Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Phương trình mũ/logarit (Toán học Lớp 11)

Ta có: $z-(2+3i)\bar{z}=1-9i\iff x+yi-(2+3i)(x-yi)=1-9i\iff (-x-3y)+(-3x+3y)i=1-9i$

$\iff \{\begin{array}{l}-x-3y=1\\ -3x+3y=-9\end{array}\iff \{\begin{array}{l}x=2\\ y=-1\end{array}\Rightarrow xy=-2$.

Điều kiện xác định: $x>0$.

Phương trình tương đương với $[2{\log }_2(2x){]}^2-2{\log }_2(2x{)}^2-8=0\iff 4(1+{\log }_{2}x{)}^2-4(1+{\log }_{2}x)-8=0$

$\iff \left[\begin{array}{c}{\log }_{2}x=-2\\ {\log }_{2}x=1\end{array}\right]\iff \left[\begin{array}{c}x=\frac{1}{4}\\ x=2\end{array}\right]$.

Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là $2+\frac{1}{4}=\frac{9}{4}$.

Đặt $m={\log }_{2022}(4^x-2^{x+1}+2023)$. Ta có:

$(y^2+101)m=20y+1\iff m{y}^2-20y+101m-1=0$ $(\ast )$.

Do $m={\log }_{2022}((2^x-1{)}^2+2022)\ge {\log }_{2022}2022=1$ nên $m\ge 1$ $(1)$.

Phương trình $(\ast )$ có nghiệm $y$ khi và chỉ khi ${\Delta }^{\prime }=100-m(101m-1)=-101m^2+m+100\ge 0\iff -\frac{100}{101}\le m\le 1$ $(2)$.

Từ $(1)$ và $(2)$ suy ra $m=1\iff (2^x-1{)}^2+2022=2022\iff x=0$.

Khi đó: $y^2-20y+100=0\iff y=10$. Vậy có $1$ cặp $(x;y)=(0;10)$.

**Chọn A**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Sở GD&ĐT Bắc Ninh - Mã đề 101, trang 13-14; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).

Phương trình $3^x=7\iff x={\log }_{3}7$.

Ta có:
${\log }_{a^2}(5a^3)=\frac{1}{2}{\log }_a(5a^3)=\frac{1}{2}({\log }_{a}5+{\log }_a{a}^3)=\frac{1}{2}({\log }_{a}5+3)=\frac{1}{2}(3+3)=3$.

Điều kiện: $3^{x-2}+2y>0\iff 3^{x-1}+6y>0$.
Phương trình đã cho viết lại thành:
$2\cdot 3^{x-1}-{\log }_3\left(\frac{3^{x-1}+6y}{3}\right)=6y-x+1$
$\iff 2\cdot 3^{x-1}-{\log }_3(3^{x-1}+6y)+1=6y-x+1$
$\iff 2\cdot 3^{x-1}-{\log }_3(3^{x-1}+6y)=6y-x$.

Đặt $u={\log }_3(3^{x-1}+6y)\Rightarrow 3^u=3^{x-1}+6y\Rightarrow 6y=3^u-3^{x-1}$.
Thay vào phương trình ta được:
$2\cdot 3^{x-1}-u=3^u-3^{x-1}-x\iff 3\cdot 3^{x-1}+x=3^u+u\iff 3^x+x=3^u+u$.

Xét hàm số $f(t)=3^t+t$ có $f^{\prime }(t)=3^t\ln 3+1>0$, $\forall t\in \mathbb{R}$, nên hàm số luôn đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Do đó $3^x+x=3^u+u\iff x=u$.
Với $x=u$, ta có $x={\log }_3(3^{x-1}+6y)\iff 3^x=3^{x-1}+6y$
$\iff 6y=3^x-3^{x-1}=2\cdot 3^{x-1}\iff y=\frac{1}{3}\cdot 3^{x-1}=3^{x-2}$.

Theo giả thiết, $2022^{-1}\le y\le 2022$:
$\frac{1}{2022}\le 3^{x-2}\le 2022\iff -{\log }_{3}2022\le x-2\le {\log }_{3}2022$
$\iff 2-{\log }_{3}2022\le x\le 2+{\log }_{3}2022$.
Vì $3^6=729<2022<3^7=2187$ nên ${\log }_{3}2022\approx 6.928$.
Suy ra $2-6.928\le x\le 2+6.928\iff -4.928\le x\le 8.928$.
Do $x\in \mathbb{Z}$ nên $x\in \{-4;-3;-2;-1;0;1;2;3;4;5;6;7;8\}$.
Để $y=3^{x-2}$ là số nguyên thì $x-2\ge 0\iff x\ge 2$.
Kết hợp lại ta được $x\in \{2;3;4;5;6;7;8\}$.
Với mỗi $x\in \{2;3;4;5;6;7;8\}$, ta có duy nhất một giá trị nguyên dương tương ứng của $y=3^{x-2}$.
Vậy có đúng $7$ cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

**Chọn C**
Xét phương trình log x + log ( x − 3) =
1
Điều kiện: x > 3 .
Ta có:
log x + log ( x − 3) =
1 ⇔ log x ( x − 3) =1 ⇔ x 2 − 3 x =10 ⇔ x 2 − 3 x − 10 =0
x = 5
⇔ .
 x = −2 (loai )
Vậy x = 5 là nghiệm của phương trình.

