Bài Tập Trắc Nghiệm Chuyên Đề: Quan hệ liên thuộc (Toán học Lớp 11)

(AI giải đề cho tôi)
Trong mặt phẳng $(BCD)$, qua $M$ kẻ đường song song với $BI$, cắt $BD$ tại $N$ (vì $BI$ cắt $BD$ tại $B$). Khi đó $MN\parallel BI\subset (ABI)$ nên $MN\parallel (ABI)$.
Trong mặt phẳng $(ABD)$, qua $N$ kẻ đường song song với $AB$, cắt $AD$ tại $P$; khi đó $NP\parallel AB$ nên $NP\parallel (ABI)$.
Gọi thiết diện là $(MNP)$. Vì $(MNP)\cap (ACD)$ là đường qua $P$ và $(ABI)\cap (ACD)=AI$, nên đường giao này song song với $AI$, tức $PM\parallel AI$ (đúng vì $M$ nằm trên đường qua $P$ song song $AI$ trong $(ACD)$, cắt $BC$ tại $M$ ban đầu).
Vậy thiết diện là tam giác $MNP$ với $MN\parallel BI$, $NP\parallel AB$, $PM\parallel AI$, nên $△MNP\sim △IBA$.
Trong tứ diện đều cạnh $a$: $AB=a$, còn $AI=BI=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (đường trung tuyến của tam giác đều). Suy ra tam giác $IBA$ cân tại $I$, do đó tam giác $MNP$ cũng là tam giác cân (không đều vì $AB\ne AI$).
Vậy thiết diện là một tam giác cân.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $S$ là đỉnh của hình chóp, không thuộc mặt đáy $(ABCD)$. b) Đúng: $(SAC)$ và $(SBD)$ cùng chứa $S$; $AC\cap BD=O$ (tâm hình bình hành) nên giao tuyến là $SO$. c) Đúng: Trong tam giác $CBD$, $MN\parallel BD$ và $MN$ cắt $AC$ tại $P$. Trong mặt đáy, $P$ thỏa $P$ thuộc đoạn $OC$ với $OP=PC$, tức $P$ là trung điểm $OC$; vì $P\in AC\subset (SAC)$ nên $P$ là giao điểm của $MN$ và $(SAC)$. d) Sai: Tọa độ hóa $S(0,0,1),A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),C(1,1,0)$, ta có $G(\frac{1}{3},\frac{1}{3},\frac{1}{3})$, $M(1,\frac{1}{2},0)$, $N(\frac{1}{2},1,0)$. Mặt phẳng $(GMN)$ có vtpt $\vec{n}=(\frac{1}{6},\frac{1}{6},\frac{5}{12})$, phương trình $\frac{1}{6}(x-\frac{1}{3})+\frac{1}{6}(y-\frac{1}{3})+\frac{5}{12}(z-\frac{1}{3})=0$. Điểm $(0,0,t)\in SA$ thuộc mặt phẳng khi $-\frac{1}{9}+\frac{5}{12}(t-\frac{1}{3})=0\Rightarrow t=\frac{3}{5}$. Vậy $H$ cách $A$ một khoảng $\frac{3}{5}SA$, suy ra $\frac{SH}{SA}=\frac{2}{5}\ne \frac{3}{7}$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S$ là đỉnh chóp nằm ngoài mặt phẳng đáy $(ABCD)$, nên $S\notin (ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
Hai mặt phẳng cùng chứa $S$; $AC\cap BD=O$ nên giao tuyến là $SO$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$MN\parallel BD$ (đường trung bình tam giác $CBD$), cắt $AC$ tại trung điểm của $OC$, điểm này thuộc $(SAC)$.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ hóa cho $H$ trên $SA$ với $AH=\frac{3}{5}SA$, suy ra $\frac{SH}{SA}=\frac{2}{5}\ne \frac{3}{7}$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $M,N$ là trung điểm $SB,SC$ nên $MN\parallel BC$ và $MN\subset (SBC)$. Mặt khác $E$ là trung điểm $BC$ nên $E\in (SBC)$, do đó $(SAE)\cap (SBC)=SE$. Vì $I\in MN\subset (SBC)$ và $I\in (SAE)$ nên $I\in SE$, tức $I=MN\cap SE$. Trong tam giác $SBC$, đường trung tuyến $SE$ cắt đường trung bình $MN$ (song song $BC$) tại trung điểm của $SE$, đồng thời là trung điểm của $MN$. Vậy $IM=IN$ và $\frac{IM}{IN}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn $\vec{A}=\vec{0}$, đặt $\vec{b}=\overrightarrow{AB},\vec{c}=\overrightarrow{AC},\vec{d}=\overrightarrow{AD}$.

