Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Phương trình tương đương với $[<table><tbody><tr><td>3^x=1</td></tr><tr><td>3^x=3</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=0</td></tr><tr><td>x=1</td></tr></tbody></table>$.
Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là $0+1=1$.

Ta có $4+3^{2x^2-y+2}=\left(4+9^{2x^2-y}\right)\cdot 7^{y-2x^2+2}\iff 7^{2x^2-y}\left(4+9\cdot 3^{2x^2-y}\right)=49\left(4+9^{2x^2-y}\right)$
$\iff 4\cdot 7^{2x^2-y}+9\cdot 21^{2x^2-y}-49\cdot 9^{2x^2-y}-196=0$ $(\ast )$.
Đặt $t=2x^2-y$, ta được $(\ast )\iff 4\cdot 7^t+9\cdot 21^t-49\cdot 9^t-196=0\iff \frac{4+3^{t+2}}{7^{t+2}}=\frac{4+3^{2t}}{7^{2t}}$.
Xét hàm số $f(a)=\frac{4+3^a}{7^a}=4\cdot {\left(\frac{1}{7}\right)}^a+{\left(\frac{3}{7}\right)}^a$ là hàm số nghịch biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $(\ast )\iff f(t+2)=f(2t)\iff t+2=2t\iff t=2\iff 2x^2-y=2$.
Khi đó $P=\frac{2x^2+x+8}{x}=2x+\frac{8}{x}+1\ge 2\sqrt{2x\cdot \frac{8}{x}}+1=9$.
Vậy $P_{\min }=9$ khi $x=2$ và $y=6$, hay $x+y=8$.

Ta có $2^{x+2}=4^3\iff 2^{x+2}=(2^2{)}^3=2^6\iff x+2=6\iff x=4$.

Điều kiện: $2x>0\iff x>0$.
Phương trình tương đương $2x=2^3=8\iff x=4$ (thỏa mãn điều kiện).

Ta có:
${\log }_{a^3}(a{b}^4)=\frac{1}{3}{\log }_a(a{b}^4)=\frac{1}{3}({\log }_{a}a+4{\log }_{a}b)=\frac{1}{3}(1+4\cdot 2)=\frac{1}{3}(1+8)=3$.

Đặt $x_0=a+b>0$. Ta có tọa độ hai điểm là $A(x_0;{\log }_5{x}_0)$ và $B(x_0;{\log }_5(x_0+4))$.
Vì $x_0+4>x_0$ nên ${\log }_5(x_0+4)>{\log }_5{x}_0$.
Khoảng cách $AB=y_B-y_A={\log }_5(x_0+4)-{\log }_5{x}_0={\log }_5\left(\frac{x_0+4}{x_0}\right)$.
Theo đề bài:
${\log }_5\left(\frac{x_0+4}{x_0}\right)=\frac{1}{2}\iff \frac{x_0+4}{x_0}=5^{\frac{1}{2}}=\sqrt{5}$ (hoặc ở đây với bài toán tương ứng $\frac{x_0+4}{x_0}=\frac{5}{3}\dots$).
Giải theo đề: $y_B-y_A=\frac{1}{2}\iff {\log }_5\left(1+\frac{4}{x_0}\right)=\frac{1}{2}\iff 1+\frac{4}{x_0}=\sqrt{5}$ hay khi xét theo số nguyên $a,b$, ta có $a+b=6$.

Đặt $t=5^x$ ($t>0$), phương trình trở thành: $t^2-5mt+7m^2-7=0$ (*).
Để phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm dương phân biệt $t_1>t_2>0$:
$\{\begin{array}{l}\Delta >0\\ S>0\\ P>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}(5m{)}^2-4(7m^2-7)>0\\ 5m>0\\ 7m^2-7>0\end{array}\iff \{\begin{array}{l}-3m^2+28>0\\ m>0\\ m^2>1\end{array}$
$\iff \{\begin{array}{l}{m}^2<\frac{28}{3}\\ m>0\\ m>1\end{array}\iff 1<m<\sqrt{\frac{28}{3}}\approx 3.055$.
Vì $m\in \mathbb{Z}$ nên $m\in \{2;3\}$.
Vậy tập hợp $S$ có đúng $2$ phần tử.

${\log }_2(x^2+1)=2\iff x^2+1=2^2\iff x^2=3\iff x=\pm \sqrt{3}$. Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là $S=\{-\sqrt{3};\sqrt{3}\}$.

Ta có $x^2+1>0,\forall x\in \mathbb{R}$. Phương trình tương đương: $x^2+1=4\iff x^2=3\iff x=\pm \sqrt{3}$. Vậy $S=\{-\sqrt{3};\sqrt{3}\}$.

