Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

**Chọn D**

Vì $2^x>0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ nên phương trình $2^x=-1$ vô nghiệm. Do đó tập nghiệm là $S=\varnothing$.

**Chọn D**

Điều kiện: $\{\begin{array}{rl}2x-1& >0\\ x-5& >0\end{array}\iff x>5$.
Phương trình tương đương:
${\log }_3(2x-1)+{\log }_3(x-5)=1\iff {\log }_3[(2x-1)(x-5)]=1$
$\iff (2x-1)(x-5)=3\iff 2x^2-11x+2=0$.
Phương trình có 2 nghiệm: $x=\frac{11+\sqrt{105}}{4}\approx 5,31>5$ (thỏa mãn) và $x=\frac{11-\sqrt{105}}{4}\approx 0,19<5$ (loại).
Vậy phương trình có đúng $1$ nghiệm thực.

**Chọn A**



Điều kiện: $\{\begin{array}{rl}mx& >0\\ x& >-1\end{array}$.
Phương trình trở thành: $mx=(x+1{)}^2\iff m=\frac{(x+1{)}^2}{x}$ với $x>-1,x\ne 0$.
Xét hàm số $f(x)=\frac{(x+1{)}^2}{x}=x+2+\frac{1}{x}$ trên $(-1;+\infty )\setminus \{0\}$:
$f^{\prime }(x)=1-\frac{1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}=0\iff x=1$ (do $x\in (-1;+\infty )\setminus \{0\}$).
Bảng biến thiên cho thấy:
- Trên $(-1;0)$: $f(x)$ giảm từ $0$ về $-\infty$.
- Trên $(0;+\infty )$: $f(x)$ giảm từ $+\infty$ về $f(1)=4$, rồi tăng lên $+\infty$.
Để phương trình có nghiệm duy nhất thuộc điều kiện thì đường thẳng $y=m$ cắt đồ thị tại đúng 1 điểm thỏa mãn $mx>0$:
- Khi $x\in (-1;0)$, cần $m<0$: đường thẳng $y=m$ cắt nhánh $(-1;0)$ tại đúng 1 điểm (khi đó $m<0$ và $x<0\Rightarrow mx>0$, thỏa mãn). Tương ứng có các giá trị nguyên $m\in [-2022;-1]$: có $2022$ giá trị.
- Khi $x>0$, cần $m>0$: có nghiệm duy nhất khi $m=4$ (điểm cực tiểu tiếp xúc).
Tổng số giá trị nguyên của $m$ là $2022+1=2023$ giá trị.

**Chọn B**

Ta biến đổi phương trình:
${\log }_2(x+2y)+(x+2y)(x+y)-(x+y)=0\iff {\log }_2(x+2y)=(x+y)[1-(x+2y)]$.
Vì $x+y>0$ và $x+2y>0$:
- Nếu $x+2y>1\Rightarrow {\log }_2(x+2y)>0$, trong khi $(x+y)[1-(x+2y)]<0$ (mâu thuẫn).
- Nếu $0<x+2y<1\Rightarrow {\log }_2(x+2y)<0$, trong khi $(x+y)[1-(x+2y)]>0$ (mâu thuẫn).
Do đó bắt buộc $x+2y=1\iff 2y=1-x$.
Vì $y$ nguyên nên $1-x$ phải là số chẵn $\iff x$ là số lẻ.
Lại có $x+y>0\iff x+\frac{1-x}{2}>0\iff \frac{x+1}{2}>0\iff x>-1$.
Kết hợp với điều kiện $-20\le x\le 20$, ta có $x$ là số nguyên lẻ thuộc $(-1;20]$:
$x\in \{1;3;5;7;9;11;13;15;17;19\}$.
Có đúng $10$ giá trị của $x$, tương ứng với $10$ giá trị nguyên của $y$.
Vậy có $10$ cặp số nguyên thỏa mãn.

**Chọn B**

Phương trình: $3^{2x}-4\cdot 3^x+3=0\iff (3^x-1)(3^x-3)=0\iff [\begin{array}{rl}{3}^x& =1\\ 3^x& =3\end{array}\iff [\begin{array}{rl}x& =0\\ x& =1\end{array}$.
Tổng các nghiệm là: $0+1=1$.

Ta có ${\log }_{3}b-2{\log }_{9}a=2\iff {\log }_{3}b-2{\log }_{3^2}a=2\iff {\log }_{3}b-{\log }_{3}a=2\iff {\log }_3\left(\frac{b}{a}\right)=2\iff \frac{b}{a}=3^2=9\iff b=9a$.