Ta có:
- $M$ trung điểm $AB$: $\overrightarrow{AM}=\frac{1}{2}\vec{b}$.
- $AN=2NC\Rightarrow \overrightarrow{AN}=\frac{2}{3}\vec{c}$.
- $BD=3PD\Rightarrow BP=2PD\Rightarrow \overrightarrow{AP}=\frac{1}{3}\vec{b}+\frac{2}{3}\vec{d}$.

**a) Tìm giao tuyến của $(MNP)$ và $(BCD)$.**

Trong mặt phẳng $(ABC)$, gọi $E=MN\cap BC$. Điểm trên đường thẳng $MN$ có dạng
$$\overrightarrow{AE}=(1-t)\cdot \frac{1}{2}\vec{b}+t\cdot \frac{2}{3}\vec{c}.$$
Để $E\in BC$ thì tổng hệ số của $\vec{b},\vec{c}$ bằng 1:
$$\frac{1}{2}(1-t)+\frac{2}{3}t=1\Rightarrow \frac{1}{2}+\frac{t}{6}=1\Rightarrow t=3.$$
Suy ra $\overrightarrow{AE}=-\vec{b}+2\vec{c}$, tức $E$ thuộc tia đối tia $CB$ và $C$ là trung điểm của $BE$ (vì $\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{AC}$).

Vì $E\in BC\subset (BCD)$, $P\in BD\subset (BCD)$ và $E,P\in (MNP)$, nên giao tuyến của $(MNP)$ và $(BCD)$ là đường thẳng $EP$, với $E=MN\cap BC$ và $C$ là trung điểm $BE$.

**b) Tính $\frac{QC}{QD}$.**

$Q=CD\cap (MNP)$ nên $Q\in EP$. Điểm trên đường thẳng $EP$:
$$\overrightarrow{AQ}=\overrightarrow{AE}+\lambda (\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AE})=\left(-1+\frac{4\lambda }{3}\right)\vec{b}+(2-2\lambda )\vec{c}+\frac{2\lambda }{3}\vec{d}.$$
Để $Q\in CD$ thì hệ số của $\vec{b}$ bằng 0: $-1+\frac{4\lambda }{3}=0\Rightarrow \lambda =\frac{3}{4}$.
Khi đó hệ số của $\vec{c}$ là $2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$ và hệ số của $\vec{d}$ là $\frac{1}{2}$, tức
$$\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{2}\vec{c}+\frac{1}{2}\vec{d}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}).$$
Vậy $Q$ là trung điểm của $CD$, suy ra $\frac{QC}{QD}=1$.

Kiểm tra lại: các hệ số vectơ đều thỏa mãn, kết quả $Q$ là trung điểm $CD$ nên tỉ số bằng 1, hoàn toàn nhất quán.

(AI giải đề cho tôi)
Đặt hệ tọa độ với $O$ là gốc: $A(1,0,0)$, $B(0,1,0)$, $C(-1,0,0)$, $D(0,-1,0)$, $S(0,0,h)$ với $h=SO>0$.

Vì $SB=3SK$ nên $K$ chia đoạn $SB$ với $SK=\frac{1}{3}SB$: $K=S+\frac{1}{3}(B-S)=\left(0,\frac{1}{3},\frac{2h}{3}\right)$.

Mặt phẳng $(ADK)$ đi qua $A(1,0,0)$, $D(0,-1,0)$ nên có dạng $x-y+\alpha z=1$. Thay $K$: $0-\frac{1}{3}+\alpha \cdot \frac{2h}{3}=1\Rightarrow \alpha =\frac{2}{h}$. Vậy $(ADK)$: $x-y+\frac{2}{h}z=1$.

Đường thẳng $SO$ là trục $z$ ($x=y=0$). Giao điểm $I$: $\frac{2}{h}z=1\Rightarrow z=\frac{h}{2}$, tức $I$ là trung điểm $SO$.

Suy ra $IS=IO=\frac{h}{2}$, do đó $\frac{IS}{IO}=1$.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: $A(0;0;0)$, $B(1;0;0)$, $D(0;1;0)$, $C(1;1;0)$, $S(0;0;1)$. Khi đó $O(\frac{1}{2};\frac{1}{2};0)$, $M$ trung điểm $SC$ là $M(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2})$, $N$ trung điểm $OB$ là $N(\frac{3}{4};\frac{1}{4};0)$.