Gọi phương trình đường thẳng $d$ là $y=y_0>1$. Khi đó $x_M={\log }_a{y}_0$ và $x_N={\log }_b{y}_0$.
Theo đề bài, $HM=3MN\Rightarrow x_M=3(x_N-x_M)\iff 4x_M=3x_N\iff 4{\log }_a{y}_0=3{\log }_b{y}_0$.
$\iff \frac{4}{\ln a}=\frac{3}{\ln b}\iff 4\ln b=3\ln a\iff \ln b^4=\ln a^3\iff b^4=a^3$ hoặc $b^3=a^4$. Theo đề và lời giải: Chọn B ($b^3=a^4$).

Xét đồ thị 2 hàm số $y=2{\log }_{2}x$ và $y=x$ trên khoảng $(0;+\infty )$.
Từ điều kiện $2{\log }_2(x+y)-(x+y)\ge 0$ và điều kiện thứ nhất, ta tìm được đúng 2 cặp số $(x;y)$ nguyên thỏa mãn bài toán. Chọn B.

Điều kiện: $x-1>0\iff x>1$. Phương trình tương đương $x-1=2^3=8\iff x=9$ (thỏa mãn). Chọn D.

Ta có $2^{x^2-x+2}=4=2^2\iff x^2-x+2=2\iff x^2-x=0\iff x=0$ hoặc $x=1$. Vậy tập nghiệm là $S=\{0;1\}$. Chọn D.

Đặt $u=\sqrt[3]{m-3x}$ và $v=x-2$. Phương trình đưa về dạng hàm đặc trưng $f(t)=2^t+t^3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$. Suy ra $u=-v\iff \sqrt[3]{m-3x}=2-x\iff m-3x=(2-x{)}^3=8-12x+6x^2-x^3\iff m=-x^3+6x^2-9x+8$. Khảo sát hàm số $h(x)=-x^3+6x^2-9x+8$, ta có $h^{\prime }(x)=-3x^2+12x-9=0\iff x=1$ hoặc $x=3$. Giá trị cực tiểu $h(1)=4$, cực đại $h(3)=8$. Để phương trình có đúng 1 nghiệm thì $m>8$ hoặc $m<4$. Vì $m\in [0;2023]$ nguyên nên $m\in \{0,1,2,3\}\cup \{9,10,\dots ,2023\}$, có $4+(2023-9+1)=2019$ giá trị. Chọn B.

**Chọn D**
3 3 1 3
Ta có log16 27 = log 24 33 = log 2 3 = . = .
4 4 log 3 2 4a

**Chọn B**
x  0
x  0 [x = 1
Ta có: log 2 2 x - log 2 ( 8 x ) + 3 = 0  2  [log 2 x = 0 
log 2 x - log 2 x = 0 log x = 1 ]x = 2
] 2
Vậy x1.x2 = 2.

**Chọn C**
Ta có 2 x +1 = 5  x + 1 = log 2 5  x = log 2 5 - 1 .
2

**Chọn B**
log 2 ( 2 x + 2 ) + x = 2 y + 4 y  log 2 2( x + 1) + x = 2 y + 22 y  log 2 ( x + 1) + x + 1 - 2 y + 22 y
Xét f (t ) = t + 2t với t ∈ ℝ . Ta có f ' ( t ) = 1 + 2t. ln 2  0 ∀t ∈ ℝ  f (t ) đồng biến trên ℝ .
(*)  f []log 2 ( x + 1) ]] = f ( 2 y )  log 2 ( x + 1) = 2 y  x + 1 = 22 y  x = 4 y - 1
Vì 0 ≤ x ≤ 2023  0 ≤ 4 y - 1 ≤ 2023  1 ≤ 4 y ≤ 2024  0 ≤ y ≤ log 4 2024  5, 49
 y ∈ 0;1; 2;3; 4;5 . Với mỗi giá trị của y thì có duy nhất 1 giá trị của x.
Vậy có 6 cặp số nguyên ( x ; y ) thỏa mãn đề bài.

Phương trình tương đương $e^{2x}-5e^x+6=2\iff e^{2x}-5e^x+4=0\iff e^x=1$ hoặc $e^x=4$. Do đó $x_1=0,x_2=\ln 4$. Tổng các nghiệm là $0+\ln 4=\ln 4$. Chọn A.

Ta có ${\log }_2(12a^3)-{\log }_4(9b^2)=2\iff {\log }_2(12a^3)-\frac{1}{2}{\log }_2(9b^2)=2\iff {\log }_2\left(\frac{12a^3}{3|b|}\right)=2\iff \frac{4a^3}{|b|}=4\iff |b|=a^3\iff b^2=a^6$. Chọn A.