**Chọn B**
Vì z1= 3 + i là nghiệm của phương trình z − 3az + 2b =
0 nên z2 = 3 − i cũng là nghiệm của
2

phương trình.
z + z = 3=
a  6 3=
a a 2
Theo định lý Vi_et thì  1 2 ⇔ ⇔ .
 z1.z2 = 2b = 10 2=
b b 5
Vậy b − a = 3.

( 5) < 5
x −1

**Chọn C**
Điều kiện x  y  0 .





2023 
x  log 3 t
-z 

Đặt 3  5  15
x y x y
 t  y  log5 t



 2023
 - z  log15 t


 x  y

1 1 log 3 t. log5 t
Mà log15 t   
logt 15 logt 3  logt 5 log 3 t  log5 t

2023 xy
 -z 
x y x y

 2023 - z x  y   xy

 xy  yz  zx  2023 .

Điều kiện $x>0$. Phương trình tương đương ${\log }_3^{2}x-5{\log }_{3}x+6=0\iff {\log }_{3}x=2$ hoặc ${\log }_{3}x=3$, suy ra $x=3^2=9$ hoặc $x=3^3=27$.
Vậy tích các nghiệm bằng $9\cdot 27=243$.

Chọn C.

Ta có: ${\log }_a\sqrt{a}={\log }_a{a}^{1/2}=\frac{1}{2}$.

Chọn D.

Phương trình tương đương $(2^x{)}^2-6\cdot 2^x+8=0\iff 2^x=2$ hoặc $2^x=4\iff x=1$ hoặc $x=2$.
Tổng các nghiệm là $1+2=3$.

Ta có $\log (100a)+\log \left(\frac{10}{a}\right)=\log \left(100a\cdot \frac{10}{a}\right)=\log (1000)=3$.

Phương trình tương đương:
$2\cdot (2^x{)}^2-5\cdot 2^x+2=0\iff [<table><tbody><tr><td>2^x=2</td></tr><tr><td>2^x=\frac{1}{2}</td></tr></tbody></table>\iff [<table><tbody><tr><td>x=1</td></tr><tr><td>x=-1</td></tr></tbody></table>$
Tổng các nghiệm là $1+(-1)=0$.

Biến đổi phương trình:
${\log }_3\frac{x}{9}+2{\log }_{3}y=\frac{18-2x{y}^2}{y^2}\iff {\log }_3\frac{x{y}^2}{9}=\frac{18-2x{y}^2}{y^2}\iff {\log }_3(x{y}^2)+\frac{2x{y}^2}{y^2}={\log }_{3}9+\frac{18}{y^2}$
Xét hàm đặc trưng $f(t)={\log }_{3}t+\frac{2t}{y^2}$ đồng biến trên $(0;+\infty )$, suy ra $x{y}^2=9\Rightarrow x=\frac{9}{y^2}$.
Khi đó:
$P=\frac{9}{y^2}+6y=\frac{9}{y^2}+3y+3y\ge 3\sqrt[3]{\frac{9}{y^2}\cdot 3y\cdot 3y}=3\cdot 9=27.$
Dấu bằng xảy ra khi $\frac{9}{y^2}=3y\iff y^3=3\iff y=\sqrt[3]{3}$.
Suy ra $x=\frac{9}{(\sqrt[3]{3}{)}^2}=3\sqrt[3]{3}$.
Do đó $\frac{x}{y}=\frac{3\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{3}}=3$.

Lấy logarit cơ số $2$ hai vế: $2^{x^2}\cdot 3^{x+1}=2\iff {\log }_2(2^{x^2}\cdot 3^{x+1})=1\iff x^2+(x+1){\log }_{2}3-1=0\iff x^2+x{\log }_{2}3+{\log }_{2}3-1=0$. Phương trình có hai nghiệm $x=-1$ và $x=1-{\log }_{2}3$. Tổng các nghiệm bằng $-1+(1-{\log }_{2}3)=-{\log }_{2}3$.

Ta có ${\log }_2{a}^2+{\log }_{2}b=3\iff {\log }_2(a^{2}b)=3\iff a^{2}b=2^3=8$.

**Chọn D**

(Theo bảng đáp án chính thức của Trường THPT Bạch Đằng - Mã đề 101, trang 7-8; đề thi gốc không kèm lời giải tự luận chi tiết).