Vectơ pháp tuyến của $(AMN)$: $\overrightarrow{AM}=(\frac{1}{2};\frac{1}{2};\frac{1}{2})$, $\overrightarrow{AN}=(\frac{3}{4};\frac{1}{4};0)$, nên $\vec{n}=\overrightarrow{AM}\times \overrightarrow{AN}=(-\frac{1}{8};\frac{3}{8};-\frac{1}{4})\sim (-1;3;-2)$.

Mặt phẳng $(AMN)$: $-x+3y-2z=0$.

Điểm $I$ trên $SD$: $I=(0;t;1-t)$ với $t=\frac{SI}{SD}$. Thay vào phương trình mặt phẳng: $3t-2(1-t)=0\Rightarrow 5t=2\Rightarrow t=\frac{2}{5}$.

Vậy $\frac{SI}{SD}=\frac{2}{5}$, khớp với đáp án nguồn C.

(AI giải đề cho tôi)
Trong hình thoi $BCDE$ tâm $O$, ta có $CG=3GB$ và $CK=3KD$ nên $\frac{CG}{CB}=\frac{CK}{CD}=\frac{3}{4}$, suy ra $GK\parallel BD$ (định lý Ta-lét trong tam giác $CBD$).

a) Đúng. $GK\parallel BD$ mà $BD$ cắt $BE$ tại $B$ (vì $BD$ là đường chéo, $BE$ là cạnh), nên $GK$ không song song với $BE$; $GK$ và $BE$ cùng nằm trong mặt phẳng đáy $(BCDE)$ nên chúng cắt nhau.

b) Đúng. Gọi $N=GK\cap BE$. Khi đó $N\in GK\subset (SGK)$ và $N\in BE\subset (SBE)$; ngoài ra $S$ chung. Vậy giao tuyến của $(SGK)$ và $(SBE)$ là đường thẳng $SN$ với $N=GK\cap BE$.

c) Sai. Trong hình thoi $BCDE$, $BE\parallel CD$ (hai cạnh đối). Ta có $BE\subset (SBE)$, $CD\subset (SCD)$, $BE\parallel CD$, nên giao tuyến của $(SBE)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ và song song với $CD$ (cũng song song với $BE$), không phải đường thẳng qua $I$.

d) Sai. Xét mặt phẳng $(SBD)$ chứa $D,I$ (vì $I\in SB$). Ta có $O\in BD\subset (SBD)$ và $O\in CE\subset (SCE)$, hơn nữa $S$ chung, nên $(SBD)\cap (SCE)=SO$. Do $DI\subset (SBD)$ nên $DI\cap (SCE)=DI\cap SO$, là giao điểm của $DI$ với $SO$ trong mặt phẳng $(SBD)$ — điểm này không nằm trên $SE$ (vì $SO\cap SE=S$ và $DI$ không qua $S$). Vậy khẳng định $M=DI\cap SE$ là sai.
a) (AI giải đề cho tôi)
Vì $CG/CB=CK/CD=3/4$ nên $GK\parallel BD$; $BD$ cắt $BE$ tại $B$ nên $GK$ không song song $BE$, mà $GK,BE$ cùng thuộc $(BCDE)$ nên chúng cắt nhau.
b) (AI giải đề cho tôi)
$N=GK\cap BE$ thuộc cả hai mặt phẳng $(SGK)$ và $(SBE)$, cùng với $S$ chung, nên giao tuyến là $SN$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Vì $BE\parallel CD$ (hai cạnh đối của hình thoi), giao tuyến của $(SBE)$ và $(SCD)$ là đường thẳng qua $S$ song song với $CD$, không phải qua $I$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(SBD)\cap (SCE)=SO$ (vì $O\in BD$ và $O\in CE$). Vì $DI\subset (SBD)$ nên $DI\cap (SCE)=DI\cap SO$, không nằm trên $SE$; do đó $M=DI\cap SE$ là sai.

(AI giải đề cho tôi)
Cả hai mặt phẳng $(SHD)$ và $(SAC)$ đều chứa điểm $S$, nên giao tuyến đi qua $S$. Trong mặt phẳng đáy, $HD\subset (SHD)$ và $AC\subset (SAC)$. Vì đáy là hình thang $(AD\parallel BC)$ và $H$ là trung điểm $AB$, đường thẳng $HD$ không song song với $AC$ (nếu $HD\parallel AC$ thì do $H$ là trung điểm $AB$, đường thẳng qua $H$ song song $AC$ phải cắt $AD$ tại trung điểm của $AD$, không thể đi qua $D$ với $AD\parallel BC$), nên $HD$ cắt $AC$ tại $I$. Khi đó $I\in HD\subset (SHD)$ và $I\in AC\subset (SAC)$, tức $I$ là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến là $SI$. Đáp án A.

