+x_2=3$.

Chọn A.
Phương trình tương đương $x^2-2x+2=10^1=10\iff x^2-2x-8=0\iff (x+2)(x-4)=0\iff x=-2$ hoặc $x=4$.
Vậy tập nghiệm là $S=\{-2;4\}$.

Ta có: $3^{2x-1}=27\iff 3^{2x-1}=3^3\iff 2x-1=3\iff 2x=4\iff x=2$.
Vậy phương trình có nghiệm $x=2$.
Chọn B.

Ta biến đổi phương trình đã cho với $m,n>0,n\ne 1$:
Ở vế trái:
${\log }_{7}m\cdot {\log }_{2}7={\log }_{2}m$.
${\log }_{2}10-1={\log }_{2}10-{\log }_{2}2={\log }_2\left(\frac{10}{2}\right)={\log }_{2}5$.
Do đó: $\frac{{\log }_{7}m\cdot {\log }_{2}7}{{\log }_{2}10-1}=\frac{{\log }_{2}m}{{\log }_{2}5}={\log }_{5}m$.
Ở vế phải:
$3+\frac{1}{{\log }_{n}5}={\log }_5{5}^3+{\log }_{5}n={\log }_{5}125+{\log }_{5}n={\log }_5(125n)$.
Phương trình trở thành:
${\log }_{5}m={\log }_5(125n)\iff m=125n$.
Chọn C.

Đặt $t=2^{x^2+4y^2}$ với $t\ge 2^0=1$.
Phương trình đã cho trở thành:
$t^2-2t=\frac{8}{t}-\frac{16}{t^2}\iff t^2+\frac{16}{t^2}-2\left(t+\frac{4}{t}\right)=0$.
Đặt $u=t+\frac{4}{t}\Rightarrow u^2=t^2+\frac{16}{t^2}+8\Rightarrow t^2+\frac{16}{t^2}=u^2-8$.
Phương trình trở thành:
$u^2-2u-8=0\iff [\begin{array}{rl}u& =4\\ u& =-2\text{ (loại vıˋ }u>0\text{)}\end{array}$
Với $u=4\Rightarrow t+\frac{4}{t}=4\iff t^2-4t+4=0\iff t=2$.
Suy ra $2^{x^2+4y^2}=2^1\iff x^2+4y^2=1\iff x^2+(2y{)}^2=1$.
Đặt $x=\cos \alpha ,2y=\sin \alpha \Rightarrow y=\frac{1}{2}\sin \alpha$ với $\alpha \in [0;2\pi )$.
Biểu thức $P$ trở thành:
$P=\frac{\cos \alpha -\sin \alpha -1}{\cos \alpha +\frac{1}{2}\sin \alpha +4}=\frac{2\cos \alpha -2\sin \alpha -2}{2\cos \alpha +\sin \alpha +8}$.
$\iff P(2\cos \alpha +\sin \alpha +8)=2\cos \alpha -2\sin \alpha -2$
$\iff (P+2)\sin \alpha +(2P-2)\cos \alpha =-8P-2$.
Phương trình lượng giác có nghiệm $\alpha$ khi và chỉ khi:
$(P+2{)}^2+(2P-2{)}^2\ge (-8P-2{)}^2$
$\iff (P^2+4P+4)+(4P^2-8P+4)\ge 64P^2+32P+4$
$\iff 5P^2-4P+8\ge 64P^2+32P+4$
$\iff 59P^2+36P-4\le 0$.
Phương trình $59P^2+36P-4=0$ có hai nghiệm phân biệt $m,M$ thỏa mãn định lí Vi-ét:
$M+m=-\frac{36}{59}$.
Chọn A.

Ta có $P={\log }_{ab}x=\frac{1}{{\log }_x(ab)}=\frac{1}{{\log }_{x}a+{\log }_{x}b}=\frac{1}{\frac{1}{{\log }_{a}x}+\frac{1}{{\log }_{b}x}}$.
Thay ${\log }_{a}x=3$ và ${\log }_{b}x=4$ vào biểu thức:
$P=\frac{1}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}=\frac{1}{\frac{7}{12}}=\frac{12}{7}$.
Chọn C.

Phương trình ${\log }_2(1-x)=2\iff 1-x=2^2\iff 1-x=4\iff x=-3$.
Vậy phương trình có nghiệm $x=-3$.
Chọn B.

Chọn D.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Điều kiện: $3x-2>0⟺x>\frac{2}{3}$.
Phương trình tương đương:
$$3x-2=3^3=27⟺3x=29⟺x=\frac{29}{3}\text{ (thỏa ma˜n)}.$$

Chọn D.
(Theo bảng đáp án chính thức của trường THPT Trần Phú - Hà Tĩnh, Mã đề 101, Trang 5)

Từ giả thiết:
$$3^a=2\cdot 3^b⟺\frac{3^a}{3^b}=2⟺3^{a-b}=2⟺a-b={\log }_{3}2.$$

Chọn B.
Ta có ${\log }_2(3x-2)=2\iff 3x-2=2^2=4\iff 3x=6\iff x=2$.

Chọn C.
Ta có $3^{x-4}=1\iff x-4=0\iff x=4$.

Chọn D.
Đặt $t=3^x>0$. Phương trình trở thành $t^2-8t+15=0\iff t_1=3$ hoặc $t_2=5$.
- Với $t=3\Rightarrow 3^x=3\iff x=1$.
- Với $t=5\Rightarrow 3^x=5\iff x={\log }_{3}5$.
Tổng các nghiệm là $x_1+x_2=1+{\log }_{3}5={\log }_{3}3+{\log }_{3}5={\log }_{3}15$.