Ta có $2^{1-3x}=\frac{1}{32}\iff 2^{1-3x}=2^{-5}\iff 1-3x=-5\iff 3x=6\iff x=2$.

Viết lại phương trình ta được:
${\log }_3(x^2+4x)-{\log }_3(3x+6)=0\iff {\log }_3(x^2+4x)={\log }_3(3x+6)$
$\iff \{\begin{array}{l}3x+6>0\\ x^2+4x=3x+6\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>-2\\ x^2+x-6=0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x>-2\\ [<table><tbody><tr><td>x=2</td></tr><tr><td>x=-3</td></tr></tbody></table>\end{array}\iff x=2$.
Vậy phương trình có đúng $1$ nghiệm.

Điều kiện: $e^{-x}+m+2023>0$.
Với $x=1$, ta có $(1-1)\log (...)=0\ne 1-2=-1$ nên $x=1$ không là nghiệm.
Với $x\ne 1$, phương trình tương đương:
$\log (e^{-x}+m+2023)=\frac{x-2}{x-1}\iff e^{-x}+m+2023=10^{\frac{x-2}{x-1}}\iff m+2023=10^{\frac{x-2}{x-1}}-e^{-x}$.
Xét hàm số $g(x)=10^{\frac{x-2}{x-1}}-e^{-x}$ với $x\ne 1$.
$g^{\prime }(x)=\frac{1}{(x-1{)}^2}10^{\frac{x-2}{x-1}}\ln 10+e^{-x}>0,\forall x\ne 1$.
Bảng biến thiên:
- Khi $x\in (-\infty ;1)$, $g(x)$ tăng từ $-\infty$ đến $+\infty$.
- Khi $x\in (1;+\infty )$, $g(x)$ tăng từ $-\frac{1}{e}$ đến $10$.
Do nhánh $(-\infty ;1)$ luôn cắt đường thẳng $y=m+2023$ tại đúng 1 điểm, nên để có 2 nghiệm phân biệt thì đường thẳng phải cắt nhánh $(1;+\infty )$ tại đúng 1 điểm:
$-\frac{1}{e}<m+2023<10\iff -2023-\frac{1}{e}<m<-2013$.
Vì $-\frac{1}{e}\approx -0,368$ nên $-2023,368<m<-2013$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{-2023,-2022,\dots ,-2014\}$, có $10$ giá trị nguyên thỏa mãn.

Chia cả hai vế cho $4^x>0$: $4{\left(\frac{3}{2}\right)}^{2x}-13{\left(\frac{3}{2}\right)}^x+9=0\iff \left[{\left(\frac{3}{2}\right)}^x-1\right]\left[4{\left(\frac{3}{2}\right)}^x-9\right]=0\iff {\left(\frac{3}{2}\right)}^x=1$ hoặc ${\left(\frac{3}{2}\right)}^x=\frac{9}{4}={\left(\frac{3}{2}\right)}^2$. Do đó $x=0$ hoặc $x=2$. Tổng các nghiệm là $T=0+2=2$. Chọn D.

Đặt $t={\log }_{2}x$. Với $x\in \left[\frac{1}{32};1\right]\Rightarrow t\in [-5;0]$. Ta có ${\log }_{1/2}(2x)=-({\log }_{2}2+{\log }_{2}x)=-(1+t)\Rightarrow {\log }_{1/2}^2(2x)=(t+1{)}^2$. Phương trình trở thành: $3(t+1{)}^2-(4+m)t+4+m=0\iff 3t^2+6t+3-4t-mt+4+m=0\iff 3t^2+2t+7=m(t-1)\iff m=\frac{3t^2+2t+7}{t-1}$. Khảo sát hàm số $g(t)=\frac{3t^2+2t+7}{t-1}$ trên đoạn $[-5;0]$, ta tìm được điều kiện để phương trình có 2 nghiệm phân biệt là $m\in [-7;-4)$. Chọn B.

Ta có ${\log }_{\sqrt{2}}b={\log }_{2^{1/2}}b=2{\log }_{2}b={\log }_2(b^2)$.
Do đó: ${\log }_2{a}^3+{\log }_{\sqrt{2}}b=5\iff {\log }_2{a}^3+{\log }_2(b^2)=5\iff {\log }_2(a^3{b}^2)=5\iff a^3{b}^2=2^5=32$.