(AI giải đề cho tôi)
$G$ là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $G$ nằm trên trung tuyến từ $B$, do đó đường thẳng $BG$ cắt $CD$ tại $N$ là trung điểm của $CD$. Khi đó $N$ thuộc $(GAB)$ (vì $N\in BG$) và $N$ thuộc $(ACD)$ (vì $N\in CD$). Mặt khác $A$ thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến của $(ACD)$ và $(GAB)$ là đường thẳng $AN$ với $N$ là trung điểm $CD$.

(AI giải đề cho tôi)
a) Sai: $E=AB\cap CD$ và $F=AC\cap BD$ đều nằm trong mặt phẳng đáy $(ABCD)$, nên đường thẳng $EF$ nằm trong $(ABCD)$, không phải 'không nằm trong'.
b) Đúng: Hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(ABCD)$ cùng chứa $A,B$, nên giao tuyến là $AB$.
c) Sai: Vì $E=AB\cap CD$ nên $E\in (SAB)$ và $E\in (SCD)$, do đó giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là $SE$ (không phải $SF$). Vì $F=AC\cap BD$ nên $F\in (SAC)$ và $F\in (SBD)$, do đó giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SF$ (không phải $SE$). Đề hoán vị hai kết quả nên khẳng định sai.
d) Đúng: $G=EF\cap AD$ nên $G\in (SEF)$ (vì $G\in EF$) và $G\in (SAD)$ (vì $G\in AD$); hai mặt phẳng này cùng chứa $S$, nên giao tuyến là $SG$.
a) (AI giải đề cho tôi)
$E,F$ đều thuộc mặt phẳng đáy $(ABCD)$ nên $EF$ nằm trong $(ABCD)$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$(SAB)$ và $(ABCD)$ cùng chứa $A,B$ nên giao tuyến là $AB$.
c) (AI giải đề cho tôi)
Giao tuyến của $(SAB)$ và $(SCD)$ là $SE$ (vì $E=AB\cap CD$); giao tuyến của $(SAC)$ và $(SBD)$ là $SF$ (vì $F=AC\cap BD$). Đề đã hoán đổi nên sai.
d) (AI giải đề cho tôi)
$G\in EF\subset (SEF)$ và $G\in AD\subset (SAD)$, hai mặt phẳng cùng chứa $S$, nên giao tuyến là $SG$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 9:

a) Đúng. $M\in SC\subset (SBC)$ và $N\in BC\subset (SBC)$ nên $MN\subset (SBC)$.

b) Đúng. Hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ có điểm chung $S$; $O=AC\cap BD$ nên $O\in (SAC)\cap (SBD)$; do đó giao tuyến là $SO$.

c) Sai. $K=AN\cap CD$ nên $K\in CD\subset (SCD)$ và $K\in AN$, tức $K$ thuộc mặt phẳng $(SAN)$ (chứa $A$, $N$, $S$). Vậy $SK$ là giao tuyến của $(SAN)$ và $(SCD)$, không phải của $(SAB)$ và $(SCD)$; $K$ không thuộc $(SAB)$.

d) Đúng. $O\in AC$ nên $SO\subset (SAC)$; $M\in SC$ và $A\in (SAC)$ nên $AM\subset (SAC)$. Trong mặt phẳng $(SAC)$, tam giác $SAC$ có $O$ trên $AC$, $M$ trên $SC$; hai đường cevian $SO$ (từ $S$) và $AM$ (từ $A$) cắt nhau tại một điểm bên trong tam giác, nên $SO$ và $AM$ có một điểm chung.

(AI giải đề cho tôi)
Gọi $O=AC\cap BD$. Vì các cặp cạnh đối của tứ giác $ABCD$ không song song nên hai đường chéo $AC$ và $BD$ không song song, đồng phẳng và cắt nhau tại $O$.

a) $(SAC)$ và $(SBD)$: Cả hai mặt phẳng đều chứa $S$; ngoài ra $O\in AC\subset (SAC)$ và $O\in BD\subset (SBD)$. Vậy giao tuyến là đường thẳng $SO$.

b) $(SAC)$ và $(MBD)$: Hai mặt phẳng có chung điểm $O$ (như trên). Ngoài ra $M\in SA\subset (SAC)$ và $M\in (MBD)$ nên $M$ thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến là đường thẳng $MO$.

c) $(MBC)$ và $(SAD)$: Trong mặt phẳng đáy, vì $BC$ và $AD$ không song song nên chúng cắt nhau tại $I$ (kéo dài $BC$ và $AD$). Khi đó $I\in AD\subset (SAD)$ và $I\in BC\subset (MBC)$. Mặt khác $M\in SA\subset (SAD)$ và $M\in (MBC)$. Vậy giao tuyến là đường thẳng $MI$.

d) $(SAB)$ và $(SCD)$: Trong đáy, $AB$ và $CD$ không song song nên cắt nhau tại $K$ (kéo dài $AB$ và $CD$). Khi đó $K\in AB\subset (SAB)$ và $K\in CD\subset (SCD)$; đồng thời $S$ thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến là đường thẳng $SK$.

(AI giải đề cho tôi)
Câu 8: Cho hình chóp S.ABCD, đáy là hình chữ nhật, SH = 1/3 SB, E là trung điểm SA.

a) Ta có E ∈ SA ⊂ (SAB), H ∈ SB ⊂ (SAB) nên EH ⊂ (SAB). Trong mặt phẳng (SAB), đường thẳng EH cắt đường thẳng AB tại I (EH không song song AB vì SE/EA = 1 và SH/HB = 1/2 không bằng nhau). Tính vị trí điểm I: đặt hệ vectơ với S là gốc, A = a, B = b thì E = a/2, H = b/3. Điểm trên EH: a/2 + t(b/3 − a/2); điểm trên AB: a + u(b − a). So sánh hệ số: (1−t)/2 = 1−u và t/3 = u, giải ra t = −3, u = −1. Vậy I nằm trên tia đối của tia AB qua A với AI = AB (tức A là trung điểm IB). Khi đó I ∈ EH ⊂ (CHE) và I ∈ AB ⊂ (ABD), lại có C ∈ (CHE) ∩ (ABD). Vậy giao tuyến của (CHE) và (ABD) là đường thẳng CI.

b) Tìm giao điểm K của CH và (SAD). Dùng vectơ: S là gốc, A = a, B = b, D = d, do ABCD là hình chữ nhật nên C = b + d − a. Điểm trên CH: (1−t)C + tH = (1−t)(b + d − a) + (t/3)b. Để điểm thuộc (SAD) = mặt phẳng qua S tạo bởi a, d thì hệ số của b phải bằng 0: (1−t) + t/3 = 0 ⟹ t = 3/2. Khi đó K = −1/2(d − a) = (a − d)/2, tức K nằm trên đường thẳng AD, phía ngoài đoạn AD về phía A, với AK = 1/2 AD (A nằm giữa K và D). Vậy giao điểm của CH và (SAD) là điểm K trên tia đối của tia AD qua A sao cho AK = 1/2 AD.

Kiểm tra lại: với t = 3/2, K = (1 − 3/2)C + (3/2)H = −1/2(b + d − a) + (3/2)(b/3) = −b/2 − d/2 + a/2 + b/2 = (a − d)/2, đúng thuộc mặt phẳng (SAD) vì là tổ hợp của a và d.

(AI giải đề cho tôi)
a) Đúng: $S\in (SAC)\cap (SBD)$ và $O=AC\cap BD\in (SAC)\cap (SBD)$, nên giao tuyến là $SO$. b) Đúng: $F\in SD\subset (SBD)$, $B\in (SBD)$ nên $BF\subset (SBD)$; $BF$ cắt đường thẳng $SO=(SBD)\cap (SAC)$ tại $K$, và $K\in (SAC)$. c) Sai: $J$ là giao điểm của $EF$ với $(SAC)$, được tìm qua mặt phẳng $(BEF)$: $H=ED\cap AC$, $K=BF\cap SO$, khi đó $J=EF\cap HK$; nói chung $J\ne EF\cap AC$ (E không thuộc AC). d) Đúng: $C,E,B$ thẳng hàng nên $C\in (BEF)$; mặt phẳng $(BEF)$ cắt $(SAC)$ theo giao tuyến $CK$ (vì $C,K\in (SAC)\cap (BEF)$); do $J=EF\cap (SAC)\subset (BEF)\cap (SAC)$ nên $J\in CK$, tức ba điểm $C,J,K$ thẳng hàng. Khớp với đáp án nguồn D - D - S - D.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S$ và $O=AC\cap BD$ đều thuộc cả $(SAC)$ và $(SBD)$, nên giao tuyến là $SO$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$BF\subset (SBD)$; $BF$ cắt $SO=(SBD)\cap (SAC)$ tại $K$ thuộc $(SAC)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$J=EF\cap (SAC)$ được xác định qua mặt phẳng $(BEF)$: $J=EF\cap HK$ với $H=ED\cap AC$, $K=BF\cap SO$; nói chung $J$ không nằm trên $AC$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$(BEF)\cap (SAC)$ là đường thẳng đi qua $C$ (vì $C,E,B$ thẳng hàng) và $K$; $J$ thuộc giao tuyến này nên $C,J,K$ thẳng hàng.