Điều kiện: $\{\begin{array}{l}x>0\\ x^2-x>0\end{array}\iff x>1$.
Phương trình tương đương:
$x=x^2-x\iff x^2-2x=0\iff \left[\begin{array}{c}x=0\text{ (L)}\\ x=2\text{ (TM)}\end{array}\right]$.
Vậy tập nghiệm $S=\{2\}$.

Điều kiện: $\{\begin{array}{l}2y-x+3>0\\ y>1\\ x\ge 1\end{array}$.
$(x{y}^2+x-2y-1)\log y=\log \frac{2y-x+3}{x}$
$\iff (x{y}^2+x-2y-1)\log y-2\log y=\log \frac{2y-x+3}{x}-2\log y$
$\iff (x{y}^2-2y+x-3)\log y=\log \frac{2y-x+3}{x{y}^2}$
$\iff (a-b)\log y+\log \frac{a}{b}=0$, với $\{\begin{array}{l}a=x{y}^2\\ b=2y-x+3\end{array}$.
Nếu $a>b$ thì $(a-b)\log y+\log \frac{a}{b}>0$; nếu $a<b$ thì $(a-b)\log y+\log \frac{a}{b}<0$.
Do đó phương trình $\iff a=b\iff x{y}^2=2y-x+3\iff x=\frac{2y+3}{y^2+1}$.
Xét hàm số $f(y)=\frac{2y+3}{y^2+1}$ với $y>1$. Ta có $f^{\prime }(y)=\frac{-2y^2-6y+2}{(y^2+1{)}^2}<0,\forall y>1$.
Nên $f(y)$ nghịch biến trên $(1;+\infty )$.
Bảng biến thiên:

Để tồn tại số thực $y$ lớn hơn 1 thì $0<x<\frac{5}{2}\Rightarrow x\in \{1;2\}$.
Vậy có 2 số nguyên dương $x$ thỏa mãn.

Với điều kiện $x>-1$, phương trình ban đầu tương đương:
$4^x{\log }_3(x+1)=1+m{\log }_3(x+1)\iff {\log }_3(x+1)=\frac{1}{4^x-m}$.
Để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt thì đồ thị hai hàm số $\{\begin{array}{l}y={\log }_3(x+1)\\ y=\frac{1}{4^x-m}\end{array}$ có 2 giao điểm.

Từ đồ thị, điều kiện có 2 giao điểm khi $\frac{m}{4}>-1\iff m>-4$.
Kết hợp với $m\in (-10;20)$ và $m\in \mathbb{Z}$ ta được $m\in \{-3;-2;\dots ;19\}$.
Số giá trị nguyên thỏa mãn là $19-(-3)+1=23$.

Điều kiện $a>0,a\in \mathbb{Z}$. Biến đổi vế trái: $\frac{1}{2}{8}^{{\log }_{3}a}+2^{{\log }_{3}a}=\frac{1}{2}(2^{{\log }_{3}a}{)}^3+2^{{\log }_{3}a}$. Đặt $t=b+\sqrt{4-b^2}\in [-2;2\sqrt{2}]$, vế phải trở thành $\frac{1}{2}{t}^3+t$. Do hàm số $f(u)=\frac{1}{2}{u}^3+u$ đồng biến nên $2^{{\log }_{3}a}=b+\sqrt{4-b^2}\le 2\sqrt{2}=2^{3/2}\Rightarrow {\log }_{3}a\le \frac{3}{2}\iff a\le 3^{3/2}\approx 5.196$. Vì $a$ nguyên dương nên $a\in \{1;2;3;4;5\}$. Tổng các phần tử là $1+2+3+4+5=15$. Chọn B.

Phương trình tương đương $2^{x^2-3x+4}=2^{2(2x-3)}\iff x^2-3x+4=4x-6\iff x^2-7x+10=0$. Theo định lý Vi-ét, tổng các nghiệm là $x_1+x_2=7$. Chọn B.

Ta có ${\log }_a(a^3\sqrt{b})={\log }_a(a^3)+{\log }_a(b^{1/2})=3+\frac{1}{2}{\log }_{a}b=3+\frac{1}{2}(2)=4$. Chọn B.

Điều kiện: $x>3$. Phương trình tương đương ${\log }_2[x(x-3)]=2\iff x^2-3x=4\iff x^2-3x-4=0\iff x=4$ (nhận) hoặc $x=-1$ (loại). Vậy phương trình có 1 nghiệm duy nhất. Chọn C.

Ta có ${\log }_2(x-1)=1\iff x-1=2^1=2\iff x=3$. Chọn A.