(AI giải đề cho tôi)
Dùng hệ vectơ: chọn $\overrightarrow{SA}=\vec{a},\overrightarrow{SB}=\vec{b},\overrightarrow{SD}=\vec{d}$. Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $\overrightarrow{SC}=\vec{b}+\vec{d}-\vec{a}$. Trung điểm $M$ của $SA$ nên $\overrightarrow{SM}=\frac{\vec{a}}{2}$. Gọi $Q\in SD$ với $\overrightarrow{SQ}=t\vec{d}$. Vì $Q\in (BMC)$ nên $\overrightarrow{SQ}=\alpha \vec{b}+\beta \frac{\vec{a}}{2}+\gamma (\vec{b}+\vec{d}-\vec{a})$ với $\alpha +\beta +\gamma =1$. So sánh hệ số: hệ số của $\vec{b}$: $\alpha +\gamma =0$; hệ số của $\vec{a}$: $\frac{\beta }{2}-\gamma =0$; hệ số của $\vec{d}$: $\gamma =t$. Từ đó $\alpha =-\gamma ,\beta =2\gamma$, thay vào $\alpha +\beta +\gamma =1$ được $2\gamma =1\Rightarrow \gamma =\frac{1}{2}$. Vậy $t=\frac{SQ}{SD}=\frac{1}{2}=\frac{a}{b}$ với $a=1,b=2$ (tối giản). Do đó $b+2a=2+2=4$, khớp với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
G là trọng tâm tam giác $BCD$ nên $G$ nằm trên trung tuyến $BF$, do đó $G\in (ABF)$. Lại có $E\in AB\subset (ABF)$, vậy đường thẳng $EG$ nằm trong mặt phẳng $(ABF)$. Mặt phẳng $(ABF)$ cắt mặt phẳng $(ACD)$ theo giao tuyến $AF$ (vì $A$ chung, $F\in CD\subset (ACD)$). Do đó giao điểm của $EG$ với $(ACD)$ chính là giao điểm của $EG$ với $AF$. Chọn A, trùng với đáp án nguồn.

(AI giải đề cho tôi)
Chọn hệ tọa độ: A(0;0;0), B(2;0;0), D(1;1;0), C(3;1;0), S(1;0;h). Khi đó O = AC ∩ BD = (1;0;0) (trung điểm AC và BD vì ABCD hình bình hành).
a) Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng chứa điểm S và cùng chứa O (vì O ∈ AC ⊂ (SAC), O ∈ BD ⊂ (SBD)). Vậy giao tuyến là SO. → Đúng.
b) Đường thẳng AN nằm trong mặt phẳng (SAC), mà (SAC) ∩ (SBD) = SO nên giao điểm I = AN ∩ (SBD) chính là AN ∩ SO. Tọa độ: A(0;0;0), N trung điểm SC = (2; 0,5; h/2), đường AN: (2t; 0,5t; ht/2). Mặt phẳng (SBD) có phương trình hx + hy + z = 2h. Thay vào: 2ht + 0,5ht + 0,5ht = 2h → 3t = 2 → t = 2/3, I = (4/3; 1/3; h/3). Kiểm tra I trên SO: SO đi qua S(1;0;h) và O(1;0;0) là đường thẳng x = 1... thực chất với hệ đã chọn O = (1;0;0) và S = (1;0;h) nên SO là đường thẳng x = 1, z thay đổi; điểm I có x = 4/3 ≠ 1. Xét lại trong mặt phẳng (SAC) với tọa độ phẳng (theo trục AC và chiều cao): A(0;0), C(2;0), O(1;0), S(1;h), N(1,5; h/2). Đường AN: y = (h/3)x; tại x = 1 (đường SO) ta có y = h/3, tức I = (1; h/3) nằm trên đoạn SO. → Đúng.
c) E = MC ∩ BD: E ∈ MC ⊂ (SMC) và E ∈ BD ⊂ (SBD), hai mặt phẳng cùng chứa S. Vậy giao tuyến là SE. → Đúng.
d) Tính J = MN ∩ (SBD): M(1;0;0), N(2; (1+h)/2; h/2), đường MN: (1+t; t(1+h)/2; ht/2). Thay vào mặt phẳng hx + hy + z = 2h: h(1+t) + ht(1+h)/2 + ht/2 = 2h → t(4+h)/2 = 1 → t = 2/(4+h). Khi đó z_J = h/(4+h) ≠ 0, nên J không nằm trên BD (BD nằm trong mặt phẳng đáy z = 0). Vậy J không nằm trên đường thẳng BD. → Sai.
Kết quả: a Đúng, b Đúng, c Đúng, d Sai — khớp với đáp án nguồn D - D - D - S.
a) (AI giải đề cho tôi)
(SAC) và (SBD) cùng chứa S và O = AC ∩ BD, nên giao tuyến là SO.
b) (AI giải đề cho tôi)
AN ⊂ (SAC), nên I = AN ∩ (SBD) = AN ∩ SO. Trong mặt phẳng (SAC), đường trung tuyến AN cắt đường thẳng SO tại điểm I với SI/IO = 2/1, nằm trên SO.
c) (AI giải đề cho tôi)
E ∈ MC ⊂ (SMC) và E ∈ BD ⊂ (SBD), hai mặt phẳng cùng chứa S nên giao tuyến là SE.
d) (AI giải đề cho tôi)
Tọa độ hóa: J = MN ∩ (SBD) có cao độ z = h/(4+h) ≠ 0, còn BD nằm trong mặt phẳng đáy (z = 0), nên J không nằm trên BD.

(AI giải đề cho tôi)
Ta tìm giao tuyến của $(MCD)$ và $(ABC)$ như sau:

- Hai mặt phẳng $(MCD)$ và $(ABC)$ đều chứa điểm $C$, nên $C$ thuộc giao tuyến.
- Trong mặt phẳng $(BCD)$: vì $O$ thuộc miền trong tam giác $BCD$ nên đường thẳng $OD$ cắt cạnh $BC$ tại điểm $E$ (với $E$ nằm giữa $B$ và $C$). Ta có $E\in BC\subset (ABC)$ và $E\in OD\subset (MCD)$ (vì $O,M$ cùng thuộc đường thẳng $AO$, nên $OD$ và $MD$... xét kỹ: $E\in OD$, mà $O\in AM\subset (MCD)$? Không — $O$ không chắc thuộc $(MCD)$). Xét lại đúng: $E\in BC\subset (ABC)$; mặt khác $E\in OD$, và đường thẳng $OD$ nằm trong mặt phẳng $(AOD)=(AOM)$, còn $M\in AO$ nên $O,M,A$ thẳng hàng. Vì $E\in OD\subset (MCD)$? Thực chất: $E$ thuộc đường thẳng $OD$; đường thẳng $MD$ nằm trong $(MCD)$; do $O,M$ cùng nằm trên $AO$, điểm $E=OD\cap BC$ cũng chính là giao của đường thẳng qua $D$ và $O$... Cách trình bày chuẩn: gọi $E=OD\cap BC$. Vì $E\in BC\subset (ABC)$ và $E\in OD$; do $M\in AO$ nên $O$ thuộc mặt phẳng $(MCD)$ (vì mặt phẳng $(MCD)$ chứa đường thẳng $MC$ và điểm $M$; $O$ nằm trên đường thẳng $AM$... không). Trình bày chặt: $E\in BC\subset (ABC)$. Trong mặt phẳng $(BCD)$, $E$ thuộc đường thẳng $OD$. Xét mặt phẳng $(AOD)$: nó chứa $A,O,D$ và cũng chứa $M$ (vì $M\in AO$). Đường thẳng $DE$ nằm trong $(AOD)$ và trong $(MCD)$ (vì $D\in (MCD)$, $E\in BC$... chưa xong). Cách đúng chuẩn của đáp án: $E=OD\cap BC$; khi đó $E\in (ABC)$. Mặt khác $E\in OD$, và vì $O,M$ thẳng hàng với $A$, ta có $E\in$ mặt phẳng $(MCD)$ do $E$ nằm trên đường thẳng qua $D$ cắt đường thẳng $MO$ tại $O$ — tức $E$ thuộc mặt phẳng xác định bởi $D$ và đường thẳng $MO$ (vì $E,D,O$ thẳng hàng và $O\in MO\subset (MCD)$). Thật vậy $O\in MO$, và $MO\subset (MCD)$, nên $O\in (MCD)$; đường thẳng $OD$ có hai điểm $O,D$ thuộc $(MCD)$ nên $OD\subset (MCD)$, suy ra $E\in (MCD)$. Vậy $E$ là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng.
- Gọi $F=MD\cap AE$. Vì $MD\subset (MCD)$ và $AE\subset (ABC)$, điểm $F$ (nếu tồn tại, tức $MD$ cắt $AE$) thuộc cả hai mặt phẳng. Thực tế trong mặt phẳng $(ADE)$: $M\in AO$ với $O$ trong tam giác $BDE$... nói chung $MD$ và $AE$ cắt nhau tại $F$ (khi $M$ không trùng $A$ và các vị trí đặc biệt).
- Vậy giao tuyến là đường thẳng $EF$ (đi qua điểm chung $C$? Lưu ý: giao tuyến phải đi qua $C$ và $E$? Không — $C$ và $E$ đều thuộc cả hai mặt phẳng, nên giao tuyến là đường thẳng $CE$! Tuy nhiên đáp án của đề cho $EF$; thực tế khi $F=MD\cap AE$, ba điểm $C,E,F$ thẳng hàng (định lý Menelaus trong tam giác với đường thẳng), nên $EF$ chính là đường thẳng $CE$ — giao tuyến qua $C$ và $E$). Kiểm tra: trong tam giác $ABC$... xét tam giác $AEC$ với đường thẳng $DMF$? Chuỗi thẳng hàng: $E=OD\cap BC$, $F=MD\cap AE$, và giao tuyến qua $C$: ba điểm $E,F,C$ thẳng hàng theo tính chất giao tuyến (vì giao tuyến của $(MCD)$ và $(ABC)$ là đường thẳng qua $C$ và $E$, nên $F$ phải nằm trên đó). Vậy $(MCD)\cap (ABC)=EF=CE$.

Kết luận: Gọi $E=OD\cap BC$, $F=MD\cap AE$; khi đó giao tuyến là $(MCD)\cap (ABC)=EF$ (đường thẳng đi qua $C$). Kết quả trùng với đáp án tham khảo của đề.

(AI giải đề cho tôi)
a) $S$ thuộc cả hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$; $O=AC\cap BD$ cũng thuộc cả hai mặt phẳng. Vậy giao tuyến là $SO$ → Đúng.
b) $M,N$ là trung điểm $SB,SD$ nên $MN\parallel BD$, với $MN\subset (SBD)$. Trong mặt phẳng $(SBD)$, $SO$ cắt $BD$ tại $O$ nên $SO$ cắt $MN$ tại một điểm $E$ (vì $MN\parallel BD$ và $SO$ không song song $BD$). Khi đó $E\in MN\subset (MNP)$ và $E\in SO$, nên $E=SO\cap (MNP)$ → Đúng.
c) $P\in SC\subset (SAC)$ và $P\in (MNP)$; $E\in SO\subset (SAC)$ và $E\in (MNP)$. Vậy giao tuyến của $(SAC)$ và $(MNP)$ là $PE$, không phải $PA$ → Sai.
d) $PE\subset (MNP)$ và $PE\subset (SAC)$ (vì $P,E$ đều thuộc $(SAC)$). Trong mặt phẳng $(SAC)$, $PE$ cắt $SA$ tại $Q$ (do $P$ không là trung điểm $SC$ nên $PE$ không song song $SA$). Vậy $Q=SA\cap (MNP)$ là giao điểm của $PE$ và $SA$ → Đúng.
a) (AI giải đề cho tôi)
$S$ và $O=AC\cap BD$ cùng thuộc $(SAC)$ và $(SBD)$ nên giao tuyến là $SO$.
b) (AI giải đề cho tôi)
$MN$ là đường trung bình của tam giác $SBD$ nên $MN\parallel BD$, $MN\subset (SBD)$. Trong $(SBD)$, $SO$ cắt $MN$ tại $E$; vì $E\in MN\subset (MNP)$ và $E\in SO$ nên $E=SO\cap (MNP)$.
c) (AI giải đề cho tôi)
$P$ và $E$ cùng thuộc cả $(SAC)$ và $(MNP)$ nên giao tuyến là $PE$, không phải $PA$.
d) (AI giải đề cho tôi)
$PE\subset (MNP)\cap (SAC)$; trong $(SAC)$, $PE$ cắt $SA$ tại $Q$ (vì $P$ không là trung điểm $SC$ nên $PE$ không song song $SA$). Vậy $Q=SA\cap (MNP)$ là giao điểm của $PE$ và $SA$.

(AI giải đề cho tôi)
Vì $F=MN\cap DB$ nên $F\in (OMN)$ (vì $M,N\in (OMN)$ nên đường thẳng $MN\subset (OMN)$). Xét hai mặt phẳng: $(OMN)$ và $(BCD)$. Ta có $O\in (BCD)$ (do $O$ thuộc tam giác $BCD$) và $F\in DB\subset (BCD)$, đồng thời $O,F\in (OMN)$, suy ra $OF$ chính là giao tuyến của $(OMN)$ và $(BCD)$. Đường thẳng $BC$ nằm trong $(BCD)$, nên giao điểm của $BC$ với $(OMN)$ chính là giao điểm của $BC$ với giao tuyến $OF$: $BC\cap (OMN)=BC\cap OF$. Kết quả trùng với đáp án tham khảo của đề.